1、第第 17 讲讲 计算综合一计算综合一 内容概述 了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化比较复杂的分数算 式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.计算： （1）1248163264128256； （2） 11111111 1 248163264128256 。 2.计算： 23456 333333。 3.计算： 199519951995199519951995 200920092009200920092009 。 4.计算： 131435 415263 342556 。 5.计算： 1111111111
2、 123456789100 2342342342 。 6.规定新运算“*”为：*32a bab 。 （1）计算： 456 * 345 ； （2）已知 456 * 345 x ，求x。 7.图 17-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75 是 2.5 和 3 的平均数。请问：第 100 行中的各数之和是多少？ 8.有这样一列数，前两个数分别是 0 和 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，。 请问：这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是多少？ 9.观察下面的数阵： 根据前五行数
3、所表达的规律，求 （1） 33 67 这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右第几个？ （2）第 28 行第 19 个数是什么？ 10.观察数列1 1 ， 1 2 ， 2 2 ， 1 2 ， 1 3 ， 2 3 ， 3 3 ， 1 3 ， 1 4 ， 2 4 ， 3 4 ， 4 4 ， 3 4 ， 2 4 ， 1 4 ，求： （1）数列中第 150 项； （2）数列中前 300 项的和。 拓展篇拓展篇 1.如图 17-2，有一个边长为 81 厘米的等边三角形，将它每条边三等分，以中间那一份为边向外作等边三角 形， 得到图 17-3。 由图 17-3 通过同样方法又得到图 17-4。
4、如果再由图 17-4 通过同样方法得到一个新的图形， 试问：这个新的图形的周长是多少？ 2.计算： （1） 234567 1 2222222 ； （2） 234567 1111111 1 3333333 。 3.某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 1.5 倍，且每 天都生产整数个乒乓球。请问：第一周的总产量至少是多少？ 4.计算： 1 2 32 4 6100 200 300 2 3 44 6 8200 300 400 。 5.计算： 2 22 7719991999 1 99 8819991999 1998 1998 。 6.对于任意的两个自然数a和
5、b，规定新运算“”为：(1)(2)(1)a ba aaab。如果 (3)315600 x ，求x的值。 7.定义新运算a b为a与b之间（包含ab、）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如： 714(791113)410，18 10(18 16 14 12 10)514 。 （1）计算：10 19； （2）在算式(19 99)80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？ 8.1 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？ 9.有一串数如下：1，2，4，7，11，16。它的规律是：由 1 开始，依次加 1，加 2，加 3，逐个产生 这串数，直到第 50 个
6、数为止。求第 50 个数除以 3 的余数。 10.70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它相邻的两个数之和。这一行最左 边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，。请问：这列数中除以 6 余 1 的数有多少个？ 11.观察数列 1 2 ， 1 4 ， 3 4 ， 1 6 ， 3 6 ， 5 6 ， 1 8 ， 3 8 ， 5 8 ， 7 8 ； 1 10 ， 2005 2008 ， 2007 2008 的规律，问： （1）数列中第 2008 项是什么？ （2）数列中前 2008 项的和是多少？ 12.将从 1 开始的自然数按照如图 17-5 所示的规律排成数阵，
7、数 1000 所在的行与列中分别有一个最小的数， 求这两个数的和。 超越篇超越篇 1.求所有分母为 360 的最简真分数的和。 2.有一种运算“*” ，满足以下条件： 2*35； *a bb a； *()*abca ba c。 （这里的“+”是通常的加号） 请计算：8*9。 3.下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，。试问： （1）其中第 300 个数被 6 除余几？ （2）如果数列按第n组含有n个数的规律分组，成为：(1)，(3,4)，(7,11,18)，那么第 300 组内各数之 和除以 6 的余数是多少？ 4.如图 17-6 所示的三角形数阵中，从第 2
