1、第第 21 讲讲 数数字字问题问题 内容概述内容概述 各种与数字有关的数字谜问题。学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识。 兴趣篇兴趣篇 1.一个两位等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数。 2.今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”。请问：小王今年多大？ 3.用 3 个不同的数字组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求 6 个三位数中最小的一个。 4.有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在 它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数。已知得到的三个数总
2、和为 3600，求原来的两位数。 5.有AB、两个整数，A的各位数字之和为 35，B的各位数字之和为 26，且两数相加时进位三次，求AB 的各位数字之和。 6.有些三位数， 如果它本身增加 3， 那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的 1 3 ， 求所有这样的三位数。 7.一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数。这个五位数比原来 的五位数小 71355。问：原来卡片上写的五位数是多少？ 8.有一个四位数29M N，它是由M个 2 的积与N个 9 的积相乘得到的，求这个四位数。 9.如果 3 12333 n个 是 27 的倍数，那么n最小
3、是几？ 10.从 1 至 9 这 9 个数中选出 8 个不同的数字，组成能被 24 整除的八位数。试问：在这样的八位数中，最大 的和最小的分别是多少？ 拓展篇拓展篇 1.在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，求这个两位数。 2.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。请 问：这个和是多少？ 3.有一个三位数是 8 的倍数， 把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 1111。 请问：原来的三位数是多少？ 4.在等式“58 学习好勤动脑勤动脑学习好”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
4、不同的数 字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 5.在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的 9 倍，在这样的三位数 中最小的是多少？最大的是多少？ 6.用 5、7、2、0、8 这 5 个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是 66663，这两个数中 较大的一个可能是多少？ 7.有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 7 的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？ 8.记号!n表示前n个正整数相乘，并且规定0!1，例如：4! 1 234 。每一个三位数abc都有一个“对应 数”：!abc，例如：254 的对应数是2! 5! 4!146。请
5、问：对应数与自身相同的三位数是什么？ 9.如果修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，那么修改后的这个数是多少？ 10.如果 n2 2222 个 是 1998 的倍数，那么n最小是多少？ 11.1 至 9 这 9 个数字，按图 21-1 所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数（例如，在 1 和 7 之间剪开，得到的两个数是 193426857 和 758624391） 。如果 要求剪开后得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 12.各位数字互不相同的八位数中，能被 72 整除的数最小是多
6、少？最大是多少？ 超越篇超越篇 1.用 3 个不同的数字可以组成 6 个三位数，已知其中的 5 个的和是 3194，求剩下的那个数是多少。 2.一个数是它的数字和的 88 倍，求所有满足条件的正整数。 3.两个自然数， 差是 98， 各自的各位数字之和都能被 19 整除。 试问： 满足要求的最小的一对数之和是多少？ 4.如果 3 133332 n个 是 756 的倍数，那么n最小是多少？ 5.包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“十全数”。求满足以下条件的所有的十全数： 它的千位是 7； 从左往右数，它的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被
7、3 整 除前十位组成的十位数能被 10 整除。 6.由由 8 个不同的数字组成的八位数中，能被个不同的数字组成的八位数中，能被 396 整除的数最大是多少？最小是多少？整除的数最大是多少？最小是多少？ 7.最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 11 的倍数？请举例。 8.用 0 至 9 这 10 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数。 第第 21 讲讲 数数字字问题问题 内容概述内容概述 各种与数字有关的数字谜问题。学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识。 兴趣篇兴趣篇 1.一个两位等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数。
8、【分析】由已知6abab 10a+b=6a+6b 4a=5b 由于 a，b 为 09 之间数字。则 a=5，b=4。 那么，这个两位数为 54。 2.今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”。请问：小王今年多大？ 【分析】 如果小王出生在 2000 年以后， 我们易得小王可以出生在 2003， 今年 5 岁。 下面假设小王出生在19ab 年，则小王今年年龄为 2008-19ab 由已知 2008-19ab=1+9+a+b 整理得 11a+2b=98 由于，a、b 为 09 之间的数字，则 a=8，b=5。小王今年 23 岁。 综上，小王今年 23 岁或
