1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 6：与平行四边形相关的综合题：与平行四边形相关的综合题 1 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 yx+2 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B， 抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求 D 点的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当以 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形， 且以 BO 为边时，请直接写出所有符合条件的点 E 的坐标 2如
2、图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴和负半轴和 x 轴的 正半轴上，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过的 A、B，且 12a+5c0 （1）求抛物线的解析式； （2） 若点 P 由点 A 开始边以 2cm/s 的速度向点 B 移动， 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 1cm/s 的速度向 点 C 移动当一点到达终点时，另一点也停止运动 当移动开始后第 t 秒时，设 SPQ2（cm） ，试写出 s 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围 当 t 取何值时，S 取得最小值？此时在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B
3、、Q、R 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标，若不存在，请说明理由 3在平面直角坐标系中，我们定义直线 yaxa 为抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的“梦 想直线” ；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线 y ax2+bx+c 与其“梦想直线”交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 x 轴负半轴交于点 C，tanABO ，B（1，0） ，点 A 横坐标为2，BC4 （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将ACM 以 AM 所在直线为对称轴
4、翻折，点 C 的对称点为 N， 若AMN 为该抛物线的“梦想三角形” ，求点 N 的坐标； （3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 4如图，已知二次函数 yax24x+c（a0）的图象与坐标轴交于点 A（1，0）和点 B（0，5） （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P，使得ABP 的周长最小，请求出点 P 的坐标； （3）设二次函数 yax24x+c（a0）的图象与 x 轴的另一交点为点 C，连接
5、BC，点 N 是线段 BC 上 一点，过点 N 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，求当四边形 OBMN 为平行四边形时，点 N 的坐标 5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+2（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两 点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点 D 的横坐标为 m，连接 CD，BD，BC，AC， 当BCD 的面积等于AOC 面积的 2 倍时，求 m 的值； （3）如图 2，若点 N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶 点的四边形是
6、平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 6如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） ，点 B（4，0） ， 与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限内的抛物线上一点，过点 P 作 PHx 轴于点 H， 交直线 BC 于点 Q， 求 PQ+CQ 的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将抛物线沿射线 BC 的方向平移个单位长度，得到新抛物线 y1a1x2+b1x+c1（a10） ， 新抛物线与原抛物线交于点 G点 M 是 x 轴上一点，点 N 是