8、行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们 的和。请问：第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是多少？ 5.有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，再将两个半圆周分 别分成两个 1 4 圆周， 在新产生的分点上标上相邻两数之和的 1 2 ； 第三次， 再次四个 1 4 圆周分别分成两个 1 8 圆 周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 1 3 ；第四次，再将八个 1 8 圆周分别分成两个 1 16 圆周，在新产生 的分点上标上相邻两数之和的 1 4 如此进行了 100 次。请问：最后圆周上的所有数之和是多少？ 6.将非零自然数按照图 1
9、7-7 中的规律不断写出， 发现有些数字被写出多次， 还有些数永远不会出现。 请问： 99 在数表中出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？ 7.请写出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列。 8.规定运算“”对任意的 xyz、 、 都满足 5y x ， ()()5xy zx yz ，试求2009 1949 。 第第 17 讲讲 计算综合一计算综合一 内容概述 了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化比较复杂的分数算 式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1
10、.计算： （1）1248163264128256； （2） 11111111 1 248163264128256 。 【分析】 （1）原式=1+2+4+8+16+32+64+128+256 2 原式=2+4+8+16+32+64+128+256+512 2 原式-原式=512-1 原式=511 （2）原式= 11111111 1 248163264128256 1 2 原式= 111111111 248163264128256512 原式- 1 2 原式=1- 1 512 1 2 原式= 511 512 原式= 511 256 2.计算： 23456 333333。 【分析】原式=3+32+3
11、3+34+35+36 3 原式=32+33+34+35+36+37 3 原式-原式=37-3 2 原式=2184 原式=1092 3.计算： 199519951995199519951995 200920092009200920092009 。 【分析】原式 19951995 10001 1995 100010001 20092009 100012009 100010001 19951 10001 100010001 20091 10001 100010001 1995 2009 285 287 4.计算： 131435 415263 342556 。 【分析】原式 124310543185
12、342556 314253 126 5.计算： 1111111111 123456789100 2342342342 。 【分析】整数部分=1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99+100 =0+3+6+9+96+100 =（3+96）322+100 =1684 分数部分：三个数一组，每组的和为 1117 23412 则分数部分 71 33 122 79 4 原式=168+ 79 4 =1703 3 4 6.规定新运算“*”为：*32a bab 。 （1）计算： 456 * 345 ； （2）已知 456 * 345 x ，求x。 【分析】 （1） 56 * 45 = 5627 3
13、2 4520 427427 *321.3 320320 （2） 456 32* 345 x 57 * 45 x 57 32 45 x 1.3x 7.图 17-1 中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75 是 2.5 和 3 的平均数。请问：第 100 行中的各数之和是多少？ 【分析】经计算得，每一行都比上一行的和多 10.5+30.5=2 那么，第 100 行比第一行的和多 992=198 那么，第 100 行各数之和为 1+2+3+198=204 8.有这样一列数，前两个数分别是 0 和 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和： 0，1，1
14、，2，3，5，8，13，21，34，。 【分析】余数的和等于和的余数 我们找找这个数列除以 8 的余数的规律： 0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1， 我们发现，12 个数一个循环， 那么，100012=834 所以，第 1000 个数除以 8 的余数与第 4 个数除以 8 的余数一样，即 2。 请问：这个数列的第 1000 个数除以 8 所得的余数是多少？ 9.观察下面的数阵： 根据前五行数所表达的规律，求 （1） 33 67 这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右第几个？ （2）第 28 行第 19 个数是什么？ 【分析】我们发现，一个分数所在行数等于这个