9、5 岁。 3.用 3 个不同的数字组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求 6 个三位数中最小的一个。 【分析】设这三个不同的数字为 a、b、c， 由已知，2886abcacbbacbcacbacab 222（a+b+c）=2886 a+b+c=13，a、b、c 是 09 之间的数字 那么，a、b、c 所能组成的最小的三位数为 139。 4.有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在 它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数。已知得到的三个数总和为 3600，求原来的两位数。 【分析】设这个两位数为ab，我们列竖式
10、3 3 33 3600 ab ab ab 易得，b=4，a=1 则原来两位数为 14。 5.有AB、两个整数，A的各位数字之和为 35，B的各位数字之和为 26，且两数相加时进位三次，求AB 的各位数字之和。 【分析】由已知，进位一次，数字之和减少 9 那么 A+B 数字之和为 35+26-39=34 6.有些三位数， 如果它本身增加 3， 那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的 1 3 ， 求所有这样的三位数。 【分析】 考察97 99aa之中有没有这样的数， 例如 1 97100 3 aa， 解得 a 不是整数， 同理98a， 99a也没有。于是所求的数只有一次进位。
11、 即317abca bc，则 1 6 3 abcabc。 （c 至少为 7） 可得 a+b+c=9，则abc为 108，207，117。 7.一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数。这个五位数比原来 的五位数小 71355。问：原来卡片上写的五位数是多少？ 【分析】由已知，能够拿倒的数字为 0，1，6，8，9 由于原来的五位数比较小，而首位不为 0，则其首位只能为 1。 这样新五位数末位为 1，这样原五位数末位为 6，这样新五位数首位为 9，如下： 71355 16 91 这样地理下去，原来的五位数为 90961。 8.有一个四位数29M N，它是由M个 2
12、 的积与N个 9 的积相乘得到的，求这个四位数。 【分析】由已知得，M、N 不为 0（若 M 为 0，则 N 至少为 7，显然不成立；若 N 为 0，则 M 最多为 9，显 然不成立） 。且 N 为偶数。当 N=4，6，8 时，显然乘积超 2000，不成立。 则 N=2，判断 M。由于 n 个 2 相乘尾数是 2486 循环，则 N=1 或 5 或 9，经检验，N=5，那么这个 四位数为 2592。 9.如果 3 12333 n个 是 27 的倍数，那么n最小是几？ 【分析】由于123333 n个个 是 27 的倍数，则4111 n个个 是 9 的倍数。这样 n 最小为 5。 10.从 1 至
13、 9 这 9 个数中选出 8 个不同的数字，组成能被 24 整除的八位数。试问：在这样的八位数中，最大 的和最小的分别是多少？ 【分析】能被 24 整除一定能够同时被 3 和 8 整除，这样，这个八位数各个数字之和是 3 的倍数且它的末三 位是 8 的倍数。所以，我们从 19 九个数中舍去一个组成八位数，这个数只能为 3，6，9。 最大：19 中舍去 3，小的数尽量排在后面，末三位为 8 的倍数，得 98764512； 最小：19 中舍去 9，大的数尽量排在后面，末三位为 8 的倍数，得 12345768。 拓展篇拓展篇 1.在一个两位数的两个数字中间加一个 0，所得的三位数比原数大 8 倍，
14、求这个两位数。 【分析】设这个两位数为ab，由题意90aba b，则 b=5，a=4。则这个两位数为 45。 2.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方。请 问：这个和是多少？ 【分析】首先，这两个两位数的和不超过 198；其次，这样的两个两位数的和一定为 11 的倍数 101011abbaabbaab，那么，它们的和只能为 121。 3.有一个三位数是 8 的倍数， 把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是 1111。 请问：原来的三位数是多少？ 【分析】我们可以设这个三位数为abc，可得1111abccba。 那么
15、101（a+c）+20b=1111，由 a+c=11，b=0。这样的三位数为 308，506，704，902。其中 8 的 倍数为 704。 4.在等式“58 学习好勤动脑勤动脑学习好”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数 字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 【分析】由已知，可设学习好 为 a，勤动脑为 b，可得 58abba 则（1000a+b）5=（100b+a）8 4992a=7995b 128a=205b a、b 为三位数，且这两个三位数每位上的数字都不相同，则所表示的六位数最小为 410256。 5.在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数
16、恰好是原三位数的 9 倍，在这样的三位数 中最小的是多少？最大的是多少？ 【分析】设这个三位数为aB，a 为一位数，B 为两位数。 由已知，9aBamB，由位值原理展开，9（100a+B）=1000a+100m+B 整理得，2B=25（a+m） ，B 最小为 25，最大为 75。a+m 最小为 2，最大为 6。 所以，三位数最小为 125，最大为 675。 6.用 5、7、2、0、8 这 5 个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是 66663，这两个数中 较大的一个可能是多少？ 【分析】由于万位两个空至少相差 6，且万位不能是 0，所以肯定是 2 和 8；加数中已经用过 2，和
17、中已经 用过 8，所以个位只能是 7 和 0；再看千位，由于不能向万位进位，所以只能是 0 和 7。所以，很 容易得到如下的两个算式： 20587 66663 87250 20857 66663 87520 那么，所求为 87250 或 87520。 7.有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为 7 的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？ 【分析】如果有 n 次进位，数字之和减少 9n-1。由已知，9n-1 为 7 的倍数，n 最小为 4。则使9999和0000 数字之和都为 7 的倍数。那么这两个自然数中较小的数是 69999。 8.记号!n表示前n个正整数相乘，并且规定0!1，例如：4!
