1、第第 16 讲讲 构造论证一构造论证一 内容概述 各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。 本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。 典型问题 兴趣篇 1.如图 16-1，用1 2和1 3两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？ 2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）就把整个3 3的 棋盘控制了。为了控制一个44的棋盘至少要放几个皇后？ 3.图 16-3 的左图为 15 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 5 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎 样移动？请在图中
2、表示出移动的方法。 4.把 100 个橘子分装在 6 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6，应该如何装？ 5.把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问：最少有多少条棱是 白色的？ 6.请在 9，8，3,2，1 的相邻两个数之间填入“+”或者“”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 1。能否使 得结果是 0 呢？ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7.如图 16-5， 能否在三角形的三个顶点各填一个自然数， 使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果 能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。 8.四位同
3、学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场。这四 全同学回答分别比了 1、2、3、3 场。老师说：“你们肯定有人记错了。”请问：老师是怎么知道的呢？ 9.有四个算式：+=,-=, =, =。 如果每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数， 那么 12 个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12 个数中最少有多少个偶数？最多有多少个 偶数？ 10.有 14 个孩子，依次给他们编号为 1,2，3，14。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号 是该组其它孩子的编号之和。 拓展篇 1.图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形，如果
4、仅移动 7 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形状，应该 怎样移动？请在图中表示出移动的方法。 2.小明买来一个 1500 克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了 7 块，使得无论是 3 个人还是 5 个人平分，都不必再 分割蛋糕。这 7 块蛋糕的重量分别是多少？ 3.有 4 颗外形完全相同的珍珠，其中 3 颗是真的，另 1 颗是假的，已知假珍珠比真的要轻。请问：用一架没 有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢？请设计出方案。 4.图 16-7 中，左边是一把长为 6 厘米的直尺，其中已标出 2 条刻度线。用它可以一次量出从 1 至 6 厘米中 任意整数厘米的长度。右图
5、为一把长为 9 厘米的直尺，请你在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺一 次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度。 5.请将 8 个 1，8 个 0 填入图 16-8 的 16 个空格中，使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数。 6.有一列自然数，其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6，而任意 4 个相连的数之和都小于 8。这个数列最 多能有几项？ 7.用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出 1000，例如1111 1111000。试用 8 个相同的数 字（并且适当使用加号、减号）来计算 1000。 8.有 12 根长木棍，长度分别为 1,2，3,4，12 厘米
6、。 （1）能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。 （2）能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。 9.（1）请在 1,2，3，19,20 的相邻两个数之间填入“+”或“-”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 0。 （2）能否在 1,2，3，,20，21 的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 0。 10.有 5 个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的 1 00 1 01 010 1 0 1 01 01 亮暗状态。能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗？
