1、三角形及全等三角形三角形及全等三角形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、三角形的有关概念：一、三角形的有关概念： 1.1.三角形：三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接 所组成的图形，叫做三角形。 【例题【例题 1 1】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ） A.都是锐角三角形 B.都是直角三角形 C.都是钝角三角形 D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【答案】A 【解析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形 解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形 (1)如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形
2、 (2)如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形 (3)因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三 角形综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形故选： A 【变式练习【变式练习 1 1】如图，共有 个三角形 【答案】6 【解析】 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形数出三角形的个数 解：图中有：OAB，OAC，OAD，OBC，OCD，OBD，共 6 个故答案为：6 2.2.三角形中的主要线段：三角形中的主要线段： （1 1）中线：）中线： 概念： 连接三角形的一
3、个顶点和它对边 中点 所得到的线段， 叫做三角形这边上的中线； 重心重心：三角形三条边上的中线的交点叫作重心； 重心定理：重心到顶点的离是它到对边中点距离的 2 倍。 【例题【例题 2 2】（2020 秋厦门期末）若 AD 是ABC 的中线，则下列结论正确的是（ ） AADBC BBDCD CBADCAD DAD= 1 2BC 【答案】B 【解析】根据三角形的中线的定义即可判断 解：AD 是ABC 的中线，BDDC，故选：B 【变式练习【变式练习 2 2】（2020 秋增城区期末）如图，在ABC 中，AB2020，AC2018，AD 为中线， 则ABD 与ACD 的周长之差为（ ） A1 B2
4、 C3 D4 【答案】B 【解析】利用中线定义可得 DBDC，再表示两个三角形周长，进而可得答案 解：AD 为中线，DBDC，ABD 与ACD 的周长之差为： （AB+AD+BD）（AD+DC+AC）AB+AD+BDADDCACABAC202020182， 故选：B （2 2）高：高： 概念：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和 垂足 的线段，叫做三 角形这边上的高线(简称三角形的高)； 垂心：三角形三条高的交点叫作垂心。 【例题【例题 3 3】（2020 秋丰台区期末）如图所示，ABC 的边 AC 上的高是（ ） A线段 AE B线段 BA C线段 BD D线段 DA 【答案】
5、C 【解析】根据三角形高线的定义，过点 B 作 BDAC 交 CA 的延长线于点 D，则 BD 为 AC 边上的高 解：由题意可知，ABC 的边 AC 上的高是线段 BD故选：C 【变式练习【变式练习 3 3】如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为 C，D，E，则下列说法不正确的 是（ ） ABC 是ABC 的高 BAC 是ABE 的高 CDE 是ABE 的高 DAD 是ACD 的高 【答案】C 【解析】根据三角形的高的定义判断即可 解：观察图象可知：BC 是ABC 的高，AC 是ABE 的高，AD 是ACD 的高，DE 是BCD、BDE、 CDE 的高；故 A，B，D 正确，C 错误
6、.故选：C （3 3）角平分线：角平分线： 概念：连接三角形的一个顶点和这个 角的平分线 与对边交点的线段，叫做三角形的角 平分线； 内心：三角形三条角平分线的交点叫作内心； 内心定理：内心到三角形三边的距离相等。 （4 4）中位线：）中位线： 概念：连接三角形两边的中点两边的中点的线段叫做三角形的中位线； 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 【例题【例题 4 4】(2020广东)已知ABC 的周长为 16，点 D，E，F 分别为ABC 三条边的中点，则 DEF 的周长为( ) A8 B2 2 C16 D4 【答案】A 【解析】 根据中位线定理可得 1 2 DFA
7、C， 1 2 DEBC， 1 2 EFAC， 继而结合ABC 的周长为 16， 可得出DEF 的周长 解：D、E、F 分别为ABC 三边的中点， DE、DF、EF 都是ABC 的中位线， 1 2 DFAC， 1 2 DEBC， 1 2 EFAC， 故DEF 的周长 11 ()168 22 DEDFEFBCABAC故选：A。 【变式练习【变式练习 4 4】 (2020福建)如图， AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线， BD=5， 则 CD 等于( ) A10 B5 C4 D3 【答案】B 【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解 解：AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD=5，
8、CD=5，故选：B。 3.3.三角形的边之间关系：三角形的边之间关系： （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边三角形的两边之差小于第三边。 （2 2）三角形三边关系定理及推论的作用：）三角形三边关系定理及推论的作用： 判断三条已知线段能否组成三角形； 当已知两边时，可确定第三边的范围； 证明线段不等关系； 【注意】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据； 并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围。 4.4.三角形的角之间关系：三角形的角之间关系： （1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于三角
9、形三个内角和等于 180180； （2）推论： 直角三角形的两个锐角互余； 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （3）三角形的外角和等于 360； 5.5.三角形的边与角之间的关系：三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中： （1）等角对等边；（2）等边对等角；（3）大角对大边；（4）大边对大角。 6.6.三角形的分类：三角形的分类： （1）按边分： 等边三角形 角形底和腰不相等的等腰三 等腰三角形 三边都不相等的三角形 三角形 （2）按角分： 钝角三角形 锐角三角形 斜三角形 直角三角形 三角形 【例题【例题 5 5】（2020
