1、3.1 3.1 比例线段比例线段 第第3 3章章 图形的相似图形的相似 3.1.2 3.1.2 成比例线段成比例线段 重重、难点难点 重点：重点：线段的比和成比例线段的概念及线段的比和成比例线段的概念及 其有关计算其有关计算. .黄金分割的定义及黄金分黄金分割的定义及黄金分 割比的探索割比的探索. . 难点：难点：判断四个数或四条线段成比例判断四个数或四条线段成比例. . 黄金分割点的定义及相关计算类问题黄金分割点的定义及相关计算类问题. . 新课引入新课引入 如图如图3 3- -1 1， 在方格纸上（设小方格边长为单位在方格纸上（设小方格边长为单位1 1）有）有ABC 和和ABC， 它们的顶
2、点都在格点上它们的顶点都在格点上. . 试求出线段试求出线段AB，BC， AC， AB， BC， AC的长度，的长度， 并计算并计算AB与与AB， BC 与与BC， AC 与与AC的长度的比值的长度的比值. . 一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB， AB 的长度分别为的长度分别为， 那么把它们的长度的比那么把它们的长度的比 叫作这叫作这 两条线段两条线段AB与与AB的比的比(ratio)(ratio)， 记作记作 ，或，或 AB AB m n . . 如果如果 的比值为的比值为，那么上述式子也可写成，那么上述式子也可写成 或或 AB AB .
3、m n ABm nA B AB k AB m n 在四条线段中，在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外如果其中两条线段的比等于另外 两条线段的比，两条线段的比， 那么这四条线段叫作那么这四条线段叫作成比例线段成比例线段， 简称为简称为比例线段比例线段. 例如，已知四条线段例如，已知四条线段a，b， c，d，若，若 ，则，则a，b， c，d是比例线段是比例线段. . ac bd 已知线段已知线段 a，b，c，d 的长度分别为的长度分别为0.8 cm， 2 cm，1.2 cm，3 cm，问，问 a，b，c，d 是比例线段是比例线段 吗？吗？ 例题探究例题探究 ，即，即 a，b，c，d 是比例
4、线段是比例线段. ac bd 0.81.2 =0.40.4, 23 ac bd ，解：解： 黄金分割黄金分割 古希腊数学家、天文学家古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯欧多克塞斯( (Eudoxus， 约前约前400约前约前347) )曾经曾经提出一个问题：提出一个问题： 能否将一条线段能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较分成不相等的两部分，使较 短线段短线段CB与较长线段与较长线段AC的比等于线段的比等于线段AC与原线段与原线段 AB的比？的比？ 即，使得即，使得 成立？成立？ CBAC ACAB 如果这能做到的话，那么称线段如果这能做到的话，那么称线段 AB 被点被点 C 黄金分黄金分
5、割割，点，点 C 叫作线段叫作线段AB的的黄金分割点黄金分割点，较长线段，较长线段 AC 与原线段与原线段 AB 的比叫作的比叫作黄金分割比黄金分割比. 如图，设线段如图，设线段AB的长度为的长度为1个单位，个单位，AC的长度为的长度为 x个单位，则个单位，则CB的长度为的长度为( (1- -x) )个单位个单位. CBAC ACAB 根据根据式，列出方程：式，列出方程： 1 1 xx x 由于由于x0，因此方程，因此方程两边同乘以两边同乘以x，得，得 1 x = x2 ， 即即 x2+x- -1=0. 618. 0 2 15 AB AC 因此，因此， . . 解得解得 （舍去）（舍去）. .