7、 11.桌上放有 5 张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写上 1、2、3、 4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把 5 个和相乘，问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积 是奇数？为什么？ 12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数。请问：这个新的三位数和原来的三位 数之和能不能等于 999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由。 超越篇 1.桌上放有 5 枚硬币。第一次翻动其中 1 枚，第二次翻动其中 2 枚，第三次翻动其中 3 枚，第四次翻动其中 4 枚，第五次翻动其中 5 枚。能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的
8、硬币都翻过来？如果桌上放有 6 枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？ 2.甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲 把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得 只需打电话 4 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。 3.天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放入物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据砝码的重 量来知道物品的重量。 （1）在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中。至少需要准备多少 个砝码，才
9、能保证一次称出 1 至 20 克之间的任意整数克的物品？ （2）在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需要准 备多少个砝码，才能保证一次称出 1 至 32 克之间的任意整数克的物品？ 4.如图 16-9 所示，18 个孩子站在 24 个方格中，每格最多站 1 人。要使得每行每列站的孩子数都是偶数。请 在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可） 。 5.如图 16-10 所示，有 3 个3 3的方格表，每个都已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行或同一列的 3 个 数加上相同的整数称为一次操作。问： （1）下表三个方格表中，是否有某个方格表能通
10、过若干次操作使得表中 9 个表都变为相同的数？若有请指 出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由； （2）是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明 理由。 6.（1）能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？ （2）能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？ 7.旅店现在有 9 个单人间，10 名旅客可能入住。这 10 名旅客每次有 9 个人同时入住，管理员想事先给每个 人配一些钥匙，使得无论是哪 9 个人入住，总能正好入住这 9 个房间，而且不用找别人借钥匙。
11、请问：最 少需要多少把钥匙？ 8.如图 16-11，在五角星图案中共有 10 个节点（用黑色实心圆点表示） ，以这些节点为顶点的三角形共有 10 个。现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数和称为此三角形的“特 征值”。请问： （1）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数； （2）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3 整除。能则举出例子，不能请说明理由。 第第 16 讲讲 构造论证一构造论证一 内容概述 各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。 本讲的论证问题，一般采
12、用奇偶性或整除性的分析方法。 典型问题 兴趣篇 1.如图 16-1，用1 2和1 3两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？ 分析分析为了让消耗的地砖尽量少，应尽可能多的使用1 3的地砖。 5 8403 1313 1222 因此，至少需要用12214块地板砖。如图： 2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）就把整个3 3的 棋盘控制了。为了控制一个44的棋盘至少要放几个皇后？ 分析分析在44的棋盘中，一个皇后最多可以控制 12 个格子，那么 16 个格子至少需要 2 个皇后才能全部 控制住。图中给出了两种全部控制的方法，答案不唯
13、一。 3.图 16-3 的左图为 15 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 5 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎 样移动？请在图中表示出移动的方法。 分析分析我们可以把两个图叠放在一起进行比对。比对后发现，两图刚好有 5 个硬币不能重合，那么移动 这 5 枚硬币到对应的位置即可。 4.把 100 个橘子分装在 6 个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6，应该如何装？ 分析分析要让每个篮子中橘子的个数都含有数字 6，那么只能是 5 个篮子个位带 6,1 个篮子十位带 6。这样 的 6 个数最小是606666690，比 100 刚好差 10。于是有： 60166666100 5.把