7、新抛物线上一点，若以点 C、G、M、N 为 顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 N 的坐标 7如图，抛物线 yx2+2x+6 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，交 y 轴于点 C，顶点为 D， 对称轴分别交 x 轴、 AC 于点 E， F， 点 P 是射线 DE 上一动点， 过点 P 作 AC 的平行线 MN 交 x 轴于点 H， 交抛物线于点 M，N（点 M 位于对称轴的左侧） ，设点 P 的纵坐标为 t （1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标； （2）当点 P 位于 EF 的中点时，求点 M 的坐标； （3）点 P 在线段 DE 上运动时，当2，求 t 的值；
8、 点 Q 是抛物线上一点，点 P 在整个运动过程中，满足以点 C，P，M，Q 为顶点的四边形是平行四边 形时，则此时 t 的值是 （请直接写出答案） 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 B（3， 0） ，C（0，3） ，连接 BC，点 P 是抛物线上的一个动点，点 N 是对称轴上的一个动点 （1）求该抛物线的函数解析式 （2）当PAB 的面积为 8 时，求点 P 的坐标 （3）若点 P 在直线 BC 的下方，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，在抛物线上是否存在点 Q，使得以点 P，C，N，Q 为顶点的四边形是平行四
9、边形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 9如图，抛物线 yx2+2x+与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 10已知抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（4，0） ，B（1，3）两点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C， 点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴
10、对称，联结 BC、BD （1）求该抛物线的表达式以及对称轴； （2）点 E 在线段 BC 上，当CEDOBD 时，求点 E 的坐标； （3）点 M 在对称轴上，点 N 在抛物线上，当以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这 个平行四边形的面积 11如图，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一 个动点，设点 D 的横坐标为 m（0m2） 连接 AC，BC，DB，DC （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD 的面积何时最大？求出此时 D 点的坐标和最大面积； （3） 在 （2） 的条件下， 若点 M 是
11、x 轴上一动点， 点 N 是抛物线上一动点， 试判断是否存在这样的点 M， 使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请 说明理由 12如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于点 A（3，0） ，点 B（1，4） （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是 x 轴上方抛物线上一点，点 N 是直线 AB 上一点，若 A、O、M、N 以为顶点的四边形是以 OA 为边的平行四边形，求点 M 的坐标 13如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3）顶点为 D （1）求抛
12、物线的函数关系式； （2）判断BCD 的形状，并说明理由； （3）点 P 在抛物线上，点 Q 在直线 yx 上，是否存在点 P、Q 使以点 P、Q、C、O 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 14综合与探究 如图，抛物线 yax2+bx+6 经过点 A（2，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一 个动点，设点 D 的横坐标为 m（1m4） 连接 AC，BC，DB，DC （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD 的面积等于AOC 的面积的时，求 m 的值； （3） 在 （2） 的条件下， 若点 M 是 x 轴上一动点，
13、点 N 是抛物线上一动点， 试判断是否存在这样的点 M， 使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 15如图，点 G 是等边三角形 AOB 的外心，点 A 在第一象限，点 B 坐标为（4，0） ，连结 OG抛物线 yax（x2）+1+的顶点为 P （1）直接写出点 A 的坐标与抛物线的对称轴； （2）连结 OP，求当AOG2AOP 时 a 的值 （3）如图，若抛物线开口向上，点 C，D 分别为抛物线和线段 AB 上的动点，以 CD 为底边构造顶角 为 120的等腰三角形 CDE（点 C，D，E 成逆时针顺序） ，连结 GE