10、宿迁）在ABC 中，AB1，BC= 5，下列选项中，可以作为 AC 长度的是 （ ） A2 B4 C5 D6 【答案】A 【解析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到 AC 的 长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题 解：在ABC 中，AB1，BC= 5，5 1AC5 +1， 5 125 +1，45 +1，55 +1，65 +1，AC 的长度可以是 2， 故选项 A 正确，选项 B、C、D 不正确；故选：A 【变式练习【变式练习 5 5】(2020包头)如图，ACD 是ABC 的外角，CEAB若ACB75， ECD50，则A 的度数为( ) A50 B5
11、5 C70 D75 【答案】B 【解析】先根据平角求出ACE，再根据平行线的性质得出AACE，代入求出即可 【解答】解：ACB75，ECD50， ACE180ACBECD55， ABCE，AACE55，故选：B。 【例题【例题 6 6】(2020赤峰)如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 F 是线段 DE 上的一点连接 AF，BF，AFB90，且 AB8，BC14，则 EF 的长是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论 解：点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，DE 是ABC 的中位线， BC14，
12、DE 1 2 BC7， AFB90，AB8，DF 1 2 AB4， EFDEDF743，故选：B。 【变式练习【变式练习 6 6】(2019重庆市)如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AB 于点 F (1)若C36，求BAD 的度数； (2)求证：FBFE 【答案】（1）54；（2）见解析。 【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明ADB90，再利用等腰三角形的性质求 出ABC 即可解决问题 (2)只要证明FBEFEB 即可解决问题 (1)解：ABAC，CABC， C36，ABC36， B
13、DCD，ABAC，ADBC， ADB90，BAD903654 (2)证明：BE 平分ABC，ABECBE 1 2 ABC， EFBC，FEBCBE，FBEFEB，FBFE 二、全等三角形：二、全等三角形： 1.1.基本概念：基本概念： （1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形； （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； (注意对应的顶点写在对应的位置上) （3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点； （4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边； （5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 2.2.全等三角形的表示：全等三角形的表示： （1）全等
14、用符号“”表示，读作“全等于”； （2）ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”； （3）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3.3.全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等对应角相等、对应边相等。 4.4.三角形全等的判定三角形全等的判定定理：定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (可简写成“边角边”或“SAS”) （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等； (可简写成“角边角”或“ASA”) （3）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写
15、成 AAS)； （4）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 5.5.直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： HL 定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边” 或“HL”) 【例题【例题 7 7】(2020铜仁)如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF 【答案】见解析。 【解析】首先利用平行线的性质得出ACBDFE，进而利用全等三角形的判定定理 ASA，进 而得出答案 证明：ACDF， ACBDFE， BFCE， BCEF， 在ABC 和DEF 中， B = E BC = EF ACB = DFE ， A
16、BCDEF(ASA) 【变式练习【变式练习 7 7】(2020辽阳)如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D若 BC4，则 CD 的长为 【答案】2 【解析】依据三角形中位线定理，即可得到 MN= 1 2BC2，MNBC，依据MNEDCE(AAS)， 即可得到 CDMN2 M，N 分别是 AB 和 AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MN= 1 2BC2，MNBC， NMED，MNEDCE， 点 E 是 CN 的中点， NECE， MNEDCE(AAS)， CDMN2。 【例题【例题
17、 8 8】(2020黑龙江)如图，RtABC 和 RtEDF 中，BD，在不添加任何辅助线的情 况下，请你添加一个条件 ，使 RtABC 和 RtEDF 全等 【答案】ABED 【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是 ABED 或 BCDF 或 ACEF 或 AE CF 等，只要符合全等三角形的判定定理即可 添加的条件是：ABED， 理由是：在ABC 和EDF 中 B = D AB = ED A = DEF ， ABCEDF(ASA)。 【变式练习【变式练习 8 8】(2020菏泽)如图，在ABC 中，ACB90，点 E 在 AC 的延长线上，EDAB 于点 D，若 BCED，求证：CEDB 【答案】见解析。 【解析】由“AAS”可证ABCAED，可得 AEAB，ACAD，由线段的和差关系可得结论 证明：EDAB， ADEACB90，AA，BCDE， ABCAED(AAS)， AEAB，ACAD，CEBD。
