1、 第第 23 讲讲计数综合二计数综合二 兴趣篇兴趣篇 1、 同时能被 6，7，8，9 整除的四位数有多少个？ 2、从 1，2，3，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问： （1）要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？ （2）要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？ 3、在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？ 4、用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相同的五位数？ 5、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？ 6、如果称能被 8 整除或者含有数字
2、 8 的自然数为“吉利数” ，那么在 1 至 200 这 200 个自然数中有多少个 “吉利数”？ 7、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数” 。例如：1331，7， 202，66 都是“回文数” ，而 220 则不是“回文数” 。请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？ 其中第 1997 个“回文数”是什么？ 8、一个四位数ABCD，它与逆序数DCBA之和的末两位为 56，这样的四位数ABCD有多少个？ 9、把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填入图 23-1 的东、南、西、北、中 5 个方格内，使横、 竖 3 个数的
3、和相等，一共有多少种不同的填法？ 图 23-1 10、从 1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23-2 的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的 数字比左边大。请先给予出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？ 图 23-2 拓展篇拓展篇 1、 分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？ 2、从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问： （1）要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ 东西 南 中 北 3、小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2
4、，3，10。现从中拿出两张卡片，使得卡片两个数的 乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒当作 9 来使 用） 4、六位数 123475 能被 11 整除，如果将这个六位数的 6 个数字重新排列，还能排出多少个能被 11 整除的 六位数？ 5、三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。 6、有一种“上升数” ，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成 一行：1234，1235，1236，6789。请问：此列数中的第 100 个数是多少？ 7、有一些三位数的相邻两位数
5、字为 2 和 3，例如 132、235 等等，这样的三位数一共有多少个？ 8、在图 23-3 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立。请问：所填的九个数字之和是多少？ 一共有多少种填法？ 4995 W W W W W W W W W 图 23-3 9、在 1000，1001，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？ 10、将 1 至 7 分别填入图 23-4 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的 填法？ 图 23-4 11、在图 23-5 的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，
6、同一列内下面的数比上面 的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 23-6 就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填 法？ 图 23-5 图 23-6 12、 将数字 1 至 7 分别填入图 23-7 的各个圆圈中， 使得每条线段两个端点处所填的数， 上面的比下面的大。 请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？ 图 23-7 超越篇超越篇 1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问： （1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ （2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ （3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？ （4）谁也没拿到自己作业本的拿法