14、点 Q 在 x 轴上，当四边形 GDQO 为平行四边形时，求 GQ 的值； 当 GE 的最小值为 1 时，求抛物线的解析式 参考答案参考答案 1解： （1）在中，令 y0 得 x4，令 x0 得 y2， A（4，0） ，B（0，2） ， 把 A（4，0） ，B（0，2）代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如图，过点 B 作 BEx 轴，交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 的垂线，垂足为 F， BEx 轴， BACABE， ABD2BAC， ABD2ABE， 即DBE+ABE2ABE， DBEABE， DBEBAC， 设 D 点的坐标为（x，x2+x+2） ，则 BFx，DFx2
15、+x， tanDBE，tanBAC， ，即， 解得 x10（舍去） ，x22， 当 x2 时，x2+x+23， 点 D 的坐标为（2，3） ； （3） 当 BO 为边时，OBEF，OBEF 设 E（m，m+2） ，F（m，m2+m+2） ， EF|（m+2）（m2+m+2）|2， 解得 m12，m222，m32+2， E 点的坐标为（2，1）或（22，1+）或（2+2，1） 2解： （1）据题意知：A（0，2） ，B（2，2） ， A 点在抛物线上， c2， 12a+5c0， a， 由 AB2 知抛物线的对称轴为：x1， 即：1， b， 抛物线的解析式为：yx2x2； （2）由图象知：PB22
16、t，BQt， SPQ2PB2+BQ2（22t）2+t2， 即 S5t28t+4（0t1） ； 假设存在点 R，可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形， S5t28t+4（0t1） ， S5（t）2+（0t1） ， 当 t时，S 取得最小值； 这时 PB20.4，BQ0.8，P（1.6，2） ，Q（2，1.2） ， 分情况讨论： 若 PB 与 PQ 为边，这时 QRPB0.4，QRPB，则：R 的坐标为（2.4，1.2） ， 代入 yx2x2，左右两边相等， 这时存在 R（2.4，1.2）满足题意； 若 PB 与 QB 为边，这时 PRQB，PRQB0.8，则：R 的坐标为（1.6，1.2
17、） ， 代入 yx2x2，左右两边不相等，R 不在抛物线上； 若 PQ 与 QB 为边，这时 PRQB，PRQB，则：R 的坐标为（1.6，2.8） ， 代入 yx2x2，左右不相等，R 不在抛物线上 综上所述，存在一点 R（2.4，1.2）满足题意 3解： （1）tanABO，由直线的表达式知，a， 故一次函数的表达式为 yx+； 当 x2 时，yx+2，故点 A（2，2） ， 点 B（1，0） ，BC4，则点 C（3，0） ，则 c3， 故抛物线的表达式为 yx2+bx+c 将点 A、B 的坐标代入上式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x+2； 抛物线的对称轴为直线 x1，故抛物线的顶
18、点坐标为： （1，） ； （2）当点 N 在 y 轴上时，AMN 为梦想三角形， 如图 1，过 A 作 ADy 轴于点 D，则 AD2， 由点 A、C 的坐标知，AC， 由翻折的性质可知 ANAC， 在 RtAND 中，由勾股定理可得 DN3， 由抛物线的表达式知，点 D 的坐标为（0，2） ，故 OD2， ON23 或 ON2+3， 当 ON2+3 时，则 MNODCM，与 MNCM 矛盾，不合题意， N 点坐标为（0，23） ； 当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，过 N 作 NPx 轴于点 P，如图 2， 在 RtAMD 中，AD2，OD2， tanDAM， DAM60， A
19、Dx 轴， AMCDAO60， 又由折叠可知NMAAMC60， NMP60，且 MNCM3， MPMN，NPMN， 此时 N 点坐标为（，） ； 综上可知 N 点坐标为（0，23）或（，） ； （3）当 AC 为平行四边形的边时，如图 3，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AKx 轴于点 K， 则有 ACEF 且 ACEF， ACKEFH， 在ACK 和EFH 中， ， ACKEFH（AAS） ， FHCK1，HEAK2， 抛物线对称轴为 x1， F 点的横坐标为 0 或2， 点 F 在直线 AB 上， 当 F 点横坐标为 0 时，则 F（0，） ，此时点 E 在直线 AB 下方， E
20、 到 x 轴的距离为 EHOF2，即 E 点纵坐标为， E（1，） ； 当 F 点的横坐标为2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去； 当 AC 为平行四边形的对角线时， C（3，0） ，且 A（2，2） ， 线段 AC 的中点坐标为（2.5，） ， 设 E（1，t） ，F（x，y） ， 则 x12（2.5） ，y+t2， x4，y2t， 代入直线 AB 解析式可得 2t（4）+，解得 t， E（1，） ，F（4，） ； 综上可知存在满足条件的点 F，此时 E（1，） 、F（0，）或 E（1，） 、F（4， ） 4解： （1）将点 A、点 B 的坐标代入， 得， 解得：， 二次函数解析式为
21、 yx24x5； （2）二次函数解析式为 yx24x5， 对称轴方程为：x2， 令 y0，则 x24x50， 解得：x11，x25， 则抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为（5，0） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b， 将点 B、C 的坐标代入得：， 解得：， 即直线 BC 的解析式为：yx5， 点 P 在抛物线对称轴上， 点 P 的坐标为（2，3） ； （3）如图，设点 N（m，m5） ，则 M（m，m24m5） ， 四边形 OBMN 为平行四边形， MNOB5， m5（m24m5）5， m25m+50， m1，m2， 点 N 坐标为（，）或（，） 5解： （1）把 A（1，0
