1、第第 5 讲讲 分数与循环小数分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判 断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.把下列分数化为小数： （1） 3 4 , 13 8 , 13 25 ； （2） 2 9 , 3 11 , 4 33 ； （3） 5 6 , 5 22 , 7 90 ； （4） 2 7 , 3 13 , 4 37 . 2.把下列循环小数转化为分数： （1）0.1，0.4； （2）0.01，0.35； （3）0.08，0.38。 3.把下列循环小数转化为分数：0.7
2、，0.12，0.123 4.计算： （1）0.10.20.3； （2）0.20.30.4； （3）0.30.50.7； （4）0.10.120.123； （5）0.120.23. 5.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234. 6.计算下列各式，并用小数表示计算结果： （1）1.860.351； （2）0.380.518. 7.将算式0.30.60.3 0.60.30.6的计算结果用循环小数表示是多少？ 8.将算式 1111 9101112 的计算结果用循环小数表示是多少？ 9.冬冬将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.
3、3。则正确结果应该是多少？ 10.真分数 7 a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数之和是 2000.a应该是多少？ 拓展篇拓展篇 1. 将下列分数化为小数： 3 8 ， 5 6 ， 44 9 ， 2 7 ， 10 13 。 2. 把下列循环小数转化为分数：0.48，0.1353，3.1703，6.36538461。 3.（1）把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： 3 31 2 15 171884 13511 , 4 50 17 77 150 192 308 625 1111 ； （2）把下列分数化成循环小数： 3 14 12 , 35 3
4、7 143 。 4.计算： （1）0.020.310.45； （2）0.10.120.1234； （3）0.120.530.69； （4）0.670.2120.111020。 5.计算： （1）0.010.120.230.340.780.89； （2）0.010.120.230.340.780.89。 6.计算： （1）(4.20.48)2.05； （2）0.132 (0.1350.135)。 7.计算：(1.21690.18)2.0981。 （将结果表示为分数和小数形式） 8.计算： 11111 1 357911 。 （结果用循环小数表示） 9.将最简真分数 7 a 化成小数后，从小数点后第
5、一位开始的连续n位数之和为 9006，a与n分别为多少？ 10.冬冬写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008。请给式子中每个小数都添加循环点，使 不等号成立。请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？ 11.（1）把 13 101 和 88 101 化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？ （2）把 1325 2008 和 683 2008 化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？ 12.冬冬将0.321乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了0.03。正确结果应该是多 少？ 超越
6、篇超越篇 1. 将循环小数0.027与0.179672相乘， 取近似值， 要求保留一百位小数。 该近似值的最后一位小数是多少？ 2. 有一个算式1.37 2511 ，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位后的近似 值，那么方格中填入的三个数分别是多少？ 3. 划去 0.5738367981 的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数。 这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？ 4. 给小数 0.2138045976 添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数。要使得这个循环小数的小数点 后第 100 数字是 7，应该怎么添加？ 5. 有两个循环小
7、数a和b，a的循环节有 3 位，b的循环节有 6 位。 这两个数之和的循环节最多有多少位？ 最少有多少位？ 6.只用数字 1、 2、 3 各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数 （循环点和小数点可以任意添加， 例如1.32、 12.3、3.12） 。这些小数的总和是多少？ 7、 写出一个最简真分数，它的分子是 2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为 2 位，循环 节为 3 位，那么这个分数最大是多少 8我们把由数字 0 和 7 组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07、77.007都是“特殊数”。如果我们将 1 写成若 干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？ 第第 5 讲讲 分数与循
8、环小数分数与循环小数 内容概述内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判 断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.把下列分数化为小数：把下列分数化为小数： （1） 3 4 , 13 8 , 13 25 ； （； （2） 2 9 , 3 11 , 4 33 ； （3） 5 6 , 5 22 , 7 90 ； （； （4） 2 7 , 3
9、13 , 4 37 . 【分析】 （【分析】 （1）0.75；1.625;0.52; （2）0.2，0.27，0.12； （3）0.83，0.227，0.07； （4）0.285714,0.230769,0.108； 2.把下列循环小数转化为分数： （把下列循环小数转化为分数： （1）0.1，0.4； （； （2）0.01，0.35； （； （3）0.08，0.38。 【分析】【分析】 （1） 1 4 , 9 9 ； （； （2） 135 , 99 99 ； （； （3） 84 0.08 9045 ， 3837 0.38 9018 ； 3.把下列循环小数转化为分数：把下列循环小数转化为分数：0
10、.7，0.12，0.123 【分析】根据题意，有：【分析】根据题意，有： 7 0.7 9 ； 12 0.12 99 ； 12341 0.123 999333 ； 4.计算： （计算： （1）0.10.20.3； （； （2）0.20.30.4； （； （3）0.30.50.7； （4）0.10.120.123； （； （5）0.120.23. 【分析】【分析】 （1） 原式原式= 2 0.10.20.30.6 3 ； （2） 原式=0.20.30.40.91 ； （3） 原式原式=0.3 0.50.70.90.71.6 ； （4） 原式原式= 1121123 12111111321 0.10.
