1、专题专题 15 15 燕尾角燕尾角 一、单选题一、单选题 1如图，在 ABC 中，A=20 ，ABC 与ACB的角平分线交于 D1，ABD1与ACD1的角平分线交 于点 D2，依此类推，ABD4与ACD4的角平分线交于点 D5，则BD5C的度数是（ ） A24 B25 C30 D36 【答案】B 【详解】 A=20 ，ABC与ACB 的角平分线交于 D1， D1BC+D1CB= 1 2 (ABC+ACB)= 1 2 (180 -A)， 1 D=180 - 1 2 (180 -A)= 1 2 A+90 =100 ， 同理： 2 D=60 ， 3 D=40 ， 4 D=30 ， 5 D=25 .
2、故选 B 二、解答题二、解答题 2如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一 个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”,试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论 ，解决以下三个问题： 如图(2)，把一块三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、图(1)XZ恰好经过点 B、C， 若A=50 ，则ABX+ACX =_ ； 如图(3)DC平分ADB,EC 平分AEB,若DAE=50 ，DBE=130 ，求DCE 的度数； （写出解答过
3、程） 如图（4） ，ABD，ACD 的 10等分线相交于点 G1、G2、G9，若BDC=140 ，BG1C=77 ，则A 的度数=_ 【答案】 （1）BDC=A+B+C，详见解析； （2）40；DCE=90 ；70 【分析】 （1）根据题意观察图形连接 AD 并延长至点 F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可 证BDC=BDF+CDF； （2）由（1）的结论可得ABX+ACX+A=BXC，然后把A=50 ，BXC=90 代入上式即可得到 ABX+ACX的值； 结合图形可得DBE=DAE+ADB+AEB，代入DAE=50 ，DBE=130 即可得到ADB+AEB 的值，再利用上面
4、得出的结论可知DCE= 1 2 （ADB+AEB）+A，易得答案 由方法，进而可得答案 【详解】 解： （1）连接 AD并延长至点 F， 由外角定理可得BDFBAD+B，CDFC+CAD； BDCBDF+CDF， BDCBAD+B+C+CAD. BACBAD+CAD； BDCBAC +B+C； （2）由（1）的结论易得：ABX+ACX+ABXC， A50 ，BXC90 ， ABX+ACX90 50 40 故答案是：40； 由（1）的结论易得DBEDAE +ADB+AEB，DCEADCAECA DAE=50 ，DBE=130 ， ADB+AEB80 ； DC平分ADB,EC 平分AEB, ADC
5、= 1 2 ADB,AEC= 1 2 AEB DCE 1 2 (ADB+AEB)+A=40 +50 =90 ； 由知，BG1C 1 10 (ABD+ACD)+ A， BG1C77 ， 设A为 x ， ABD+ACD140 x ， 1 10 (140 x)x77， 14 1 10 x+x77， x70， A为 70 故答案是：70 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BDC=A+B+C 是解答的关键， 注意：三角形的内角和等于 180 ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F， 62A ，35A
6、CD，20ABE， 求BFD的度数. 【答案】63BFD. 【解析】 【分析】 根据三角形的外角性质先求出BDF的度数，再利用三角形内角和定理即可注出BFD的度数. 【详解】 解：在 ADC中， 97BDFAACD ， 在在 BDF 中， 180180209763BFDABEBDF. 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键. 4如图，BG是ABD的平分线，CH是ACD 的平分线，BG与 CH交于点O，若150BDC， 110BOC，求A的度数. 【答案】70A . 【解析】 【分析】 根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得
7、出BDC、BOC，在根据角平分线的性质即可 得出 【详解】 解：由燕尾角的基本图形与结论可得， BDCBOCOBDOCD BOCAABOACO BG是ABD的平分线，GH是ACD的平分线 ABOOBD，ACOOCD -得，270ABOCBDC 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义注意利用“8 字形”的对应角相等求出角的关系是解题的 关键，要注意整体思想的利用 5如图，AM、CM分别平分BAD和BCD ，若42B，54D，求M的度数. 【答案】48M. 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理用B、M 表示出BAM-BCM，再用B、M表示出MAD-MCD，再根 据角平分线的定义
8、可得BAM-BCM=MAD-MCD，然后求出M与B、D 关系，代入数据进行 计算即可得解； 【详解】 解：根据三角形内角和定理，B+BAM=M+BCM， BAM-BCM=M-B， 同理，MAD-MCD=D-M， AM、CM分别平分BAD和BCD， BAM=MAD，BCM=MCD， M-B=D-M， M= 1 2 （B+D）= 1 2 （42 +54 ）=48 ； 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义注意利用“8 字形”的对应角相等求出角的关系是解题的 关键，要注意整体思想的利用 6如图，在ABC中，ABC与 ACB的平分线相交于点I，试说明BIC、A之间的数量关系. 【答案】
9、 1 90 2 BICA，见解析. 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出BIC=180 - 1 2 （ABC+ACB）=180 -90 + 1 2 A=90 + 1 2 A， 【详解】 解：在ABC中，ABC+ACB=180 -A ABC与ACB的平分线相交于点I， 1 2 CBIABC， 1 2 BCIACB, 在BIC中 1 )180()(180 2 BICIBCICBABCACB 11 18090 2 - 2 180AA 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理，以及角平分线的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 7 如图， 已知DE分别交ABC的边AB、AC