22、） ，B（3，0）代入 yax2+bx+2 中，得：，解得：， 抛物线解析式为 yx2+x+2； （2）过点 D 作 y 轴平行线交 BC 于点 E， 把 x0 代入 yx2+x+2 中，得：y2， C 点坐标是（0，2） ， 又B（3，0） ， 直线 BC 的解析式为 yx+2， 点 D（m，m2+m+2） ， E（m，m+2） ， DE（m2+m+2）（m+2）m2+2m， 由 SBCD2SAOC得：DEOB2OAOC， （m2+2m）3212， 整理得：m23m+20 解得：m11，m22 0m3 m 的值为 1 或 2； （3）存在，理由： 设：点 M 的坐标为： （x，y） ，yx2
23、+x+2，点 N（1，s） ，点 B（3，0） 、C（0，2） ， 当 BC 是平行四边形的边时， 当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位得到 B， 同样点 M（N）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N（M） ， 故：x+31，y2s 或 x31，y+2s， 解得：x2 或 4， 故点 M 坐标为： （2，）或（4，） ； 当 BC 为对角线时， 由中点公式得：x+13，y+s2， 解得：x2，故点 M（2，2） ； 综上，M 的坐标为： （2，2）或（2，）或（4，） 6解： （1）将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 故抛物线的表达式为 yx2+x+
24、2； （2）由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 yx+2， 设点 P（m，m2+m+2） ，则点 Q（m，m+2） ， 过点 Q 作 QHy 轴于点 H， 由点 B、C 的坐标知，CO2，OB4，则 tanCBOtanCQH，则 sinCQH， 则 CHCQsinCQHCQCHyCyH2（m+2）m， 则 PQ+CQ（m2+m+2）（m+2）mm2+m， 0，故 PQ+CQ 有最大值， 当 m3 时，PQ+CQ 最大值为，此时点 P（3，） ； （3）将抛物线沿射线 BC 的方向平移个单位长度，则向左平移了 2 个单位，向上平移了 1 个单位， 则抛物线的抛物线为 y（x+1）2+
25、（x+1）+2+1x2x+3； 联立并解得，故点 G（1，） ， 设点 N 的坐标为（x，x2x+3） ， 当 CG 是边时， 将点 C 向上平移个单位得到点 G，则点 N（M）向上平移个单位得到 M（N） ， 即x2x+30，解得 x1或 12， 故点 N 的坐标为（1+，）或（1，）或（1+2，）或（12，） ； 当 CG 是对角线时， 由中点公式得：（2+）（x2x+3） ， 整理得：x2+2x+50， 0，故该方程无解； 综上，点 N 的坐标为（1+， ）或（1， ）或（1+2，）或（12，） 7解： （1）对于抛物线 yx2+2x+6，令 y0，得到x2+2x+60，解得 x2 或
26、6， B（2，0） ，A（6，0） ， 令 x0，得到 y6， C（0，6） ， 抛物线的对称轴为直线 x2； （2）点 C（0，6） ，点 A（6，0） ， 直线 AC 解析式为 yx+6， 当 x2 时，y4， 点 F（2，4） ， 点 P 位于 EF 的中点， 点 P（2，2） ， 设直线 MN 解析式为 yx+b， 22+b， b4， 直线 MN 解析式为 yx+4， 联立方程组可得：， 解得：，（舍去） ， 点 M（3，+1） ； （3）如图 1，过点 M 作 MQAB 于 Q， 点 P（2，t） ， OE2，PEt， ACBC， CAOACO45， MNAC， MHQCAO45，
27、PHEHPE45，QMHMHQ45， MQQH，PEEHt， PHMQ， ， ， ， ， QH3tMQ， OQ3tt22t2， 点 M（22t，3t） ， 3t（22t）2+2（22t）+6， t1，t2（舍去） ， 点 P 在线段 DE 上运动时，t 的值为； 若 PM 为边， 以点 C，P，M，Q 为顶点的四边形是平行四边形， MPCQ，MPCQ， 又ACMP， 点 Q 与点 A 重回， MxPxxAx6，MyPyyAy6， Mx6+28，My6+t， 6+t+28+6， t16； 若 PM 为对角线，四边形 CPQM 是平行四边形， CPMQ，CMPQ，CPMQ， PxxQxMx2，Py
28、yQyMyt6， 设点 M（a，a2+2a+6） ，则点 Q（a+2，a2+8） ， （a2+8）（a2+2a+6）t6， t82a， 2aa2+2a+6t， a5+（舍去） ，a5， t2+2； 综上所述：t16 或2+2 8解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 B（3，0） ，C（0，3） ， ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx22x3； （2）抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点， 0 x22x3， x11，x23， 点 A（1，0） ， AB4， 设点 P（p，p22p3） ， PAB 的面积为 8， 4|p22p3|8， p22p34 或 p22p34， p1