14、正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问：最少有多少条棱是 白色的？ 分析分析每条棱被两个面共用。那么要每个面上都有白色的棱，最少需要623条白色的棱。如图，其中 虚线部分为白色棱。 6.请在 9，8，3,2，1 的相邻两个数之间填入“+”或者“”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 1。能否使 得结果是 0 呢？ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 分析分析（1）9876543211 （2）不能。987. 145 ，当把其中的任意号换成号时，算式的奇偶性不变。因此算式结果不 可能为 0 7.如图 16-5， 能否在三角
15、形的三个顶点各填一个自然数， 使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果 能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。 分析分析设 3 个顶点填入的 3 个自然数数分别为, ,a b c，假设,ab ac bc都为奇数，于是 abacbc也为奇数。但是2abacbcabc 是一个偶数，矛盾。因此每条边的两个顶 点上的数之和不可能都是奇数。 8.四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场。这四 全同学回答分别比了 1、2、3、3 场。老师说：“你们肯定有人记错了。”请问：老师是怎么知道的呢？ 分析分析每次比赛， 比赛双方各赛了一场。 因此四个人比赛的总
16、场次应该是偶数。 而12339是奇数。 因此肯定有人记错了。 9.有四个算式：+=,-=, =, =。 如果每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数， 那么 12 个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这 12 个数中最少有多少个偶数？最多有多少个 偶数？ 分析分析（1）加减法算式中，有奇数就必有 2 个奇数。乘除法算式中，有偶数就至少有 2 个偶数。因此四 个算式中分别有 1,1,2,2 个偶数，共 6 个偶数。 （2） 加减法算式中最少有 1 个偶数， 最多有 3 个偶数； 乘除法算式中， 最少有 0 个偶数， 最多有 3 个偶数。 因此四个算式中最少有 2 个偶数，最多有 1
17、2 个偶数。 10.有 14 个孩子，依次给他们编号为 1,2，3，14。能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号 是该组其它孩子的编号之和。 分析分析不能 如果可以，我们取每组编号最大的那个孩子，那么这 3 个孩子的编号和，与其他所有孩子的编号和相等。 那么所有孩子的编号和必须是一个偶数。 123. 14105是一个奇数，矛盾。因此不能把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该 组其它孩子的编号之和。 拓展篇 1.图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形，如果仅移动 7 枚硬币，要把这些硬币变成右图的形状，应该 怎样移动？请在图中表示出移动的方法。 分析分析把两个图形叠放
18、在一起比对， 发现只有 7 枚硬币不能重叠， 那么移动这 7 枚硬币到指定位置即可。 2.小明买来一个 1500 克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了 7 块，使得无论是 3 个人还是 5 个人平分，都不必再 分割蛋糕。这 7 块蛋糕的重量分别是多少？ 分析分析我们可以先把蛋糕 5 等分，那么每一块蛋糕重 300 克。如果我们要把蛋糕分给 3 个人，每个人应 该拿到 500 克蛋糕。那么我们把其中两块 300 克的蛋糕分成200100克的两块，这样就可以得到 300200,300200,300 100 100三块 500 克的蛋糕。共分了 7 块。 3.有 4 颗外形完全相同的珍珠，其中 3 颗是真的
19、，另 1 颗是假的，已知假珍珠比真的要轻。请问：用一架没 有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢？请设计出方案。 分析分析（1）2 次。取出两颗珍珠，放在天平两端。如果天平不平衡，轻的一边是假珍珠。否则用同样方 法称另外两颗珍珠。 （2）2 次吧 9 颗珍珠平均分成 3 堆。取其中两堆放在天平两边。如果天平不平衡，说明假珍珠在轻的一 边；如果天平平衡，那么假珍珠在没有称的那堆珍珠中。 找到假珍珠在哪堆之后， 在这堆中取两颗珍珠放在天平两边。如果天平不平衡， 轻的那颗就是假珍珠； 如果天平平衡，那么没有称的那颗就是假珍珠。 4.图 16-7 中，左边是一把长
20、为 6 厘米的直尺，其中已标出 2 条刻度线。用它可以一次量出从 1 至 6 厘米中 任意整数厘米的长度。右图为一把长为 9 厘米的直尺，请你在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺一 次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度。 分析分析用 1 厘米到 9 厘米逐个检验，可把直尺分为 1 厘米、1 厘米、4 厘米、3 厘米；或 1 厘米、3 厘米、 3 厘米、2 厘米。 5.请将 8 个 1，8 个 0 填入图 16-8 的 16 个空格中，使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数。 分析分析每行每列 4 数之和都是奇数，那么 4 个和只能是 1,1,3,3。构造图。答案不为 1。
21、6.有一列自然数，其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6，而任意 4 个相连的数之和都小于 8。这个数列最 多能有几项？ 分析分析设这一列数为, , , , , .a b c d e f依题， 6,81abcabcdd 同理， 6,81bcdbcdee 6,81cdecdeff 此时， 36def 与题意不符，因此数列不可能有 6 项。那么最多有 5 项。 观察这几组数：0,1,5,1,0;1,1,4,1,1;1,2,2,2,1每组 5 项都满足条件。 因此这个数列最多有 5 项。 7.用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出 1000，例如1111 1111000。试用 8 个
