1、菱形、矩形、正方形菱形、矩形、正方形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、菱形：一、菱形： 1.1.菱形的概念：菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.2.菱形的性质：菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是 对角线的交点 。 3.3.菱菱形的判定：形的判定： （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形； （3）定理 2
2、：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4.菱形的有关计算：菱形的有关计算： （1）周长 C菱形=4a (其中 a 为边长)； （2）面积 S菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中 a 为边长，h 为此边上的高)。 【例题【例题 1 1】(2020牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点，AD x 轴且 AD4，A60，将菱形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的 对应点的坐标是( ) A(0，23) B(2，4) C(23，0) D(0，23)或(0，23) 【答案】D 【解析】点 C 旋转到 y 轴正半轴和 y 轴负半轴
3、两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解 解：根据菱形的对称性可得：当点 D 在 x 轴上时，A、B、C 均在坐标轴上，如图， BAD60，AD4， OAD30， OD2， AO= 42 22= 23 =OC， 点 C 的坐标为(0，23)， 同理：当点 C 旋转到 y 轴正半轴时， 点 C 的坐标为(0，23)， 点 C 的坐标为(0，23)或(0，23)。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020营口)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，其中 OA1，OB 2，则菱形 ABCD 的面积为 【答案】4 【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案 OA1，OB2，
4、AC2，BD4， 菱形 ABCD 的面积为1 2 244。 二、矩形：二、矩形： 1.1.矩形的概念：矩形的概念：有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形； 2.2.矩形的性质：矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； （4）矩形既是轴对称图形，它有两条对称轴； 又是中心对称图形，它的对称中心是 对角线的交点 。 3.3.矩形的判定：矩形的判定： （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 4.4.矩形的有关计算：矩形的有关计算： （1
5、）周长 C矩形=2(a+b) (其中 a 为长，b 为宽)； （2）面积 S矩形=长宽=ab (其中 a 为长，b 为宽)。 【例题【例题 2 2】(2020菏泽)如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD12，点 P 在对角线 BD 上，且 BPBA， 连接 AP 并延长，交 DC 的延长线于点 Q，连接 BQ，则 BQ 的长为 【答案】317 【解析】根据矩形的性质可得 BD13，再根据 BPBA 可得 DQDP8，所以得 CQ3，在 Rt BCQ 中，根据勾股定理即可得 BQ 的长 矩形 ABCD 中，AB5，AD12，BADBCD90，BD= AB2+ AD2=13， BPBA5，PDBD
6、BP8， BABP，BAPBPADPQ， ABCD，BAPDQP， DPQDQP，DQDP8， CQDQCDDQAB853， 在 RtBCQ 中，根据勾股定理，得 BQ= BC2+ CQ2= 153 =317。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020聊城)如图，在 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长 线于点 F，连接 BF，AC，若 ADAF，求证：四边形 ABFC 是矩形 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用 AAS 判定ABEFCE，从而得 到 ABCF；由已知可得四边形 ABFC 是平行四边形，BCAF，根据对角线
7、相等的平行四边形是 矩形，可得到四边形 ABFC 是矩形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD， BAECFE，ABEFCE， E 为 BC 的中点，EBEC， ABEFCE(AAS)，ABCF ABCF，四边形 ABFC 是平行四边形， BCAF，四边形 ABFC 是矩形。 【例题【例题 3 3】(2020贵阳)如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 且 CFBE (1)求证：四边形 AEFD 是平行四边形； (2)连接 ED，若AED90，AB4，BE2，求四边形 AEFD 的面积 【答案】(1)见解析；(2)四边形 AE
8、FD 的面积20. 【解析】(1)先根据矩形的性质得到 ADBC，ADBC，然后证明 ADEF 可判断四边形 AEFD 是 平行四边形； (2)连接 DE，如图，先利用勾股定理计算出 AE25，再证明ABEDEA，利用相似比求出 AD，然后根据平行四边形的面积公式计算 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， BECF， BE+ECEC+EF，即 BCEF， ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形； (2)解：连接 DE，如图， 四边形 ABCD 是矩形， B90， 在 RtABE 中，AE= 42+ 22=25， ADBC，AEBEAD， BAED90， ABED
9、EA， AE：ADBE：AE， AD= 2525 2 =10， 四边形 AEFD 的面积ABAD21020 【变式练习【变式练习 3 3】(2020泸州)如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 的中点，BF 与 EC、 ED 分别交于点 M，N已知 AB4，BC6，则 MN 的长为 【答案】4 3 【解析】延长 CE、DA 交于 Q，延长 BF 和 CD，交于 W，根据勾股定理求出 BF，根据矩形的性质 求出 AD，根据全等三角形的性质得出 AQBC，ABCW，根据相似三角形的判定得出QMF CMB，BNEWND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出 BN 和 BM 的长，即
10、可得出答案 解：延长 CE、DA 交于 Q，如图 1， 四边形 ABCD 是矩形，BC6， BAD90，ADBC6，ADBC， F 为 AD 中点，AFDF3， 在 RtBAF 中，由勾股定理得：BF= AB2+ AF2= 42+ 32=5， ADBC，QECB， E 为 AB 的中点，AB4，AEBE2， 在QAE 和CBE 中 QEA = BEC Q = ECB AE = BE ；QAECBE(AAS)， AQBC6，即 QF6+39， ADBC，QMFCMB，FM BM = QF BC = 9 6， BF5，BM2，FM3， 延长 BF 和 CD，交于 W，如图 2， 同理 ABDM4，