7、有多少种？ 3 2 7 64 53 2 2、一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6：2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都 不相同的时刻一共有多少个？ 2、 各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 4、从 1，2，3，9 中选取若干个互不相同的数字（至少一个） ，使得其和是 3 的倍数，共有多少种不同 的选法？ 5、从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？ 2008 W W W W W W W 图 23-8 6、 从 1 至 9 这 9 个数字中选出 6 个不
8、同的数填在图 23-9 的 6 个圆圈内， 使得任意相邻两个圆圈内的数字之 和都是质数。请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 6 个数字相同，只是排列次序不同，都算同 一种选法。 ） 图 23-9 7、在 33 方格表内填入数字 1 至 9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同 的填法？ 9 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 1 8、含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？ 第第 23 讲讲计数综合二计数综合二 兴趣篇兴趣篇 2、 同时能被 6，7，8，9 整除的四位数有多少个？ 【分析】【分析】 因为6,7,8,9504，最小的满足
9、条件的四位数是50421008，最大的满足条件的四位数是 504 199576，因此满足条件的四位数共有192118 个 2、从 1，2，3，9 这 9 个数中选出 2 个数，请问： （1）要使两数之和是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？ （2）要使两数之积是 3 的倍数，一共有多少种不同的选法？ 【分析】【分析】 （1）除以3余0的数有3,6,9，除以3余1的数有1,4,7，除以3余2的数有2,5,8，要使两数之和为 3的倍数可以是两个数除以3的余数分别是1,2或这两个数都是3的倍数， 因此共有 2 3 3 3C12 个. （2）要使两数之积是3的倍数，其中至少有一个因数为3的倍数，因此
10、共有 2 3 3 33 3C21 个 3、在所有由 1、3、5、7、9 中的 3 个不同数字组成的三位数中，有多少个是 3 的倍数？ 【分析】【分析】 除以3余0的数有3,9，除以3余1的数有1,7，除以3余2的数有5，三个数字之和为3的倍数，本 题只能从除以3余0,1,2的数中各取一个，每个三位数交换位置又可以变换出6个，因此共有 22 1624 个 4、用 0 至 5 这 6 个数字可以组成多少个能被 5 整除且各位数字互不相同的五位数？ 【分析】【分析】 当个位数字为0时，其他数位数字可以任意取共有5432120 个，当个位数字为5时，共有 443296 个，因此共有12096216个能
11、被 5 整除且各位数字互不相同的五位数 5、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？ 【分析】【分析】 由于三位数的三个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从 19 中任意选取的 3 个数字， 它们的大小关系也是明确的，那么由这 3 个数字只能组成 1 个符合条件的三位数(题目中要求个位 比十位大，十位比百位大，所以百位不能为 0，所以进行选择时不可以把 0 包含在内)，也就是说 满足条件的三位数的个数与从 19 中选取 3 个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的三 位数有 3 9 987 C84 32 1 个两位数有 2 9 C36个 6、如果
12、称能被 8 整除或者含有数字 8 的自然数为“吉利数” ，那么在 1 至 200 这 200 个自然数中有多少个 “吉利数”？ 【分析】【分析】 个位含8的有2 1020个，同理十位含8的也有20个，但88,188被算了2次，因此含有数字8的 共 有2 0223 8个 ， 能 被8整 除 的 有(1928)8 124 个 ， 但 含8又 是8的 倍 数 有 8,48,88,128,168,184，因此吉利数共有3824656个 7、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数” 。例如：1331，7， 202，66 都是“回文数” ，而 220 则不是“回文数” 。
13、请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？ 其中第 1997 个“回文数”是什么？ 【分析】【分析】 一位回文数有9个，两位回文数有9个，三位和四位回文数都有9 10个，五位和六位回文数都有 9 10 10900个，所以共有9290290021998个，第1997个也就是倒数第二大的即 998899 8、一个四位数ABCD，它与逆序数DCBA之和的末两位为 56，这样的四位数ABCD有多少个？ 【分析】【分析】 它与逆序数DCBA之和的末两位为 56，因此有 6 5 AD BC , 6 15 AD BC , 16 4 AD BC , 16 14 AD BC , 每种情况只要确定, A B即可
