1、20212021 年中考数学年中考数学 专题专题 08 08 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、一、一元二次方程有关概念：一元二次方程有关概念： 1 1. .一元二次方程一元二次方程定义定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的 整式方程，叫做一元二次方程； 2 2. .一般形式：一般形式：axax 2 2+bx+c=0 +bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a0) （1）其中 ax 2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项； （2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数； （3）二次项系数：a
2、 a0 0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程） 3 3. .一元二次方程必须具备三个条件：一元二次方程必须具备三个条件： （1）必须是整式方程（等号两边都是整式）； （2）必须只含有 1 个未知数； （3）所含未知数的最高次数是 2； 4 4. .一元二次方程的解：一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解； 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 【例题【例题 1 1】（2020 秋奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A 1 x2 + 1 x 2 = 0 Bax 2+bx+c0 C（x2） 22（x2） Dx 2+2y3
3、【答案】C 【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可 解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、当 a0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C 【变式练习变式练习 1 1】（2020 秋丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx30 是一元二次 方程，则（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【答案】D 【解析】根据一元二次方程定义可得 m+10，再解可得答案 解：由题意得：m+10，解得：m1；故选：D 【例题【例题 2 2】（2020 秋郫都区期末
4、）若 xm 是方程 x 2+x10 的根，则 m2+m+2020 的值 为（ ） A2022 B2021 C2019 D2018 【答案】B 【解析】把 xm 代入已知方程，可以求得 m 2+m1，然后整体代入所求的代数式求值即 可 解：xm 是方程 x 2+x10 的根，m2+m10， m 2+m1，m2+m+20201+20202021故选：B 【变式练习变式练习 2 2】设 m 是方程 x 23x+10 的一个实数根，则m4:m2:1 m2 = 8 【答案】8 【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 23m+10，两边除以 m 得到 m+1 m =3， 再把原式变形得到原式m 2+1
5、+1 m2 =（m+ 1 m） 22+1，然后利用整体代入的方法计算 解：m 是方程 x 23x+10 的一个实数根，m23m+10， m+ 1 m =3，原式m 2+1+1 m2（m+ 1 m） 22+192+18 二、一元二次方程的解法：二、一元二次方程的解法： 1.1.解一元二次方程的基本思想：解一元二次方程的基本思想： 转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解； 2.2.常用方法：常用方法： （1 1）直接开平方法：直接开平方法：适用形式：x 2=p(p0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p0)的方程； （2 2）配方法：配方法：套用公式 a 2+2ab+b2=(a
6、+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2 将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)配方为(x+m)2=n的形式， 再用直接开平方法求解； 配方法解一元二次方程的一般步骤是： 将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为 1； 常数项移到右边； 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p) 2=q 的形式： 如果 q0，方程的根是 x=-pq； 如果 q0，方程无实根； （3 3）公式法：公式法： 利用求根公式 2 4 2 bbac x a ( 2 40bac )解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0)； （4 4）因式分解法：因式分解法：将一元二次
7、方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式； 进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.3.方法方法选择技巧：选择技巧： （1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解； （2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解； （3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时， 可考虑用配方法求解； （4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。 【例题讲解】【例题讲解】 1.1.利用直接开方法解一元二次方程：利用直接开方法解一元二次方程： 【例题【例题 3 3】方程(x+1) 216 的
8、根是 【答案】x13，x25 【解析】(x+1) 216，等式两边直接开平方得：x+14； x13，x25。 【变式练习变式练习 3 3】解方程：(x1) 225 【答案】x16，x24 【解析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可 解：两边直接开平方得：x15，x15 或 x15， 解得：x16，x24。 2.2.利用配方法解一元二次方程：利用配方法解一元二次方程： 【例题【例题 4 4】（2020 秋喀什地区期末）用配方法解方程：2x 23x+10 【答案】x1= 1 2，x21 【解析】利用配方法得到（x 3 4） 2=1 16，然后利用直接开平方法解方程 解：x 23 2x= 1
