1、一元一次方程一元一次方程 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、方程与整式、等式的区别：一、方程与整式、等式的区别： 1.从概念来看： （1）整式：单项式和多项式统称整式；3a+2b，3m 2n 不含等号，是代数式； （2）等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式； 如 2+3=5，mnnm 等都叫做等式； （3）方程：含有未知数的等式叫做方程；如 5x311； 理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数。（两者缺一不可） 2.从是否含有等号来看： （1）方程首先是一个等式，它是用“”将两个代数式连接起来的等式； （2）整式仅用运算符号连接起来，不含有等号； 3.从是否含
2、有未知量来看：等式必含有“”，但不一定含有未知量； 二、方程相关概念及一元一次方程：二、方程相关概念及一元一次方程： 1.1.方程、方程的解、解方程：方程、方程的解、解方程： （1）含有未知数的 等式 叫做方程； （2）使方程左右两边的值相等的 未知数的值 ，叫做方程的解； （3）求 方程解 的过程叫做解方程； 注意：方程的解与解方程不同。 2.2.一元一次方程：一元一次方程： （1）概念：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程； （2）特点：一元一次方程须满足下列三个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是 1 次； 整式方
3、程； （3）注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 （4 4）一般形式：）一般形式： ax+b=0 ax+b=0 ；(其中 x 是未知数，a、b 为常数，且 a0) 【例题【例题 1 1】 (2019呼和浩特)关于 x 的方程 mx 2m1+(m1)x20 如果是一元一次方程， 则其解 为 【答案】x2 或 x2 【解析】解：关于 x 的方程 mx 2m1+(m1)x20 如果是一元一次方程， 2m11，即 m1 或 m0， 方程为 x20 或x20，解得：x2 或 x2；故答案为：x2 或 x2。 【变式练习【变式练习 1 1】已知 3 是关于 x 的方程 2xa1 的解，则 a
4、的值是( ) A5 B5 C7 D2 【答案】B 【解析】直接利用方程的解的定义可得出关于 a 的方程：6a1，所以 a5。 三、一元一次方程的解法：三、一元一次方程的解法： 1.1.方程的同解原理方程的同解原理( (等式的基本性质等式的基本性质) )： （1）性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等； 即：如果如果 a=ba=b，那么，那么 a ac= bc= bc c （2）性质 2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，结果仍相等； 即：如果如果 a=ba=b，那么，那么 ac= bcac= bc； 如果如果 a=ba=b，那么，那么 c b c
5、a (c(c0)0)； 注明：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 （3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质： 对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式； 即：如果 a=b，那么 b=a； 传递性：等式的传递性，习惯上也称作是等量代换； 即：如果 a=b，且 b=c，那么 a=c； 2.解一元一次方程的步骤： （1 1） 去分母：） 去分母： 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数， 依据等式基本性质 2， 注意防止漏乘(尤 其整数项)，注意添括号； （2 2）去括号：）去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注
6、意变号，防止漏乘； （3 3）移项：）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变 号)，依据等式基本性质 1，移项要变号，不移不变号； （4 4）合并同类项：）合并同类项：把方程化成 axb(a0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不 要出差错； （5 5）系数化为）系数化为 1 1：在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 xb/a ,依据等式基本 性质 2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。 3.说明：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用： a0 时，方程有唯一解 xb/a ； a=0，b=0 时，方程有无数个解； a=0
7、，b0 时，方程无解。 【例题【例题 2 2】(2020重庆 A 卷)解一元一次方程 11 (1)1 23 xx 时，去分母正确的是( ) A3(x+1)=1-2x B2(x+1)=1-3x C2(x+1)=6-3x D3(x+1)=6-2x 【答案】D 【解析】解：方程两边都乘以 6，得：3(x+1)=6-2x；故选：D。 【变式练习【变式练习 2 2】解方程：(1)20%+50%x=7.2；(2) 53 82 xx 【答案】(1)14；(2)4； 【解析】解：(1)移项，得：50%x=7.220%，合并同类项，得：0.5x=7， 将 x 的系数化为 1，解得：x=14 (2)合并同类项，得
8、： 33 82 x ，将 x 的系数化为 1，解得：x=4。 四、一元一次方程的实际应用：四、一元一次方程的实际应用： 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： 审题找出 相等关系相等关系 列出一元一次方程解一元一次方程写出答案 2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点： （1）设适当的未知数； （2）题中各个量的单位。 3.常见的一些等量关系： （1）行程问题：距离=速度时间 （2）工程问题：工作量=工效工时 （3）比率问题：部分=全体比率 （4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度 （5）商品价格问题：售价=定价折 10 1 ；利润=售价-成本；%100 成本
9、 成本售价 利润率 （6）周长、面积、体积问题： 周长：C圆=2R， C长方形=2(a+b)， C正方形=4a； 面积：S圆=R 2， S 长方形=ab， S正方形=a 2， S 环形=(R 2-r2)； 体积：V圆柱=R 2h， V 长方体=abc， V正方体=a 3， V 圆锥= 3 1 R 2h。 【例题【例题 3 3】(2020山西)2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原乐购晋阳”消费暖心活 动， 本次活动中的家电消费券单笔交易满 600 元立减 128 元(每次只能使用一张)某品牌电饭 煲按进价提高 50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费
10、券后，又付现金 568 元求该电饭煲的进价 【答案】580 元 【解析】 设该电饭煲的进价为x元， 则售价为 80%(1+50%)x元， 根据某顾客购买该电饭煲时， 使用一张家电消费券后，又付现金 568 元列出方程，求解即可。 解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为 80%(1+50%)x元， 根据题意，得：80%(1+50%)x-128=568 解得x=580 答：该电饭煲的进价为 580 元。 【变式练习【变式练习 3 3】(2019安徽省)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地 政府决定修建一条高速公路 其中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程
11、由甲乙两个工程队负责 施工甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两 个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】10 天 【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进(x2)米根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后 求工作时间 解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进(x2)米， 由题意，得 2x+(x+x2)26， 解得x7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， 14626
12、10 75 (天) 答：甲乙两个工程队还需联合工作 10 天。 【例题【例题 4 4】 (2019 湖北黄石) “今有善行者行一百步， 不善行者行六十步 ” (出自 九章算术 ) 意思是：同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相 等，据此回答以下问题： (1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔 之？即：走路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问 谁在前面，两人相隔多少步？ (2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问 走路
13、快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步； (2)走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【解析】(1)设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路 快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可。 由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 所以当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 (2)设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步， 走路慢的人只能走
14、 60 步，及追及问题可列方程求解 由题意得 y200+y y500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人。 【变式练习变式练习 4 4】(2019(2019湖南岳阳湖南岳阳) )岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年 地方改革创新 40 案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多 600 亩 (1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ (2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲 小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【答案】（1）复耕土地面积是 900 亩；（2）休闲小广场总面积最多为 75 亩。 【解析】(1)设改造土地面积是 x 亩，则复耕土地面积是(600+x)亩根据“复耕土地面积+改 造土地面积1200 亩”列出方程并解答； 由题意，得 x+(600+x)1200,解得 x300 则 600+x900 所以改造土地面积是 300 亩，则复耕土地面积是 900 亩。 (2)设休闲小广场总面积是 y 亩，则花卉园总面积是(300y)亩，根据“休闲小广场总面积不 超过花卉园总面积的”列出不等式并解答 由题意，得 y(300y) 解得 y75 故休闲小广场总面积最多为 75 亩。