14、，因此共有56543 53 580 个 9、把 2005、2006、2007、2008、2009 这 5 个数分别填入图 23-1 的东、南、西、北、中 5 个方格内，使横、 竖 3 个数的和相等，一共有多少种不同的填法？ 图 23-1 【分析】【分析】 5 个数为 3 奇 2 偶，所以“中”只能填奇数 中2005，东西南北，2006200920072008，有428种 中2007，2005200820062007，有428种 中2009，2005200820062007，有428种 一共有88824种 10、从 1 至 7 中选出 6 个数字填入图 23-2 的表中，使得相邻的两个方框内，下
15、面的数字比上面大，右边的 数字比左边大。请先给予出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？ 东西 南 中 北 图 23-2 【分析】【分析】 最大数只能放在右下角，右下角左边只能放次大的数，最小数只能放在左上角，左上角的下方只 能放次小的数，剩下的位置可以随意放有2种方法，因此共有 6 7 C214种填法 拓展篇拓展篇 3、 分子小于 6，分母小于 20 的最简真分数共有多少个？ 【分析】【分析】 当分子为1时，分母可以取219任意一个数，因此共有18个 当分子为2时，分母可以取319任意一个奇数，因此共有9个 当分子为3时，分母可以取419任意一个不是3的倍数的数，因此共有11个 当分子为4时，
16、分母可以取519任意一个奇数，因此共有8个 当分子为5时，分母可以取619任意一个不是5的倍数的数，因此共有12个 因此总共有1891181258个 2、从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问： （1）要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？ 【分析】【分析】 （1）要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，至少有一个数是3的倍数，因此当有一个数是3的倍数时 共有 2 5 2 C20个，当有两个数是3的倍数时有5个，因此一共有20525种选法 （2）除以3余0的数有3,6，除以3余
17、1的数有1,4,7，除以3余2的数有2,5，可以从每个余数类 各取一个，或在同一个余数类里取，因此共有232113 个 3、小明的衣服口袋中有 10 张卡片，分别写着 1，2，3，10。现从中拿出两张卡片，使得卡片两个数的 乘积能被 6 整除，这样的选法共有多少种？（注：9 不能颠倒当作 6 来使用，6 也不能颠倒当作 9 来使 用） 【分析】【分析】 当两个卡片都不含6时，一张卡片必然是3或9，另一张卡片必然是不含6的偶数，因此共有 248个，当一张卡片含6时，另一张卡片可以任意取共有9个，因此一共有8917种选法 4、六位数 123475 能被 11 整除，如果将这个六位数的 6 个数字重
18、新排列，还能排出多少个能被 11 整除的 六位数？ 【分析】【分析】 设满足条件的六位数为abcdef，因为12347522，因此11bdface， 137245，因此一共有62 1 32 172 个，因此还能排出71个 5、三个 2，两个 1 和一个 0 可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。 【分析】【分析】 因为0有5个位置可以选择，再选3个位置安排2，两个位置安排0，因此共有 3 5 5 C50个， 当0的位置确定后，还有10种方法安排1和2,，因此1和2,每种都被安排了两次，因此所有六位数 的和为(222 1 1)2 (111110 111101 111011 11
19、0111 101111)8711104 6、有一种“上升数” ，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成 一行：1234，1235，1236，6789。请问：此列数中的第 100 个数是多少？ 【分析】【分析】 当千位数字是1的“上升数”有 3 8 876 C56 32 1 个；当千位数字是2的“上升数”有 3 7 765 C35 32 1 个；共563591，当前两位是34的“上升数”有 2 5 54 C10 2 个；因此第101 个“上升数”是3489，所以第100个“上升数”是3479 7、有一些三位数的相邻两位数字为 2 和 3，例如 132、235 等
20、等，这样的三位数一共有多少个？ 【分析】【分析】 当前两位含有2,3时，共有2 1020个，当后两位含有2,3时，共有2918个，但是232,323计 算了两次，因此共有2018236个 8、在图 23-3 的方框内填入 3、4、5、6 中的一个数字，使得竖式成立。请问：所填的九个数字之和是多少？ 一共有多少种填法？ 4995 W W W W W W W W W 图 23-3 【分析】【分析】 由于个位数字是3个数字的和不肯能等于5，必然进位，同理十位数字必然进位，两个数字和不可 能等于19， 因此百位没有进位， 因此这个竖式加法共进位两次， 而和的数字和为499527， 因此九个数字之和为2
21、79245，设 4995 abcd efg hk ，因此有15dgk，18cfh， 8be，4a ， 有4 5 6 1 5 ，55515，36615，66618，448，358 因此共有(6 13) 1 (12)30 种填法. 9、在 1000，1001，2000 这 1001 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？ 【分析】【分析】 当这个四位数不含9时，相邻两个自然数只有个位不同，因此共有5 5 5125 对； 当较小的个位数字是9，较大的个位数字是0，十位数字相差是1，共有5 525对； 当较小的个位数字和十位数字是9， 较大的个位数字和十位数字是0， 百位数字相