10、于D、E， 交BC的延长线于F， 62B ，76ACB， 93ADE，求DEC的度数. 【答案】135DEC. 【分析】 根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】 解：在ABC中，=180 - ABACB=180-62-7642， DEC=9342135AADE 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为 180 及三角形的一个外角等于不相邻 两个内角的和是解题的关键 8如图，ABC中， （1）若ABC、 ACB的三等分线交于点 1 O、 2 O，请用 A表示 1 BOC、 2 BO C ； （2）若ABC、ACB的n等分线交于点 1 O、 21n OO （ 1 O
11、、 21n OO 依次从下到上） ，请用 A 表示 1 BOC， 1n BOC . 【答案】 （1） 1 1 120 3 BOCA， 2 2 60 3 BO CA； （2） 1 11 180 n BOCA nn ， 1 11 180 n n BOCA nn . 【分析】 （1） 根据三角形内角和可得180ABCACBA， 再根据ABC、ACB的三等分线交于点 1 O、 2 O，可得 11 1 (180), 3 O BCOCBA 22 2 (180), 3 O BCO CBA然后根据三角形内角和 定理即可用含A表示 1 BOC、 2 BO C ； （2）根据（1）中所体现的规律解答即可. 【详解
12、】 解： （1） 180AABCACB ， 180ABCACBA， ABC、ACB的三等分线交于点 1 O、 2 O， 11 1 (180), 3 O BCOCBA 22 2 (180), 3 O BCO CBA 111 11 180()180(180)120 33 BOCO BCOCBAA ， 222 22 180()180(180)60 33 BO CO BCO CBAA ； （2）由（1）可知 1 111 180(180)180 n BOCAA nnn ， 1 111 180(180)180 n nn BOCAA nnn . 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理及角的 n 等分线的性质.
13、熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键. 三、填空题三、填空题 9如右图，A+B+C+D+E+F+G+H_ 【答案】360 【分析】 根据三角形的外角性质可得BNPAB，DPQCD，FQMEF，HMNG H，再根据多边形的外角和定理即可求解 【详解】 解：由图形可知：BNPAB，DPQCD，FQMEF，HMNGH， BNPDPQFQMHMN360 ， ABCDEFGHBNPDPQFQMHMN360 故答案为：360 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于 360度，将ABCDEFG H 的和转化为BNPDPQFQMHMN的和是解题的关键 10如图，A+B+C+D+E_
14、【答案】180 【分析】 先根据三角形外角的性质得出CFBAC，BGFDE，再由三角形内角和定理即可得出结 论 【详解】 解：CFB是 ACF的外角，BGF是 DEG 的外角， CFBAC，BGFDE， BCFBBGF180 ， ABCDE180 故答案为：180 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180 是解答此题的关键 11如图，A+B+C+D+E等于_ 【答案】180 【分析】 根据三角形外角的性质可知BA1，DE2，再根据三角形内角和定理即可得出结论 【详解】 解：如图， BA1，DE2， 12C180 ， ABCDE180 故答案为：180 【点睛】 本题考
15、查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和”是解答此题的关键 12如图，A+B+C+D+E+F+G+H_ 【答案】360 【分析】 连接 CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：2GH，3AB，1D E45， 根据四边形的内角和为 360 ， 可得： 23GFE45DCB360 即G HABGFEDEDCB360 【详解】 解：如图，连接 FC， 由三角形外角的性质可得： 2GH， 3AB， 1DE45， 根据四边形的内角和为 360 ，可得：23GFE45DCB360 即GHABGFEDEDCB360 ， 故答案为 360 【点睛
16、】 本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质 13如图，A+B+C+D+E+F+G+H_ 【答案】720 【分析】 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 可得2与H、 G 的关系， 1与2、 D的关系， 根据多边形的内角和公式，可得答案 【详解】 解：如图： 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 2HG，12D， 1HGD， ABCDEFGH ABCEFHGD 180 （62） 270 故答案为：720 【点睛】 本题考查了多边形的内角与外角，先求出1HGD，再求出多边形的内角和 14如图，则A+B+C+D+E 的度数是_ 【答案】180 【分析
17、】 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得4A2，2DC，进而利用三角 形的内角和定理求解 【详解】 解：如图可知： 4 是三角形的外角， 4A2， 同理2也是三角形的外角， 2DC， 在 BEG中，BE4180 ， BEADC180 故答案为：180 【点睛】 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系 15 如图， 在ABC中， 80ABC，50ACB，BP平分ABC，CP平分ACB， 则BPC _. 【答案】115 【解析】 【分析】 先根据角平分线的性质求出PBCPCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】 解：BP平分 ABC，CP平分ACB， 1 (8050 )65 2 PBCPCB ， 18065115BPC. 【点睛】 本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