11、120.1230.356 990900990900900 ； （5） 原式原式=0.12 0.230.354 ； 5.计算：计算：0.123450.234510.345120.451230.51234. 【分析】原式【分析】原式=12345 23451345124512351234 1.6 99999 6.计算下列各式，并用小数表示计算结果：计算下列各式，并用小数表示计算结果： （1）1.860.351； （2）0.380.518. 【分析】 （【分析】 （1）原式）原式= 18535165 1.860.351 9999999 ； （2）原式）原式= 355183 999994 7.将算式将算
12、式0.30.60.3 0.60.30.6的计算结果用循环小数表示是多少？的计算结果用循环小数表示是多少？ 【分析】原式【分析】原式= 12121223 1.27 33333318 8.将算式将算式 1111 9101112 的计算结果用循环小数表示是多少？的计算结果用循环小数表示是多少？ 【分析】原式【分析】原式= 1923763 0.3853 901321980 ； 9.冬冬将冬冬将1.23乘以一个数乘以一个数a时，把时，把1.23误看成误看成1.23，使乘积比正确结果减少，使乘积比正确结果减少0.3。则正确结果应该是多少？。则正确结果应该是多少？ 【分析分析】 由题意得： 1.23a-1.
13、23a=0.3，即：0.003a=0.3，所以有： 33 90010 a 解得a= 90，所以 1.23a=1.23 90=1 232 90 90= 111 90 90=111 10.真分数真分数 7 a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数之和是化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数之和是 2000.a应该是多少？应该是多少？ 【分析】由于无论【分析】由于无论a取何值，取何值， 7 a 化成循环小数之后的循环节部分之和不变均为化成循环小数之后的循环节部分之和不变均为1 4 2 8 5 727 ， 而而2000 27742，说明小数点之后一共有，说明小数点之后一共有 74 组
14、的组的 142857，还余下一个，还余下一个 2 或者几个数之和为或者几个数之和为 2，经观，经观 察，只能余下察，只能余下 2，则有：，则有： 2 0.285714 7 拓展篇拓展篇 3. 将下列分数化为小数：将下列分数化为小数： 3 8 ， 5 6 ， 44 9 ， 2 7 ， 10 13 。 【分析】根据题意，有【分析】根据题意，有 3 0.375 8 ， 5 0.83 6 ， 44 4.8 9 ， 2 0.285714 7 ，100.769230 13 4. 把下列循环小数转化为分数：把下列循环小数转化为分数：0.48，0.1353，3.1703，6.36538461。 【分析】【分析
15、】 4816 0.48 9933 ； 135341 0.1353 9999303 ； 1703 123 3.170333 9990135 ； 365384613619 6.3653846166 9999990052 ； 3.（1）把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数：）把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： 3 31 2 15 171884 13511 , 4 50 17 77 150 192 308 625 1111 ； （2）把下列分数化成循环小数：）把下列分数化成循环小数： 3 1412 , 35 37 14
16、3 。 【分析】 （【分析】 （1）如果一个最简分数分母分解质因数之后只含）如果一个最简分数分母分解质因数之后只含 2 和和 5，那么这个分数会化成有限小数；如果一，那么这个分数会化成有限小数；如果一 个最简分数的分母分解质因数之后既不含个最简分数的分母分解质因数之后既不含 2，也不含，也不含 5，那么这个分数可以化成纯循环小数；如果一个最贱，那么这个分数可以化成纯循环小数；如果一个最贱 分数的分母分解质因数之后既含有分数的分母分解质因数之后既含有 2 或者或者 5，又含有其他质因数，那么这个分数可以化混循环小数。，又含有其他质因数，那么这个分数可以化混循环小数。 所以有限小数有：所以有限小数
17、有： 3 31 18 135 , 4 50 192 625 纯循环小数有：纯循环小数有： 2 158411 , 17 77 308 1111 ； 混循环小数有：混循环小数有： 17 150 （2） 31412 0.0857142,0.378,0.083916 3537143 4.计算： （计算： （1）0.020.310.45； （； （2）0.10.120.1234； （3）0.120.530.69； （； （4）0.670.2120.111020。 【分析】【分析】 （1）原式=0.020.310.450.78 ； （2）原式=0.220.12340.3567 ； （3）原式=0.650.