6、 2 15 , 2 15 21 xx 所以我们一定可以把一条线段所以我们一定可以把一条线段黄金分割黄金分割， 黄金分割比为黄金分割比为 ，它约等于它约等于0.6180.618 2 15 线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意. 许多建筑物的轮廓矩形许多建筑物的轮廓矩形( (例如古希腊时期的巴台农例如古希腊时期的巴台农 神庙的正面轮廓矩形神庙的正面轮廓矩形) )的高与宽之比，门窗的宽与高之的高与宽之比，门窗的宽与高之 比都约等于比都约等于0.618，这样看上去美观，这样看上去美观. 巴台农神庙巴台农神庙 印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比印度泰姬
7、陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比. . 著名画家达著名画家达 芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应用现了黄金分割在油画艺术上的应用. .通过上面两幅通过上面两幅 图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面 中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看 起来是那么的和谐和完美起来是那么的和谐和完美. . 课堂练习课堂练习 1.1.求下列各式中求下列各式中x x的值的值. . （1 1） 57 =1557 =15 x ； （2 2） 1445 = 144
8、5 = x 25； （3 3） 5252x = 268 = 268 ； （4 4） x 13 = 6578.13 = 6578. 答案答案： (1)(1) x =21;=21; (2)(2) x = 720;= 720; (3)(3) x =16;=16; (4)(4) x = .= . 6 65 2.2.已知已知a ，是比例线段是比例线段. . （1 1） 若若a=2 =2 ，b=3 =3 ，c=4 =4 ，求，求d； （2 2） 若若a=1.5 =1.5 ，c=2.5 =2.5 ，d=4.5 =4.5 ，求，求b； （3 3） 若若a=1.1 =1.1 ，b=2.2 =2.2 ，d=4.4
9、 =4.4 ，求，求c 答案答案： (1)(1) d =6 =6 或或 或或 ； 3 8 2 3 (2)(2) b = 7.5= 7.5或或2.7 2.7 或或 ； 6 5 (3)(3) c =8.8 =8.8 或或2.2 2.2 或或 0.55 . 0.55 . 1如图如图，有矩形有矩形 ABCD 和矩形和矩形 ABCD，AB8 cm，BC12 cm， AB4 cm，BC6 cm. (1)求求 AB AB 和和 BC BC ； (2)线段线段 AB，AB，BC，BC 是成比例线段吗？是成比例线段吗？ 能力提升能力提升 解：解：(1)AB AB 4 cm 8 cm 1 2， ，BC BC 6
10、cm 12 cm 1 2 (2)AB AB BC BC ，故故 AB，AB，BC，BC 是成比例线段是成比例线段 2宽与长的比是宽与长的比是 51 2 的矩形叫黄金矩形心理学测试表明的矩形叫黄金矩形心理学测试表明，黄黄 金矩形令人赏心悦目金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感它给我们以协调、匀称的美感，现将同学现将同学 们在学习活动中的折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤们在学习活动中的折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如如 图所示图所示)： 第一步：作一个任意正方形第一步：作一个任意正方形 ABCD； 第二步：分别取第二步：分别取 AD，BC 的中点的中点 M，N，连接连接 MN
11、； 第三步： 以第三步： 以 N 为圆心为圆心， ND 长为半径画弧长为半径画弧， 交交 BC 的延长线于的延长线于点点 E； 第四步：过点第四步：过点 E 作作 EFAD 交交 AD 的延长线于点的延长线于点 F. 请你根据以上作法请你根据以上作法，证明矩形证明矩形 DCEF 为黄金矩形为黄金矩形(可取可取 AB2a) 解：证明：在正方形 ABCD 中，取 AB2a， N 为 BC 的中点，NC1 2BCa. 在 RtDNC 中，ND NC2CD2 a2（2a）2 5a. 又NEND，CENENC( 51)a. CE CD （ 51）a 2a 51 2 . 故矩形 DCEF 为黄金矩形 线段之间的一种数量关系：四条线段成比例线段之间的一种数量关系：四条线段成比例. 并且感受到成比例线段围成的图形在形状并且感受到成比例线段围成的图形在形状 上也有美妙的关系！上也有美妙的关系！ 认识了一个最特别的数认识了一个最特别的数 ，比值是，比值是 它的线段围成的图形最美丽它的线段围成的图形最美丽. . 51 0.618 2 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。