11、CW8，BFFM5， ABCD，BNEWND，BN NF = BE DW， BN 5;BN:5 = 2 4，解得：BN= 10 3 ， MNBNBM= 10 3 2= 4 3。 三、正方形：三、正方形： 1.1.正方形的概念：正方形的概念： （1）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； （2）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.2.正方形的性质：正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有 4
12、条对称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分 成四个全等的小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3.3.正方形的判定：正方形的判定： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行四边形； 再证明它是菱形(或矩形)； 最后证明它是矩形(或菱形)。 4.4.正方形的面积：正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为
13、 b，S正方形= 2 2 2 b a 。 【例题【例题 4 4】(2020青岛)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 在 CD 的延长 线上，连接 AE，点 F 是 AE 的中点，连接 OF 交 AD 于点 G若 DE2，OF3，则点 A 到 DF 的 距离为 【答案】45 5 【解析】根据正方形的性质得到 AODO，ADC90，求得ADE90，根据直角三角形 的性质得到 DFAFEF= 1 2AE，根据三角形中位线定理得到 FG= 1 2DE1，求得 ADCD4，过 A 作 AHDF 于 H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论 解：在正方形 ABC
14、D 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， AODO，ADC90， ADE90， 点 F 是 AE 的中点， DFAFEF= 1 2AE， OF 垂直平分 AD， AGDG，FG= 1 2DE1， OF2，OG2， AOCO，CD2OG4，ADCD4， 过 A 作 AHDF 于 H，HADE90， AFDF，ADFDAE，ADHAED，AH DE = AD AE， AE= AD2+ DE2= 42+ 22=25， AH 2 = 4 25，AH= 45 5 ，即点 A 到 DF 的距离为45 5 【变式练习【变式练习 4 4】(2020湘西州)如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 A
15、DE，连接 BE，CE (1)求证：BAECDE； (2)求AEB 的度数 【答案】(1)见解析；(2)ABE15. 【解析】利用等边三角形的性质得到ADAEDE，EADEDA60，利用正方形的性质 得到 ABADCD，BADCDA90，所以EABEDC150，然后根据“SAS”判定 BAECDE； 先证明 ABAE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算ABE 的度数 解：(1)证明：ADE 为等边三角形， ADAEDE，EADEDA60， 四边形 ABCD 为正方形， ABADCD，BADCDA90， EABEDC150， 在BAE 和CDE 中 AB = DC EAB = EDC A
16、E = DE ， BAECDE(SAS)； (2)ABAD，ADAE， ABAE， ABEAEB， EAB150， ABE= 1 2(180150)15。 【例题【例题 5 5】(2020遵义)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点(点 E 与点 A、C 不重合)，连接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD、AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G (1)求证：EFDE； (2)当 AF2 时，求 GE 的长 【答案】(1)见解析；(2)GE52. 【分析】(1)要证明 EFDE，只要证明DMEE
17、NF 即可，然后根据题目中的条件和正方形的 性质，可以得到DMEENF 的条件，从而可以证明结论成立； (2)根据勾股定理和三角形相似，可以得到 AG 和 CG、CE 的长，然后即可得到 GE 的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，ECM45， MNBC，BCM90，NMC+BCM180，MNB+B180， NMC90，MNB90， MECMCE45，DMEENF90，MCME， CDMN，DMEN， DEEF，EDM+DEM90，DEF90， DEM+FEN90，EDMFEN， 在DME 和ENF 中 EDM = FEN DM = EN DME = ENF ， D
18、MEENF(ASA)，EFDE； (2)如图 1 所示，由(1)知，DMEENF，MENF， 四边形 MNBC 是矩形，MCBN， 又MEMC，AB4，AF2，BNMCNF1， EMC90，CE= 2， AFCD，DGCFGA，CD AF = CG AG， 4 2 = CG AG， ABBC4，B90，AC42， ACAG+GC，AG= 42 3 ，CG= 82 3 ， GEGCCE= 82 3 2 = 52 3 ； 如图 2 所示，同理可得，FNBN， AF2，AB4，AN1， ABBC4，B90，AC42， AFCD，GAFGCD， AF CD = GA GC，即 2 4 = AG AG:
19、42， 解得，AG42， ANNE1，ENA90，AE= 2，GEGA+AE52 【变式练习【变式练习 5 5】(2020湖北仙桃模拟)如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的 点，且 BECF，过点 E 作 EGBF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证： (1)AEBF； (2)四边形 BEGF 是平行四边形 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】由 SAS 证明ABEBCF 得出 AEBF，BAECBF，由平行线的性质得出CBF CEG，证出 AEEG，即可得出结论；延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，则 APCE， EBP9
20、0，证明APEECG 得出 AEEG，证出 EGBF，即可得出结论 解：证明：(1)四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABCBCD90， ABEBCF90， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF(SAS)， AEBF，BAECBF， EGBF，CBFCEG， BAE+BEA90，CEG+BEA90， AEEG，AEBF； (2)延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，如图所示： 则 APCE，EBP90，P45， CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，ECG45，PECG， 由(1)得BAECEG， 在APE 和ECG 中， APEECG(ASA)，AEEG， AEBF，EGBF， EGBF，四边形 BEGF 是平行四边形