22、相同的数 字（并且适当使用加号、减号）来计算 1000。 分析分析由于只能用加减号，那么相同的数字是多少，计算结果就必然是几的倍数。那么要凑出 1000，只 能用 8 个相同的 1,2,4 或 8。尝试凑个位的 0，发现 1,2,4 都无法凑出个位 0 的同时使计算结果是 1000。尝试 8 个 8888888881000。 8.有 12 根长木棍，长度分别为 1,2，3,4，12 厘米。 （1）能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。 （2）能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形，要求木棍上且不能折断或弯曲。 分析分析（1）可以。123. 1278，取四条边分别为
23、：1 122 11 13; 34910567826。 （2）不可以。78419.5，不是整数。 9.（1）请在 1,2，3，19,20 的相邻两个数之间填入“+”或“-”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 0。 （2）能否在 1,2，3，,20，21 的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序） ，使得结果是 0。 分析分析（1） 1 2345678.17 18 19200 （2）123.21231，我们把其中的任意一些加号变成减号，结果的奇偶性是不变的。因 此结果不可能是 0 10.有 5 个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的
24、 亮暗状态。能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗？ 分析分析不能。 要使一个灯泡又亮边暗，需要拉动奇数次开关。那么要让 5 个亮着的灯泡都变暗，共需拉动奇数次开 1 00 1 01 010 1 0 1 01 01 关（5 个奇数相加，和一定是奇数） 。而我们每次操作都是拉偶数个开关，因此不能经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗。 11.桌上放有 5 张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写上 1、2、3、 4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把 5 个和相乘，问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积 是奇数？为什么？ 分析分析不能 要让最后乘积是奇
25、数，那么 5 张卡片上的两数和必须都是奇数。那么卡片上的 10 个数总和也是奇数。 而实际上，10 个数的和是21234530 是个偶数。因此无论怎么写，最后的乘积一定是偶数。 12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数。请问：这个新的三位数和原来的三位 数之和能不能等于 999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由。 分析分析不能。 易知，两个三位数的和是 999，那么在做加法的时候没有发生进位。如果可以找到，不妨假设其中一个 数是abc，那么另一个数是999abc。其中999abc是abc数字重组后的新三位数，及 它们含有完全相同的 3 个数字。那么，两个三位数的
26、6 个数字之和必然是一个偶数。而实际上 99927abcabc，是一个奇数。 因此不能找到这样的三位数。 超越篇 1.桌上放有 5 枚硬币。第一次翻动其中 1 枚，第二次翻动其中 2 枚，第三次翻动其中 3 枚，第四次翻动其中 4 枚，第五次翻动其中 5 枚。能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？如果桌上放有 6 枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？ 分析分析（1）可以，如图： （白色代表正面，黑色代表背面，中括号中的部分表示对这些硬币进行了翻 动） 。 （2）不可以。全翻过来需要对每一枚硬币翻动奇数次，那么对全部 6 枚共需
27、翻动偶数次。而 12345621共翻动了奇数次，因此不能把所有的硬币都翻过来。 2.甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲 把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得 只需打电话 4 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。 分析分析（1）甲、乙； （2）丙、丁； （3）甲、丙； （4）乙、丁。 3.天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放入物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据砝码的重 量来知道物品的重量。 （1）在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘
28、中。至少需要准备多少 个砝码，才能保证一次称出 1 至 20 克之间的任意整数克的物品？ （2）在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需要准 备多少个砝码，才能保证一次称出 1 至 32 克之间的任意整数克的物品？ 分析分析（1）可用 1g、2g、4g、8g、16g 五个砝码称出。 22010100是个 5 位 2 进制数。 22222 11 ,210,4100,81000,1610000。 在实际称重时， 2 进制数中的每一位代表有没有对应砝码。于是，用 1g、2g、4g、8g、16g 五个砝码可以称出 120g（实 际可到 31g）的所有物品。