18、 1 234 。每一个三位数abc都有一个“对应 数”：!abc，例如：254 的对应数是2! 5! 4!146。请问：对应数与自身相同的三位数是什么？ 【分析】由于6!720，所以该三位数三个数字都不能超过 5，我们列下表： 0! 1! 2! 3! 4! 5! 1 1 2 6 24 120 设这个三位数为abc，显然 a、b、c 不能全是 5，下面讨论： （1）a、b、c 中有两个是 5，最大为5!+5!+4!=264，最小为5!+5!+0!=241，所以 a 只能为 2，但 255 不符合条件。 （2）a、b、c 中有 1 个是 5，最大为5!+4!+4!=168，则 a=1，可知145a
19、bc 。 （3）a、b、c 中没有 5，最大为4!+4!+4!=72，显然不符合条件。 综上，这个三位数只有 1 个，为 145。 9.如果修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，那么修改后的这个数是多少？ 【分析】由于 21743823=38469，所以修改十位或者个位肯定无法把余数变为 0。所以，修改后的五 位数可以写成43的形式，它是 823 的倍数。我们可以用竖式表示，其中未知的乘数是几位数 我们不能确定。容易看出，乘数的末位一定只能是 1。 当乘数的末位是 1 时，823 与乘数的十位的乘积末位是 2，因此乘数的十位只能是 4。 当乘数是 41 时，82341=33
20、743。而 823141=116043，不是五位数，因此乘数只能是 41。此时 所求的五位数为 33743。 10.如果 n2 2222 个 是 1998 的倍数，那么n最小是多少？ 【分析】由于 2 222 n个个 是 1998 的倍数，也就是让 1 111 n个个 是 999 的倍数，所以 1 111 n个个 肯定是 111 的倍数，则 n 为 3 的倍数，另一方面，由于 1 1 3 111 1111001001001 n n 个个 个个 ，它的数字之和是 3 n ，要让它是 9 的倍数， 必须让 3 n 也是 9 的倍数，即 n 要是 27 的倍数。则 n 最小为 27。 823 1 8
21、23 43 11.1 至 9 这 9 个数字，按图 21-1 所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数（例如，在 1 和 7 之间剪开，得到的两个数是 193426857 和 758624391） 。如果 要求剪开后得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 【分析】 在解这道题之前我们先看一个规律： n为原序数与n为反序数的差一定是 于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相 同时才有可能。 注意图中的具体数字，有处、处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足
22、。 而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足。 进一步验证，有处剪开的末两位数字之差为， 处剪开的末两位数字之差为， 。 所以从，处左右两个数的乘积为，。 12.各位数字互不相同的八位数中，能被 72 整除的数最小是多少？最大是多少？ 【分析】由于这些各位数字均互不相同，则能被 72 整除，所以其数字和是而且只能是 36。所以我们有这些 数字为：0、1、2、3、6、7、8、9。 可以先求最大， 能被9整除的这类八位数的最大值为： 98763210， 则还需要能被8整除， 经调整应为98763120。 现在要求最小， 则能被 9 整除的这类八位数的最大值为：10236789。经调整，末位应为 6
23、或者 8，所以有： 10237896。 超越篇超越篇 1.用 3 个不同的数字可以组成 6 个三位数，已知其中的 5 个的和是 3194，求剩下的那个数是多少。 【分析】设三个数为 a、b、c，不妨设剩下的数为abc， 则由已知2223194abcabc 而 3194222=1486 则 22214+86=3194 那么 22215-136=3194，而 136 数字之和不是 15，则舍去； 22216-358=3194，358 数字之和为 16，那么这个数可以为 358； 数 为数时 数 为数时 n n 99的倍奇 9的倍偶 34，85， 93，43 19244 2，26，68，57，71