22、差是1， 共有5对； 当较小的个位、十位、百位数字是9，较大的个位、十位、百位数字是0，千位数字相差是1，即 1999,2000，因此共有1252551156 对。 10、将 1 至 7 分别填入图 23-4 中的 7 个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的 填法？ 图 23-4 【分析】【分析】 本题共有3行，3列，而偶数只有3个，因此这三个偶数应分配在不同的行和不同的列，这3个偶 数地位均等，安排完偶数，奇数任意按排即可，因此共有3 32 1 432 1432 种填法 11、在图 23-5 的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上
23、面 的数大，并且方格内的 6 个数字互不相同，例如图 23-6 就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填 法？ 图 23-5 图 23-6 【分析】【分析】 为了方便说明，标上字母： C D 2 A B 3 要注意到，A 最大，D 最小，B、C 的位置可以互换 但是，D 只能取 4，5，6，因为如果取 7，就找不到 3 个比它大的一位数了 当 D 取 4，5，6 时分别剩下 5，4，3 个一位大数有 B、C 可以互换位置 所有不同的填法共 3 5 C 2+ 3 4 C 2+ 3 3 C 2=10 2+4 2+1 2=30 种 12、 将数字 1 至 7 分别填入图 23-7 的各个圆圈中， 使
24、得每条线段两个端点处所填的数， 上面的比下面的大。 请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？ 图 23-7 【分析】【分析】 最下面肯定是1，若中间一排一个2一个3，那么随便排就可以了有24!48种 若2,3一上一下，有4种位置可选，和2,3连在一起的位置有四个数可以选择，那么中间一排的另 一个位置必须是剩下三个数最小的一个 ， 其它2个位置任意， 有2!2种， 因此有44232 种， 共计483280种. 超越篇超越篇 1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问： （1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ （2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ （3）
25、至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？ （4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？ 【分析】【分析】 甲拿到自己的作业本的拿法，乙、丙、丁可随便拿，所以有3!=6种拿法； 恰好有一人拿到自己的作业本，就是说只有一个人拿到了自己的作业本，而其他的人拿的都不 是自己的作业本，拿对了作业本的人有甲、乙、丙、丁 4 种选择，其余的 3 个人都拿错了，有 2 3 2 7 64 53 2 种拿法，所以恰好有一人拿到自己作业本的拿法有428种； 要求至少有一人没有拿到自己作业本的拿法，可以从所有的拿法中减去 4 个人都拿到自己作业 本的情况，由于拿法总数为4!24种，4 个人都拿到自己作业本的情况只有
26、1 种，所以至少有一人 没有拿到自己作业本的拿法有24123 种； 谁也没有拿到自己的作业本的拿法，甲由于拿的不是自己的作业本，甲有 3 种拿法；甲拿完后， 作业本被甲拿的那个人，不妨设为乙，乙可以从剩下的 3 个作业本中拿一个，有 3 种拿法，乙拿 完后剩下的两个人只有 1 种拿法，根据乘法原理，共有33 19 种拿法 2、一种电子表在 6 时 24 分 30 秒时的显示为 6：2430，那么从 5 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都 不相同的时刻一共有多少个？ 【分析】【分析】 设 DE A:BC是满足题意的时刻，有 A 为 6，B、D 应从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数
27、字中选择两个不 同的数字，所以有 2 6 A种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有 2 7 A种 选法，所以共有 2 6 A 2 7 A=1260 种选法；A 为 5，B、D 应从 0，1，2，3，4，这 5 个数字中选择两 个不同的数字，所以有 2 5 A种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有 2 7 A种选法，所以共有 2 5 A 2 7 A=840 种选法，因此一共有12608402100个 4、 各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 【分析】【分析】 设这个六位数为abcdef，且能被 99 整除，
28、所以99abcdef， （由于各位数字均不大于 5，所 以198abcdef不成立） ， 由于5409，5319 ，5229，4419 ，4329， 3339，, ,b d f共有66336125 种取法；, ,a c e共有46336123 种取法 （少两种的原因是0a ） ，因此且能被 99 整除的六位数共有2523575个 4、从 1，2，3，9 中选取若干个互不相同的数字（至少一个） ，使得其和是 3 的倍数，共有多少种不同 的选法？ 【分析】【分析】 除以3余0的数有3,6,9，除以3余1的数有1,4,7，除以3余2的数有2,5,8， 当取一个数字时，使得其和是 3 的倍数，共有3个