29、（可以将 16g 的砝码换成 416g 的任意整数克砝码） （2）可用 1g、3g、9g、27g 四个砝码称出。 受上一问的启发，可以考虑用 3 进制的方法。 3333 11 ,310,9100,271000。若规定物品在 左边，根据每个砝码在左边、不存在、在右边，分别表示为 3 进制中的1，0，1。于是我们定义一种新的 3 进制表述方法。每个 3 进制中的“2” ，我们进 1 位，变为“1(1)” 。那么对于3321012，我们可以写 为： 3 321111 ，意为：27g 砝码（右）9g 砝码（右）3g 砝码（左）1g 砝码（左） 。于是， 用 1g、3g、9g、27g 四个砝码可以称出
30、132g（实际可到 40g）的所有物品。 4.如图 16-9 所示，18 个孩子站在 24 个方格中，每格最多站 1 人。要使得每行每列站的孩子数都是偶数。请 在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可） 。 分析分析我们只要找出个不站人的位置即可。图中给出了一种站法，表示不站人，答案不唯一。 5.如图 16-10 所示，有 3 个3 3的方格表，每个都已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行或同一列的 3 个 数加上相同的整数称为一次操作。问： （1）下表三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中 9 个表都变为相同的数？若有请指 出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；
31、 （2）是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明 理由。 分析分析我们把同一行的数字都加 1，称为一次横变换；用(,) nn a nNaZ 表示对第 n 行进行横变换的次 数。 把同一列的数字都加 1，称为一次纵变换；用(,) nn b nNbZ 表示对第 n 列进行纵变换的次数。 （1）我们可以知道，对方阵的横纵变换有如下性质：同一行的数，进行横变换的次数相同；同一列的 数，进行纵变换的次数相同。 I 对于第一个方阵，如果我们能经过变换，使各个数字相同，则有，对于 12 92 113113 198ababaa 123213 286ababaa
32、矛盾。即无法通过变换，将放个表内各数变为相同数。 II 对于第二个方格表，取 47 89 ，同样可证无法办到。 III 对于第三个方格表，取 94 85 ，同样可证无法办到。 （2） 如方格表之间经过变换可以互化， 则， 他们之间做差所得的新方格表可以经过变换使得表中各位相同。 I 11 32 52 15 123473350205000 456251205205000 789893114205000 ab ab 可以互化。 II 1 8 2 4 1239418220610 456852404048 987763224224 a a 其中可找到 04 06 不可变换，故两方格 表不可互化。 II
33、I 1 2 5 6 473941532087 251852601065 893763130130 a a 其中可找到 06 13 不可变换，故两方格表 不可互化。 6.（1）能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？ （2）能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是 2 或者 3？ 分析分析(1)能，例如按 1,4,2,5,3 排成一圈。 （2）不能，因为相邻两数的差只能是 2 或 3，那么 1 只能和 3,4 相邻，7 只能和 4,5 相邻，那么必然能练成 这样的一串：3,1,4,7,5。剩下的 2 和 6 必然相邻，差为
34、4，不符合条件。 7.旅店现在有 9 个单人间，10 名旅客可能入住。这 10 名旅客每次有 9 个人同时入住，管理员想事先给每个 人配一些钥匙，使得无论是哪 9 个人入住，总能正好入住这 9 个房间，而且不用找别人借钥匙。请问：最 少需要多少把钥匙？ 分析分析要保证 10 人中的任意 9 人可以打开 9 个房间，必需保证任何人手中的钥匙不是独一无二的。也就 是说，每个房间的钥匙至少有 2 把。9218把钥匙显然可以满足条件。 例：1-9 号旅客分别拿 1-9 号房间的钥匙；10 号旅客拿全部 9 个房间的钥匙。 如钥匙的数量不够 18 把，那么必然有，其中至少 1 个房间的钥匙只有 1 把。
35、不妨设 A 房间的钥匙只有 1 把，且在旅客甲手中，则，若选取除甲之外的 9 人入住时，没有人有 A 房间的钥匙。 综上，至少需要 18 把钥匙（每个房间 2 把） 。 8.如图 16-11，在五角星图案中共有 10 个节点（用黑色实心圆点表示） ，以这些节点为顶点的三角形共有 10 个。现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数和称为此三角形的“特 征值”。请问： （1）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数； （2）是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被 3 整除。能则举出例子，不能请说明理由。 分析分析（1）从每个节点都
36、可以引出 3 个不同三角形。10 个三角形，把五角星的 10 个节点每个重复用了 3 次。则 10 个三角形特征值之和（10 个三角形顶点数字和）为：(123. 10) 3165 。10 个自然数 之和为奇数，则这 10 个自然数中，至少有 1 个奇数。因此，10 个三角形的特征值都为偶数不成立。 （2）取如上图凹四边形。 3,3 (mod3) ACIECF AIEF 3,3 (mod3) AFJEIJ AFEI 于是(mod3),(mod3)AEFI。 继续这样取凹四边形模型，我们有，A,B,C,D,E 关于 3 同余；F,G,H,I,J 关于 3 同余。 而 110 中， 显然找不出 5 个数关于 3 同余。 故假设不成立， 即不可能 10 个三角形的特征值都是 3 的倍数。 J I H G F E DC B A E I C F A
