1、中考总复习：特殊三角形知识讲解（提高）责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2性质：(1)具有三角形的一切性质；(2)两底角相等(等边对等角)；(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4)等边三角形的各
2、角都相等，且都等于60要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2性质：(1)直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30；(4
3、)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，SRtABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形3判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边【典型例题】类型
4、一、等腰三角形1（2014秋自贡期末）如图，点O是等边ABC内一点，AOB=110，BOC=以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明BOCADC，然后利用全等三角形的性质可以求出ADO的度数，由此即可判定AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解【答案与解析】解：（1）OCD是等边三角形，OC=CD，而ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=OCD=60，BCO=ACD，在BOC与ADC中，BOCADC，BOC=ADC，而B
5、OC=150，ODC=60，ADO=15060=90，ADO是直角三角形；（2）设CBO=CAD=a，ABO=b，BAO=c，CAO=d，则a+b=60，b+c=180110=70，c+d=60，a+d=50DAO=50，bd=10，（60a）d=10，a+d=50，即CAO=50，要使AO=AD，需AOD=ADO，190=60，=125；要使OA=OD，需OAD=ADO，60=50，=110；要使OD=AD，需OAD=AOD，190=50，=140所以当为110、125、140时，三角形AOD是等腰三角形【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识
6、，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键举一反三： 【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_【答案】.2已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF(1)求证:AE=AF(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：AEF为等边三角形【思路点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】(1)四边形ABCD是菱形， AB=AD,B=D ，又BE=DF， AE=AF (2)连接AC, AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，AB=AC=AD，AB=BC=CD=DA , ABC和ACD都是等边三角形, 又AE=AF 是等边三角形【总结升华】此题涉
7、及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例4】【变式】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：CE=DE.【答案】延长BD到F，使DFBC，连接EF，等边ABC，ABBCAC，B60BFBD+DF，BEAB+AE，AEBD，BCDF，BFBE，等边BEF，EFBE，FB，BCEFDE（SAS）CEDE类型二、直角三角形3（2015秋东海县校级期中）如图，ABC中，CFAB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF（1）求证：BEAC；（2）若A=50，求FME的度数【思路
8、点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；（2）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME，然后根据平角等于180列式计算即可得解【答案与解析】（1）证明：CFAB，垂足为F，M为BC的中点，MF=BM=CM=BC，ME=MF，ME=BM=CM=BC，BEAC；（2）解：A=50，ABC+ACB=18050=130，ME=MF=BM=CM，BMF+CME=（1802ABC）+（1802ACB）=3602（ABC+ACB）=3602130
9、=100，在MEF中，FME=180100=80【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用4如图，ACD和BCE都是等腰直角三角形，ACDBCE90，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由 【思路点拨】ACD和BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AEBD，AEBD. 理由如下：ACDBCE90，ACDDCEBCEDCE，即ACEDCBACD和BCE都是等腰直角三角形，ACCD，CECBACEDCB（
10、SAS）AEBD，CAECDBAFCDFH，DHFACD90，AEBD【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=_.【答案】.类型三、综合运用5 .（2012牡丹江）如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=
11、ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_.点P到AB边的距离PE=_.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键【答案与解析】（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+C
12、H；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6在中，AC=BC，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中
13、得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是： 延长交于点G，由题意，知 EDF=ACB=90，DE=DFDGCB点D为AC的中点，点G为AB的中点，且DG为的中位线AC=BC，DC=DGDC- DE =DG- DF即EC =FG EDF =90，1+CFD =90，2+CFD=90 1 =2 与都是等腰直角三角形，DEF =DGA = 45 CEF =FGH = 135 CEF FGH FH=FC （2）FH与FC仍然相等 【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】【变式】如图， ABC和CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：tanAEC=; SABC+SCDESACE ; BMDM;BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.