18、691.35 （4）原式=0.8889790.1110200.91 5.计算：计算： （1）0.010.120.230.340.780.89； （2）0.010.120.230.340.780.89。 【分析】 （【分析】 （1）原式）原式= 11223899 451 4 999999999911 ； （2）方法一：0.01 0.120.230.340.780.89 = 112 1232343787898 909090909090 = 11121317181 909090909090 = 216 90 =2.4 方法二：0.01 0.120.230.340.780.89 =0+0.1+0.2+
19、0.3+0.7+0.8+(0.01 0.020.030.040.080.09) =2.1+0.01 (1+2+3+4+8+9) =2.1+ 1 90 27 =2.1+0.3 =2.4 6.计算：计算： （1）(4.20.48)2.05； （2）0.132 (0.1350.135)。 【分析】【分析】 （1） 原式原式= 248370189 (4)2.051 999993711 （2） 原式原式= 1321341221322682298 () 99999090099999008325 7.计算：计算：(1.21690.18)2.0981。 （将结果表示为分数和小。 （将结果表示为分数和小数数形式
20、）形式） 【分析】【分析】= 121681820979135220211112 ()()0.6 99999999991111111123313 8.计算：计算： 11111 1 357911 。 （结果用循环小数表示）。 （结果用循环小数表示） 【分析】原式【分析】原式=10.30.20.1428570.10.091.8782106 9.将最简真分数将最简真分数 7 a 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n位数之和为位数之和为 9006，a与与n分别为多少？分别为多少？ 【分析】由于无论【分析】由于无论a取何值，取何值， 7 a 化成循环小数之后的循环
21、节部分化成循环小数之后的循环节部分之和不变均为之和不变均为1 4 2 8 5 727 ， 而而9006 2733315，说明小数点之后一共有，说明小数点之后一共有 333 组的组的 27，还余下一个，还余下一个 15 或者几个数之和为或者几个数之和为 15，经，经 实验，实验，1+4+2+8=15 以及以及 2+8+5=15。所以符合条件的。所以符合条件的1,2002an或者或者2,2001an 10.冬冬写了一个错误的不等式：冬冬写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008。请给式子中每个小数都添加循环点，使。请给式子中每个小数都添加循环点，使 不等号成立。请问：添
22、加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？不等号成立。请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？ 【分析】在【分析】在 0.2008 的某个小数上添加循环点，只有四种情况：的某个小数上添加循环点，只有四种情况：0.2008,0.2008,0.2008,0.2008， 经比较，最大数与最小数的和为：经比较，最大数与最小数的和为：0.20080.20080.401689 11.（1）把）把 13 101 和和 88 101 化成小数后，两个循环小数的小数点后第化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？位数字的和是多少？ （2）把）把 1325 2008
23、和和 683 2008 化成小数后，两个循环小数的小数点后第化成小数后，两个循环小数的小数点后第 2008 位数字的和是多少？位数字的和是多少？ 【分析】 （【分析】 （1） 1388 10.9 101101 所以第所以第 2008 位上的数字的和是位上的数字的和是 9； （3） 同上，也是同上，也是 9。 12.冬冬将冬冬将0.321乘以一个数乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了0.03。正确结果应该是多。正确结果应该是多 少？少？ 【分析】由于丢了循环点之后，运算结果比原来小，所以丢的只能是第 1 个循环点。根据题意，有：
24、 0.3210.3210.03aa，解之得：300a，所正确结果为： 4 0.321 3009611 超越篇超越篇 6. 将循环小数将循环小数0.027与与0.179672相乘， 取近似值， 要求保留一百位小数。 该近似值的最后一位小数是多少？相乘， 取近似值， 要求保留一百位小数。 该近似值的最后一位小数是多少？ 【分析】 循环节有 6 位，100 6=164，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位是 5这样四舍五 入后第 100 位为 9 7. 有一个算式有一个算式1.37 2511 ，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位后的近，算式左边的方格中
25、都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位后的近 似值，那么方格中填入的三个数分别是多少？似值，那么方格中填入的三个数分别是多少？ 【分析】由题意【分析】由题意 1.37 的的 7 一定是一定是 11 提供的，则提供的，则 11 只有两种情况：只有两种情况： （1）0. 74xx ； （； （2）0. 65yy 经验证，只有经验证，只有 3 0.27 11 ；符合条件，代入算式可得：；符合条件，代入算式可得：1.1 25 经计算，为经计算，为 13 1.1 25 ，填入的三个数分别为，填入的三个数分别为 1、3、3。 8. 划去划去 0.5738367981 的小数点后的六个数字，再添上表示循环节
