1、中考总复习：特殊三角形知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各
2、角都相等，且都等于60. 3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于
3、斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形1如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍 B.顶角的一半 C.顶角 D.底角的一半【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图，ABC中，AB=AC，BDAC
4、于D，所以ABC=C，BDC=90，所以DBC=90-C=90-(180-A)= A，【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三： 【变式】如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A5个 B4个 C3个 D2个【答案】A2（2015秋南通校级月考）如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=30cm，DE=2cm，则BC= cm【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出
5、BE=30，DE=2，进而得出BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=30，DE=2，DM=28，BEM为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=14，BN=16，BC=2BN=32，故答案为32【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键类型二、直角三角形3将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点
6、.已知，则折痕的长为( ) A. B. C. D. 【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，CED=CED =30，因为在矩形ABCD中，C等于90，CD=AB=2，所以在RtDCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )A. B. C. D.5【答案】B. 解
7、析：由折叠可知，AD=BD，DEAB， BE=AB 设BD为x，则CD=8-x C=90，AC=4，BC=8，AC2+BC2=AB2 AB2=42+82=80，AB=，BE=在RtACD中，AC2+CD2=AD2 ，42+(8-x)2=x2，解得x=5在RtBDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，DE=， 故选B.4已知：在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D.(1)若BAC=30，求证: AD=BD；(2)若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数. 图1 图2【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得ABD=A=30，得出AD=BD. (2)利用三角
8、形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】(1)证明：BAC=30，C=90，ABC=60 又 BD平分ABC， ABD=30， BAC =ABD，BD=AD； (2)解法一： C=90，BAC+ABC=90=45 BD平分ABC，AP平分BAC BAP=，ABP=即BAP+ABP=45 APB=180-45=135解法二： C=90，BAC+ABC=90 =45 BD平分ABC，AP平分BACDBC=，PAC=DBC+PAD=45APB=PDA+PAD =DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45+90=135. 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2
9、、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系类型三、综合运用5 . 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求出ABC的周长。【思路点拨】ABC的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.【答案与解析】(1)AB、ACAB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根, AB+AC=2k+3,ABAC= k2+3k+2 又ABC是以B
10、C为斜边的直角三角形，BC=5 即 当k=-5时，方程为 解得（不合题意，舍去） 当k=2时，方程为 解得 当k=2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)当ABC是等腰三角形时，则有AB=AC,AB=BC,AB=BC三种情况：=10ABAC,故第一种情况不成立；当AB=BC或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根当k=3时，等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；当k=4时，所以等腰三角形的边长是5,5,6，周长是16.【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一
11、元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（ ）. A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.6（2015春威海期末）如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E，EHAB，垂足是H在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME求证：MEBC【思路点拨】根据EHAB于H，得到BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可【答案与解析】解：BAC=90，AB=AC，B=
12、C=45，EHAB于H，BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例6】【变式】如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：ADC=45；BD=AE；AC+CE=AB； AB-BC=2MC；其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.