9、2，所以：x 23 2x+ 9 16 = 1 2 + 9 16，即：（x 3 4） 2=1 16 开方得：x 3 4 =1 4，所以 x1= 1 2，x21 【变式练习变式练习 4 4】（2020 秋秦淮区期末）将一元二次方程 x 23x+10 变形为（x+h）2 k 的形式为 【答案】（x 3 2） 2=5 4 【解析】先移项，再配方，即可得出答案 解：x 23x+10，x23x1， x 23x+（3 2） 21+（3 2） 2， （x 3 2） 2=5 4，故答案为：（x 3 2） 2=5 4 3.3.利用公式法解一元二次方程：利用公式法解一元二次方程： 【例题【例题 5 5】（2020
10、秋高明区期末）解方程 x 23x+10 【答案】x1= 3:5 2 ，x2= 3;5 2 【解析】根据公式法求解即可 解：x 23x+10，9450，x 1= 3:5 2 ，x2= 3;5 2 。 【变式练习变式练习 5 5】（2020 秋永州月考）方程（x+4）（x5）1 的根为 【答案】x1= 1:85 2 ，x2= 1;85 2 【解析】整理后求出 b 24ac 的值，再代入公式求出即可 解：（x+4）（x5）1， 整理得：x 2x210， b 24ac（1）241（21）85， x= 185 2 ，x1= 1:85 2 ，x2= 1;85 2 ，故答案为：x1= 1:85 2 ，x2=
11、 1;85 2 4.4.利用因式分解法解一元二次方程：利用因式分解法解一元二次方程： 【例题【例题 6 6】（2020 秋上杭县期末）方程 3x2x 2的根是（ ） Ax1x20 Bx10，x2= 3 2 Cx1x2= 3 2 Dx10，x2= 3 2 【答案】B 【解析】利用因式分解法求解即可 解：3x2x 2，2x23x0， 则 x（2x3）0，x0 或 2x30， 解得 x10，x2= 3 2，故选：B 【变式练习变式练习 6 6】 （2020 秋奈曼旗月考）一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次 方程 x 27x+120 的一个根，则此三角形的周长是 【答案】14 【解析】先求出
12、方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出 即可 解：解方程 x 27x+120 得：x3 或 4， 当腰为 3 时，三角形的三边为 3，3，6，3+36，此时不符合三角形三边关系定理，此 时不行； 当腰为 4 时，三角形的三边为 4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长 为 4+4+614，故答案为：14 三三、一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根的判别式： 1 1. .一元二次方程根的判别式：一元二次方程根的判别式： b 24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0(a0)根的判别式； 通常用字母表示，即：=b 2-4ac 2 2. .对于一元二次方程对
13、于一元二次方程 axax 2 2 bxbxc c0(a0(a0)0)： （1）=b 2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根 ： a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 （2）=b 2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根： a b xx 2 21 （3）=b 2-4ac0 时，方程无实数根。 【例题【例题 7 7】(2020吉林)一元二次方程 x 2+3x-1=0 根的判别式的值为 【答案】13 【解析】根据一元二次方程根的判别式=b 2-4ac 即可求出值 解：a=1，b=3，c=-1，=b 2-4ac =9+4=13 所以一元二次方程 x 2+3x-1
14、=0 根的判别式的值为 13故答案为：13。 【变式练习变式练习 7 7】(2020北京)已知关于 x 的方程 x 2+2x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 【答案】1 【解析】根据根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出 k 值 解：关于 x 的方程 x 2+2x+k0 有两个相等的实数根， 2 241k0， 解得：k1故答案为：1。 【例题【例题 8 8】(2020新疆兵团)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( ) A 2 1 0 4 xx Bx 2+2x+40 Cx 2-x+20 Dx 2-2x0 【答案】D 【解析】解：分别求出每个方程判别式的值，
15、判别方程的解的个数。 A此方程判别式 2 1 ( 1)4 10 4 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意； B此方程判别式 2 24 1 4120 ，方程没有实数根，不符合题意； C此方程判别式 2 ( 1)4 1 270 ，方程没有实数根，不符合题意； D此方程判别式 2 ( 2)4 1 040 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 【变式练习变式练习 8 8】(2020河南)定义运算：mn=mn 2-mn-1例如：42=422-42-1=7 则 方程 1x=0 的根的情况为( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D只有一个实数根 【答案】A 【解析】解：由题意可
16、知：1x=x 2-x-1=0， 14 1 ( 1)50 ，故选：A。 四、一元二次方程的根与系数的关系：四、一元二次方程的根与系数的关系： 1 1. .一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的两根分别为 x 1，x2， 则有 12 b xx a ， 12 c x x a 2 2. .用根与系数的关系求值时的常见转化：用根与系数的关系求值时的常见转化： （1） 12 1212 11xx xxx x ； （2） 222 12121 2 ()2xxxxx x； （3） 22 12121 2 ()()4xxxxx x； （4） 2 1212
17、12 2112 2xxx xxx xxx x ； 【例题【例题 9 9】 （2020邵阳） 设方程 x 23x+20 的两根分别是 x 1， x2， 则 x1+x2的值为 （ ） A3 B 3 2 C3 2 D2 【答案】A 【解析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系 数的值，代入公式求值即可 解：由 x 23x+20 可知，其二次项系数 a1，一次项系数 b3， 由根与系数的关系：x1+x2= b a = ;3 1 =3故选：A 【变式练习变式练习 9 9】（2020湖北）关于 x 的方程 x 2+2（m1）x+m2m0 有两个实数根， ，且 2+212，那