29、 当取两个数字时，使得其和是 3 的倍数，共有33312 个 当取三个数字时，使得其和是 3 的倍数，共有33 3 330 个 当取四个数字时，使得其和是 3 的倍数，共有333 33 3 342 个 当取五个、六个、七个、八个时，剩下的数字选法与取四个、三个、两个、一个的取法相同 当取九个数字时有1种取法，因此共有(3 123042)21 175 个 5、从 0 至 9 这 10 个数字中选出 7 个填入图 23-8 的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？ 2008 W W W W W W W 图 23-8 【分析】【分析】 设 2008 abcd efg， 因此有8dg，10cf，
30、9be，1a ， 因此( , )(0,8)(2,6)(3,5)d g ， ( , )(2,8)(3,7)(4,6)c f ，( , )(0,9)(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)b e （0e ） ( , )d g (0,8) (0,8) (2,6) (2,6) (3,5) (3,5) (3,5) ( , )c f (3,7) (4,6) (3,7) (3,7) (2,8) (4,6) (4,6) ( , )b e (4,5) (2,7) (0,9) (4,5) (0,9) (2,7) (0,9) 六个数字的选法 8 8 4 8 4 8 4 因此共有844344种填法 6、 从 1 至
31、9 这 9 个数字中选出 6 个不同的数填在图 23-9 的 6 个圆圈内， 使得任意相邻两个圆圈内的数字之 和都是质数。请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的 6 个数字相同，只是排列次序不同，都算同 一种选法。 ） 图 23-9 【分析】【分析】 .由于相邻两数的和要为质数，则相邻两数的奇偶性必然不相同，令图中 a、b、c 为偶数，则 x、y、z 为奇数，这样 a、b、c 就有(2,4,6),(2,4,8),(2,6,8),(4,6,8)共 4 种选择. x， y,z 可能的选择有 （1， 3,5） ， （1,3,7） ， （1,3,9） ， （1， 5,7） ， （1,5,9） ， （
32、1,7,9） ， （3,5,7） ， （3,5,9） ， （3,7,9） ， （5,7,9）. 对应的（2，4，6）符合条件的有（1，3，5） ， （1,3,7） ， （1,5,7） ， （1,5,9） ，(1,7,9),（3,5,7） ， （5,7,9）共 7 种； 对应的（2，4，8）符合条件的有（1，3，5） ， （1,3,9） ， （1,5,9） ， （3,5,9）共 4 种； 对应的（2，6，8）符合条件的有（1,3,5） ， （1,5,9）共 2 种； 对应的（4，6,8）符合条件的有（1,3,5） ， （1,5,9） ， （3,5,7）,（5,7,9）共 4 种. 所以共有：7+
33、4+2+4=17 种. 7、在 33 方格表内填入数字 1 至 9，使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同 的填法？ 9 1 a 2 a z y x c b a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 1 【分析】【分析】 根据题意9和1的填法已固定，8可以填在 1 a， 3 a两个位置，当8放在 1 a的位置时，画树状图 如下，共有21种填法，根据对称性8放在 3 a的位置也有21种因此共有42种填法 8、含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？ 【分析】【分析】 【分析】【分析】 题目：含有数字 3，且能被 3 整除的五位数共有多少个？ 答案：12504 分
34、析： （1）可以采用间接计算，即排除法，首先考虑有多少个五位数是 3 的倍数但不含数字 3； （2）本题因为含有所有五位数，也即含有五位数中所有 3 的倍数，因此乘法原理才适用； 五位数共有 90000 个，其中 3 的倍数有 30000 个。 首位数码有 8 种选择，第二、三、四位数码都有 9 种选择。当前四位的数码确定后， a4 a5 a7 a7 a2 a2 a7 a7 a5 a5 a7 a5a2 a2 a5 a7 a5 a5 a7 a7 a2 a5 a6a7 a7 a5 a5 a7 a6 a4a5a7 a7a6 a6a7 a7a5 a7a5 a5 a6 a4 a5 a7 a5 a7 a5
35、 a7 a7 a7a6 a2 a5 a6 a4 a6 a5 a4 a4 a6 a6 a4 a6 a2 a3 a3 a2 a1 a5 23 4 56 78 1）如果它们的和除以余数为 0，则第五位数码可以为 0、6、9； 2）如果余数为 1，则第五位数码可以为 2、5、8； 3）如果余数为 2，则第五位数码可以为 1、4、7。 可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有 3 种选择。 所以五位数中是 3 的倍数但不含有数码 3 的数共有8 9 9 9 3 17496 个； 所以满足条件的五位数共有30000 1749612504个。 总结：本题用到余数与计数的结合方法，可以视作典型解法用作今后解题的参考。