29、2+1，p22+1，p31， 点 P 坐标为（2+1，4）或（2+1，4）或（1，4） ； （3）如图 1，过点 P 作 PEx 轴，交 BC 于 E， 点 B（3，0） ，C（0，3） ， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设点 P（a，a22a3） ，则点 E（a，a3） ， PEa3（a22a3）a2+3a， SBCP（a2+3a）3（a）2+， 当 a时，SBCP有最大值，即点 P 到直线 BC 的距离最大， 此时点 P（，） ， 设点 N（1，n） ，点 Q（m，m22m3） ， 若 CP 为边，CN 为边时，则 CQ 与 NP 互相平分， ， m， 点 Q（，） ， 若 CP 为边
30、，CQ 为边时，则 CN 与 PQ 互相平分， ， m， 点 Q（，） ， 若 CP 为对角线，则 CP 与 NQ 互相平分， ， m， 点 Q（，） ， 综上所述：点 Q 坐标为（，）或（，）或（，） 9解： （1）当 x0 时，则 y， C（0，） ， 当 y0 时，x2+2x+0， 化简，得 x24x50， 解得，x1 或 x5， A（1，0） ，B（5，0） ； （2）如图，连接 BC，交对称轴于点 P，连接 AP 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， APPB， 要使 PA+PC 的值最小，则应使 PB+PC 的值最小， BC 与对称轴的交点，使得 PA+PC 的值最小 设 B
31、C 的解析式为 ykx+b 将 B（5，0） ，C（0，）代入 ykx+b， 得， ， 直线 BC 的解析式为 yx+ 抛物线的对称轴为直线 x2 当 x2 时，y2+， P（2，） ； （3）设点 M（m，0） ，N（n，n2+2n+） ， 由（1）知，A（1，0） ，C（0，） ， 当 AC 与 MN 是对角线时， AC 与 MN 互相平分， （0+）（n2+2n+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 当 AM 与 CN 是对角线时，AM 与 AN 互相平分， （m1）n，0（n2+2n+） ， 解得，n2， N（2+，）或（2，） ， 当 AN 与 CM 是对角线时，AN
32、与 CM 互相平分， （n2+2n+）（0+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 即：以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（4，）或（2+，） 或（2，） ， 10解： （1）抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（4，0） ，B（1，3）两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2x， 对称轴为直线 x2； （2）点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴对称， 点 D（5，3） ， BD6， 点 C（2，0） ，点 B（1，3） ， BC3，直线 BC 解析式为 yx+2， 如图，连接 BO， BDOC， DBEBCO， CEDOBD，CEDEBD
33、+BDE，OBDOBC+DBE， OBCBDE， OBCEDB， ， ， BE2， 设点 E（x，x+2） ， 2， x1 或 x2（舍去） ， 点 E（1，1） ； （3）当 OA 为边时， 以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形， OAMN4，OAMN， 点 N 横坐标为 6 或2， 点 N 的纵坐标为， 平行四边形的面积4， 当 OA 为对角线， 以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形， MN 与 OA 互相平分， ， Nx2， 点 N（2，） ， 平行四边形的面积4， 综上所述：平行四边形的面积为或 11解： （1）由抛物线交点式表达式得：ya（x+1） （x2）
34、， 将（0，3）代入上式得：2a3，解得：a， 故抛物线的表达式为：； （2）点 C（0，3） ，B（2，0） ， 设直线 BC 的表达式为：ymx+n，则，解得：， 故直线 BC 的表达式为：， 如图所示，过点 D 作 y 轴的平行线交直线 BC 与点 H， 设点 D（m，） ，则点 H（m，m+3） ， SBDCSDHC+SHDBHDOB， 0，故BCD 的面积有最大值， 当 m1，BCD 面积最大为，此时 D 点为（1，3） ； （3）m1 时，D 点为（1，3） ， 当 BD 是平行四边形的一条边时， 设点 N（n，） ， 则点 N 的纵坐标为绝对值为 3， 即， 解得：n0 或 1（
35、舍去）或， 故点 N 的坐标为（0，3）或（，3）或（，3） ， 当 BD 是平行四边形的对角线时， N 的坐标为（0，3） ； 综上，点 N 的坐标为： （0，3）或（，3）或（，3） 12解： （1）把点 A（3，0） ，点 B（1，4）代入 yx2+bx+c，得 解得 故该抛物线解析式是：yx2x+6； （2）设直线 AB 解析式是：ykx+t（k0） ，则把点 A（3，0） ，点 B（1，4）代入，得 解得 则直线 AB 的解析式为 yx+3 设 N（a，a+3） 如图，当四边形 AONM 是平行四边形时，AOMN 且 AOMN，则 M（a3，a+3） 点 M 在抛物线 yx2x+6