18、么 m 的值为（ ） A1 B4 C4 或 1 D1 或 4 【答案】A 【解析】根据方程的根的判别式，得出 m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得 +2（m1），m 2m， 结合 2+212 即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论 解：关于 x 的方程 x 2+2（m1）x+m2m0 有两个实数根， 2（m1） 241（m2m）4m+40，解得：m1 关于 x 的方程 x 2+2（m1）x+m2m0 有两个实数根， +2（m1），m 2m， 2+2（+）222（m1）22（m2m）12，即 m23m40， 解得：m1 或 m4（舍去）故选：A 五、一元二次方程的应用：五、一元
19、二次方程的应用： 1.1.列一元二次方程解应用题的步骤：列一元二次方程解应用题的步骤： 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、 找、设、列、解、验、答七步； （1）第 1 步：审题；认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2）第 2 步：找等量关系； （3）第 3 步：设未知数；根据题意及各个量的关系设未知数； （4）第 4 步：列方程；根据题中各个量的关系列出方程； （5）第 5 步：解方程；根据方程的类型采用相应的解法； （6）第 6 步：检验；检验所求得的根是否满足题意。 （7）第 7 步：答。 2.2.常见类型：常见类型： 列一元二次方程解应用题中
20、，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握 以下内容： （1）增长率等量关系： 增长率100%； 设 a 为原来量， m 为平均增长率， n 为增长次数， b 为增长后的量， 则 a(1+m) n=b； 当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有 a(1-m) n=b； 例如：第一年产值为 a，若以后每年的增长率均为 x， 则第二年的产值为 a(1+x)，第三年的产值为 a(1+x) 2； 若以后每年的降低率均为 x， 则第二年的产值为 a(1x)，第三年的产值为 a(1x) 2 （2）利润等量关系： 利润售价-成本； 利润率利润成本100%. 总利润=单件的利润数
21、量 （3）面积问题：充分利用各种图形对应的面积公式。 【例题【例题 1010】（2020广西）某地区 2017 年居民人均可支配收入为 26000 元，2019 年居 民人均可支配收入为 31000 元，设该地区 2017 年至 2019 年居民人均可支配收入的年平 均增长率为 x，则可列方程为（ ） A26000（1+2x）31000 B26000（1+x） 231000 C26000（12x）31000 D26000（1x） 231000 【答案】B 【解析】根据题意可得等量关系：2017 年的人均可支配收入（1+增长率） 22019 年 的人均可支配收入，根据等量关系列出方程即可 解：设
22、我国 2017 年至 2019 年人均可支配收入的年平均增长率为 x， 由题意得：26000（1+x） 231000，故选：B 【变式练习变式练习 1010】（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、 宽 20 米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积 为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为 （ ） A352035x20 x+2x 2600 B352035x220 x600 C（352x）（20 x）600 D（35x）（202x）600 【答案】C 【解析】若设小道的宽为 x 米，则阴影部分
23、可合成长为（352x）米，宽为（20 x） 米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：依题意，得：（352x）（20 x）600故选：C 【例题【例题 1111】 （2020湘西州）某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000 个，1 月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从 2 月份起扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个 （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 【答案】（1）日产量的月平均增长率为 10%；（2）预计 4 月份平均日产量为 266
24、20 个. 【解析】 （1） 根据题意设口罩日产量的月平均增长率为 x， 根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据 3 月份平均日产量为 24200 个，即可预计 4 月份 平均日产量 解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据题意，得 20000（1+x） 224200 解得 x12.1（舍去），x20.110%， 答：口罩日产量的月平均增长率为 10% （2）24200（1+0.1）26620（个） 答：预计 4 月份平均日产量为 26620 个 【变式练习变式练习 1111】（2019大连）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收
25、 入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年该村的人均收入是多少元？ 【答案】（1）年平均增长率为 10%；（2）预测 2019 年该村的人均收入是 26620 元. 【解析】（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据某村 2016 年的人均收入为 20000 元， 2018 年的人均收入为 24200 元， 即可得出关于 x 的一元二次 方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由 2019 年该村的人均收入2018 年该村的人均收入（1+年平均增长率），即可 得出结论 解：（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：20000（1+x） 224200， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10% （2）24200（1+10%）26620（元） 答：预测 2019 年该村的人均收入是 26620 元
