1、 3.4 3.4 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质 第第3 3章章 图形的相似图形的相似 3.4.2 3.4.2 相似三角形的性质相似三角形的性质 教学目标教学目标 掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平 分线）及相似三角形的面积、周长比与相似分线）及相似三角形的面积、周长比与相似 比之间的关系比之间的关系. . 重点难点：重点难点：相似三角形性质的应用相似三角形性质的应用. . 新课引入新课引入 1.如图如图, ABC，相似比为，相似比为k， 分别作分别作BC， 上的高上的高AD， 求证：求证： A B C B C AD D C D A B
2、A B C A D k . AD 解解: : ABC， A B C B = B 又又 =ADB =90 ， ， ADB ABD. ( (两角对应相等的两个三两角对应相等的两个三 角形相似角形相似) ) ABD 从而从而 ADAB k . ADAB ( (相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例) ) 由此得出定理：由此得出定理： 相似三角形的对应高的相似三角形的对应高的 比等于相似比比等于相似比. 类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分 线的比线的比 2、如图：已知如图：已知ABCABC，相似比为，相似比为k， AD平分平分BAC，AD平分
3、平分BAC；E、E 分别为分别为BC、BC的中点。试探究的中点。试探究AD与与 AD的比值关系，的比值关系，AE与与AE呢？呢？ A B C D E A B C D E ABCABC k EA AE DA AD FA AF CB BC CA AC BA AB 由此得出定理：由此得出定理： 相似三角形对应角平分线的比,对应中 线的比都等于相似比. 3.如果两个三角形相似，如果两个三角形相似， 它们的周长之间有什么关它们的周长之间有什么关 系？两个相似多边形呢？系？两个相似多边形呢？ 如果如果ABC ABC，相似比为，相似比为k，那么，那么 k AC CA CB BC BA AB 因此因此 ABk
4、 AB，BCkBC，CAkCA 从而从而 k ACCBBA AkCCkBBkA ACCBBA CABCAB A B C A B C 由此得出定理：由此得出定理： 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比 相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比 4.4.如图如图 ABCABC ABC，相似比为相似比为k k，它们，它们 的面积比是多少？的面积比是多少？ k DA AD AC CA CB BC BA AB 2 2 1 2 1 kkk DACB ADBC S S CBA ABC A B C D A / / B / / C / D / 由此得出定理：由此得出定理： 相
5、似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方 例题探究例题探究 例例1 1 CDCD是是RtRtABCABC斜边斜边ABAB上的高，上的高， DEACDEAC，垂足为点，垂足为点E.E. 已知已知CD=2CD=2，AB=6AB=6，AC=4,AC=4,求求DEDE的长的长. . A B D C E 例例2 2 已知已知ABCABCDEFDEF，BGBG、EHEH分分ABCABC和和DEFDEF 的角平分线，的角平分线，BCBC6cm,EF6cm,EF4cm,BG4cm,BG4.8cm.4.8cm.求求EHEH的的 长长. . 解：解： ABCDEF， 解得解得EH3.2(
6、cm). A G B C D E F H BGBC EHEF 4.86 . 4 即 EH （相似三角形对应角平（相似三角形对应角平 线的比等于相似比），线的比等于相似比）， 例例3 在在ABC和和DEF中，中，AB2DE，AC2DF，AD， ABC的周长是的周长是24，面积是，面积是48，求，求DEF的周长和面积的周长和面积 解：解：在在ABC和和DEF中，中， AB2DE，AC2DF 2 1 AC DF AB DE 又又 DA ADE 11 , = L=12 2242 ADEADE ABC LL L 11 = = =12 4484 ADEADE ADE ABC SS S S DEFABC，相
7、似比为，相似比为 2 1 课堂练习课堂练习 1 1、如图，已知、如图，已知DEBC ，BD=3=3AD，S ABC =48 =48 ，求：求：ADE的面积。的面积。 解：解：因为因为DEBC 所以所以ADE=ABC, , AED = =ACB 所以所以ADE ABC 又因为又因为BD=3AD 可得相似比可得相似比k=AD:AB=1:2 所以所以S ADE =1/4 SABC =12 2、如图，、如图，ABCABC中，中，DEFGBCDEFGBC，且且DEDE、FGFG把把 ABCABC的面积三等分，若的面积三等分，若BC=12cmBC=12cm，求求FGFG的长。的长。 解：解：因为因为DEF
8、GBC， 所以所以ADEAFGABC， 所以所以S S ADE:S :S AFG:S :S ABC= =AD2 2: :AF2 2: :AB2 2， ， 又因为又因为DE、FG把把ABC的面积三等分，的面积三等分， 所以所以S S ADE:S :S AFG:S :S ABC=1:2:3 =1:2:3， 所以所以AD: :AF: :AB= = : : : : ， 又因为又因为FGBC，所以所以 ，且，且BC=12cm=12cm，所以所以FG =cmcm。 123 64 AB AF BC FG 1如图如图，CD 是是 RtABC 斜边斜边 AB 上的高上的高，DEAC，DF BC，垂足分别为垂足分
9、别为 E，F.已知已知 AC8，BC6. (1)求求DF DE的值； 的值； (2)求四边形求四边形 DECF 的面积的面积 能力提升能力提升 解：解： (1)AB90 ， AACD90 ， BACD. 在在 RtACD 和和 RtCBD 中，中，BACD，ADC CDB， ACDCBD.又又DFBC， DEAC， DF DE BC CA.又 又BC6，AC8，DF DE BC CA 6 8 3 4 (2)由(1)可知DF DE 3 4，设 DF3x，则 DE4x. SACD1 2AC DE 1 28 4x16x， SBCD1 2BC DF 1 2 6 3x9x. 又 SABC1 2AC BC
10、 1 28 624. 16x9x24，解得 x24 25. S 四边形DECFDE DF4x 3x12x212 (24 25) 26912 625 2如图如图，射线射线AMBN，AB90，点点D，C分别在分别在 AM，BN上运动上运动(点点D不与不与A重合、点重合、点C不与不与B重合重合)，E是是AB 边上的动点边上的动点(点点E不与不与A，B重合重合)，在运动过程中始终保持在运动过程中始终保持 DEEC且且ADDEABa. (1)求证：求证：ADEBEC； (2)设设AEm，请探究：请探究：BEC的周长是否与的周长是否与m的值有关？若的值有关？若 有关有关，请用含有请用含有m的代数式表示的代
11、数式表示BEC的周长；若无关的周长；若无关，请请 说明理由说明理由 证明：(1)DEEC，DEC90 ，AEDBEC90 ， 又AB90 ，AEDEDA90 ， BECEDA，ADEBEC； (2)CADEAEADDEam，BEam， 设 ADx，则 DEax，A90 ，DE2AE2AD2， 即 a22axx2m2x2，xa 2m2 2a ， 由(1)知ADEBEC， C ADE CBEC AD BE am 2a ，CBEC2a（am） am 2a， BEC 的周长与 m 的值无关 相 似 三 角 形 的 性 质 相 似 三 角 形 的 性 质 对应角相等对应角相等 对应边成比例对应边成比例 对应高的比，对应中线的比、对应对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比角平分线的比都等于相似比. . 相似比等于对应边的比相似比等于对应边的比 周长的比等于相似比周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。