24、，19， 62342886424458263285 176891 5734 71 3932 9，34 2，26，68，57，19，2781248359 22217-580=3194，350 是有 0，不符合要求，舍去； 22218-802=3194，802 是有 0，不符合要求，舍去； 22219-1004=3194，1004 已经不是三位数，不用再讨论了。 综上所述，这个数为 358。 2.一个数是它的数字和的 88 倍，求所有满足条件的正整数。 【分析】由题意，这个数至少是三位数，设为abc。 则有 88（a+b+c）=100a+10b+c，整理得 4a=26b+29c，无解。 若这个数为
25、四位数，设为abcd。 则有 88（a+b+c+d）=1000a+100b+10c+d 整理得 304a+4b=26c+29d，由于 269+299=495，则 a=1。 有 29d=304+4b-26c，则 d 为偶数。 当 d=0 时，有 26c=304+4b，由于 269=234，无解； 当 d=2 时，有 13c=123+2b，由于 139=117，无解； 当 d=4 时，有 13c=94+2b，由于 269=234，可得 c=8，b=5； 当 d=6 时，有 13c=65+2b，由于 269=234，可得 c=5，b=0； 当 d=8 时，有 13c=36+2b，由于 269=234
26、，可得 c=4，b=8； 综上，有三个数符合要求：1848，1056 和 1584。 3.两个自然数， 差是 98， 各自的各位数字之和都能被 19 整除。 试问： 满足要求的最小的一对数之和是多少？ 【分析】 （已有电子版） 4.如果 3 133332 n个 是 756 的倍数，那么n最小是多少？ 【分析】由于 756=1279，则 113 133332121111 nn 个个个个 那么 11 1111 n个个 是 7 的倍数，也是 9 的倍数，由于 111111 是 7 的倍数， 91 111 个个 是 9 的倍数，则有 181 111 个个 是 63 的倍数，则 n+1=18，n 最小值
27、为 17。 5.包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“十全数”。求满足以下条件的所有的十全数： 它的千位是 7； 从左往右数，它的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整 除前十位组成的十位数能被 10 整除。 【分析】由题意，前五位是 5 的倍数，前十位是 10 的倍数，再根据整除特点列出下图： 突破口是“偶 5 偶” ，它们数字之和为 3 的倍数，经讨论，只能为 654。 经讨论，有四种情况 3816547290，1836547290，1896547230，9816547230 经检验，要求前七位是 7 的倍数，只有 38165472
28、90 符合条件。 6.由由 8 个不同的数字组成的八位数中，能被个不同的数字组成的八位数中，能被 396 整除的数最大是多少？最小是多少？整除的数最大是多少？最小是多少？ 【分析】 三位数为 8的倍数 两位数为 4的倍数 数字之和 为3的倍数 数字之和 为3的倍数 数字之和 为3的倍数 750偶偶偶偶 7.最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是 11 的倍数？请举例。 【分析】 连续自然数的长度最长可以为 38，999981，999982，10000018 就是一串连续自然数，长 度为 38。如果存在长度大于 38 的连续自然数串，根据题意，必然存在连续 39 个自然数，每个自然数的
29、数 字和都不是 11 的倍数。由于任意连续 39 个自然数的前 20 个中，总可以找到两个数的末位是 0，而且其中 至少有 1 个在 0 的前一位不是 9，令这个自然数为 N，n 是 N 的数字和。则 N，N+1，N+2，N+9，N+19 仍是这连续 39 个自然数中的 11 个数，它们的数字和分别是 n，n+1，n+2，n+9，n+10。这是 11 个连 续自然数，其中必有一个是 11 的倍数。所以，连续自然数的长度不可能大于 38，即连续自然数的长度最长 可以为 38。 8.用 0 至 9 这 10 个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数。 【分析】完全
30、平方数末位是 0，1，4，5，6，9，由于非零，故 0 不能作末位，否则会需要两个 0，所以应 从 1，4，5，6，9 中选出 4 个作为尾数。 若选 1，4，5，6，则 5 之前必为 2，1 和 4 之前为偶，6 之前为奇， 试验得：1，36，784，9025； 若选 1，4，5，9，则 9 之前为偶，无解； 若选 1，4，6，9，同理，有 9，81，576，2304 或 9，81，324，7056 两种； 若选 1，5，6，9，无解； 若选 4，5，6，9，则有 9，16，784，3025。 综上，有四组 1，36，78，9025；9，81，576，2304；9，81，324，7056 和 9，16，784，3025。