26、的两个圆点，可以得到一个循环小数。的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数。 这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？ 【分析】根据题目中最值要求，这些小数中最大的是：【分析】根据题目中最值要求，这些小数中最大的是：0.8981；最小为：；最小为：0.3361 9. 给小数给小数 0.2138045976 添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数。要使得这个循环小数的小数点添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数。要使得这个循环小数的小数点 后第后第 100 数字是数字是 7，应该怎么添加？，应该怎么添加？ 【分
27、析】由题意得：设小数点后循环节有【分析】由题意得：设小数点后循环节有x位，位，则循环节有则循环节有10 x位。位。 可得：可得： 100109xxx整数 则有：则有：1009xx 是是10 x的倍数的倍数 而而100991xx ，那么，那么10 x只能为只能为 7，3x 。 所以循环节有所以循环节有 7 位，即位，即0.2138045976。 10. 有两个循环小数有两个循环小数a和和b，a的循环节有的循环节有 3 位，位，b的循环节有的循环节有 6 位。 这两个数之和的循环节最多有多少位？位。 这两个数之和的循环节最多有多少位？ 最少有多少位？最少有多少位？ 【分析】设 999 x a ，
28、999999 y b ，所以有： 1001 999999 xy ab ，最多为 6 位。 首先，999999 不是 9999,99999 的倍数，所以ab不能为四位或者五位循环小数。 其次， 由于b是六位循环小数， 所以 1001 不能被 y 整除， 10101 不能被 y 整除。 所以 1001 不能被1001xy 2717967211796724856 0.027 0.1796720.004856 99999999937999999999999 整除。那么111111就不能被1001xy整除。 所以ab不能为一位或者三位循环小数。 观察ab是否为两位循环小数， 若为， 也就是1001101
29、01xy， 解只得：10 x ，91y 。所以最少为两位。 6.只用数字只用数字 1、 2、 3 各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数 （循环点和小数点可以任意添加， 例如各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数 （循环点和小数点可以任意添加， 例如1.32、 12.3、3.12） 。这些小数的总和是多少？） 。这些小数的总和是多少？ 【分析】【分析】 整数部分是一位数的循环小数有： 1 23 . .；1 23 . . .；1 32 . .；1 32 . . .； 2 13 . .；213 . . .；2 31 . .；2 31 . . .； 3 12 . .；312 . . .；3 21
30、 . .；3 21 . . .； 整数部分是两位数的循环小数有： 12 3 . .；21 3 . .；13 2 . .；31 2 . .；23 1 . .；32 1 . . 求和时可以整数与小数部分分离； 整数部分的和为： 41 2 333 44 55156 ； 小数部分的和为： （0 23 . .+0 32 . .）+（0 23 . .+0 32 . .）+（0 13 . .+0 31 . .）+（013 . . .+0 31 . . .）+（0 12 . .+0 21 . .）+（012 . . .+0 21 . . .） +0 3 0 3 0 2 01 0 2 01 . . =0 5 0
31、 5 0 4 0 4 0 3 0 3 0 9 0 3 . . =4。 所以他们的和为160。 8 8、 写出一个最简真分数，它的分子是写出一个最简真分数，它的分子是 2 2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为 2 2 位，循环位，循环 节为节为 3 3 位，那么这个分数最大是多少位，那么这个分数最大是多少 【分析】【分析】 有不循环部分，说明该分数的分母含因数 2 或 5， 又分子是 2，且为最简真分数，所以分母中不可能有因数 2，只能有因数 5； 不循环部分有 2 位，说明有两个因数 5； 循环节为 3 位，说明分母是 99900 的因
32、数（因为有 3 位，所以又不能是 9900 和 900 的约数） 。 分子固定的时候，要让分数最大，则分母最小。99900 含因数 25 的最小约数是：2725675。 所以这个分数最大是 2 675 8我们把由数字我们把由数字 0 和和 7 组成的小数叫做组成的小数叫做“特殊数特殊数”，例如，例如7.07、77.007都是都是“特殊数特殊数”。如果我们将。如果我们将 1 写成若写成若 干个干个“特殊数特殊数”的和，最少要写成多少个的和，最少要写成多少个？ 【分析】【分析】 假设这个等式两边一边是 1，另外一边是全由 0 和 7 组成的数，那么等式两边同时除以 7 就变成 另外一个等式，其中等式的左边是 1 7 ，等式的右边全是由 0 和 1 组成的数，于是这道题目就变成用全由 0 和 1 组成的数，相加的到0.142857，显然需要至少八个这样的数，例如 0.1428570.111111 0.011111 0.010111 0.000111 0.000101 0.000101 0.000100