36、上， a+3（a3）2（a3）+6 解得 a13，a21 点 M 的坐标是（0，6）或（2，4） ； 如图，当四边形 AOMN 是平行四边形时，AONM 且 AOMN，则 M（a+3，a+3） 点 M 在抛物线 yx2x+6 上， a+3（a+3）2（a+3）+6 整理，得 a2+8a+90 解得 a14+，a24 点 M 的坐标是（0，6）或（2，4）或（1+，1+） 综上所述，点 M 的坐标是（0，6）或（2，4）或（1+，1+） 13解： （1）把点 A、C 坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 抛物线的表达式为：yx2+2x3， 顶点 D 的坐标为（1，4） ； （2）yx2+2x3，令
37、 y0，则 x1 或3，故点 B（3，0） ，而 C、D 的坐标分别为： （0，3） 、 （ 1，4） ， 则 BD，CD，BC， 故：BD2CD2+BC2， 故BCD 为直角三角形； （3）存在，理由： 当 OC 是平行四边形的一条边时， 设：点 P（m，m2+2m3） ，点 Q（m，m） ， 则 PQOC3， PQ|m2+2m3m|3， 解得：m1 或 2 或 0 或3（舍去 0） ， 故 m1 或 2 或3； 当 CO 是平行四边形的对角线时， 设点 P（m，m2+2m3） ，点 Q（n，n） ， 由中线定理得：， 解得：m0 或1（舍去 0） ； 故 m1 或 2 或3， 则点 P（1
38、，4）或（2，5）或（3，0） 14解： （1）由抛物线交点式表达式得：ya（x+2） （x4）a（x22x8）ax22ax8a， 即8a6，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2+x+6； （2）点 C（0，6） ，将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：yx+6， 如图所示，过点 D 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 H， 设点 D（m，m2+m+6） ，则点 H（m，m+6） SBDCHDOB2（m2+m+6+m6）2（m2+3m） ， SACO62， 即：2（m2+3m）， 解得：m1 或 3（舍去 1） ， 故 m3； （3）当 m3 时，点 D（
39、3，） ， 当 BD 是平行四边形的一条边时， 如图所示：M、N 分别有三个点， 设点 N（n，n2+n+6） 则点 N 的纵坐标为绝对值为， 即|n2+n+6|， 解得：n1 或 3（舍去）或 1， 故点 N（N、N）的坐标为（1，）或（1，）或（1，） ， 当点 N（1，）时，由图象可得：点 M（0，0） ， 当 N的坐标为（1，） ，由中点坐标公式得：点 M（，0） ， 同理可得：点 M坐标为（，0） ， 故点 M 坐标为： （0，0）或（，0）或（，0） ； 当 BD 是平行四边形的对角线时， 点 B、D 的坐标分别为（4，0） 、 （3，） 设点 M（m，0） ，点 N（s，t） ，
40、 由中点坐标公式得：，而 ts2+s+6， 解得：t，s1，m8， 故点 M 坐标为（8，0） ； 故点 M 的坐标为： （0，0）或（，0）或（，0）或（8，0） 15解： （1）如图，连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H， 点 B 坐标为（4，0） ， OB4， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AHOB，OAOB4，AOB60， OAH30， OHOA2，AHOH2， 点 A（2，2） ， 抛物线 yax（x2）+1+ax22ax+1+， 对称轴为：直线 x1； （2）如图，过点 P 作 PNOB 于 N，交 AO 于 F， ON1， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心，
41、OG 平分AOB， AOG30BOG， 当点 P 在AOB 内， AOG2AOP， AOP15POG， PON45， PNOB， PONOPN45， PNON1， 点 P 坐标（1，1） ， 1a（12）+1+， a， 当点 P 在AOB 外， 同理可得AOP15， PON75， OPN15AOP， OFPF， AOB60，PNOB， OF2ON2PF，FNON， PNPF+FN2+， 点 P 坐标为（1，2+） ， 2+a（12）+1+， a1， 综上所述：a1 或； （3）如图，连接 AG 并延长 AG 交 OB 于 H， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， AG2GH，OHBH2，A
42、H2， GH， 四边形 GDQO 为平行四边形， GDOB，GDOQ， ， GD， QH， GQ； 如图，在 OB 上截取 OMBD，连接 CM，GM，GB，MD，GD， 点 G 是等边三角形 AOB 的外心， OGGB，GOBGBOABG30， 又OMBD， OGMBGD（SAS） ， MGGD，OGMBGD， OGBMGD1803030120， MDGD，GDM30， CDE 中 CEDE，CED120， CDDE，CDE30， MDCGDE， GDEMDC， ， 当 GE 最小值为 1 时，MC 最小值为， 当点 C 与抛物线顶点 P 重合，且 CMOB 时，CM 有最小值， CM 的最小值为顶点 P 的纵坐标， 点 P 坐标（1，） ， a（12）+1+， a1， 抛物线的解析式为：yx（x2）+1+（x1）2+