15、分数分子分母的和减 1，而其在这行第几个数就是这个分数 分母的值。 （1） 33 67 在第 99 行，在这一行的第 67 个。 （2）第 28 行第 19 个数的分母为 19，分子为 28+1-19=10，那么这个分数为10 19 。 10.观察数列1 1 ， 1 2 ， 2 2 ， 1 2 ， 1 3 ， 2 3 ， 3 3 ， 1 3 ， 1 4 ， 2 4 ， 3 4 ， 4 4 ， 3 4 ， 2 4 ， 1 4 ，求： （1）数列中第 150 项； （2）数列中前 300 项的和。 【分析】 （1）我们把这一列数分组，分母相同的放在同一组中。 那么，到第一组一共有 1 个数，到第二
16、组一共有 4 个数，到第三组一共有 9 个数，所以到第 几组一共就有 n2个数。距 150 最近的平方数为 144。 所以到第 12 组一共有 144 个数，那么数列中第 150 项为第 13 组第 6 个数，即 6 13 。 （2）仍然按照（1）的方法分组，第几组中，所有数之和为 2 12321nn n nn 。依 照（1）的办法，我们找到前 300 项共 17 组，还有 11 个数，分别为 1 18 ， 2 18 ，11 18 。那么 它们的和为 1+2+3+17+1 23112 156 183 拓展篇拓展篇 1.如图 17-2，有一个边长为 81 厘米的等边三角形，将它每条边三等分，以中
17、间那一份为边向外作等边三角 形， 得到图 17-3。 由图 17-3 通过同样方法又得到图 17-4。 如果再由图 17-4 通过同样方法得到一个新的图形， 试问：这个新的图形的周长是多少？ 【分析】经观察，每个图形周长都是上一个图形周长的 4 3 。 那么新图形周长为（813） 4 3 4 3 4 3 =576（厘米） 2.计算： （1） 234567 1 2222222 ； （2） 234567 1111111 1 3333333 。 【分析】 （1）设 S=1+2+22+23+24+25+26+27 2S=2+22+23+24+25+26+27+28 2S-S=28-1 S=255 （2
18、）设 S= 234567 1111111 1 3333333 1 3 S= 2345678 11111111 33333333 S- 1 3 S=1- 8 1 3 2 3 S= 6560 6561 S= 3280 2187 3.某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的 1.5 倍，且每 天都生产整数个乒乓球。请问：第一周的总产量至少是多少？ 【分析】设第一天生产 n 个，则第二天生产 3 2 n个，第三天生产 2 3 2 n 个，第七天生产 6 3 2 n 个。对 于 6 3 2 n 最小的整数，只有当 n=26=64 时实现。 所以第一天生产 64 个
19、，第二天生产 3 64 2 ，第七天生产 6 3 64 2 总生产量为 6 33 646464 22 236 3333 641 2222 2059 （个） 4.计算： 1 2 32 4 6100 200 300 2 3 44 6 8200 300 400 。 【分析】原式= 3333 3333 1 2 3123100 2 3 4123100 1 4 5.计算： 2 22 7719991999 1 99 8819991999 1998 1998 。 【分析】原式 2 79791998 19991 8819991998 2 2 797919991998 8819991998 7987 88 79
20、87 6.对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“”为：(1)(2)(1)a ba aaab。如果 (3)315600 x ，求x的值。 【分析】我们经过观察发现，a b表示连续自然数乘积，从 a 开始乘，一共乘 b 个数。 设3xy ，则315600y ， 由于 15600=242526，则 y=24， 由于 24=234，则 x=2。 7.定义新运算a b为a与b之间（包含ab、）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如： 714(791113)410，18 10(18 16 14 12 10)514 。 （1）计算：10 19； （2）在算式(19 99)80的方框中填入恰当的自然数后可
21、使等式成立，请问：所填的数是什么？ 【分析】 （1）原式=（10+12+14+16+18）5=14 （2） 19 19199941 24159 5980 可得（+59）2=80 或（-1+60）2=80 那么为 100 或 101。 8.1 至 2008 这 2008 个自然数的所有数字之和是多少？ 【分析】 首先， 我们计算000999的， 所有数字之和45100+45100+45100=13500， 其次我们计算1000 1999 的所有数字之和 13500+11000=14500。最后计算 20002008 的所有数字和 29+1+2+ +8=54。那么，所有数字之和为 13500+14
22、500+54=28054。 9.有一串数如下：1，2，4，7，11，16。它的规律是：由 1 开始，依次加 1，加 2，加 3，逐个产生 这串数，直到第 50 个数为止。求第 50 个数除以 3 的余数。 【分析】由和的余数等于余数的和可知，这列数除以 3 的余数为：1，2，1，1，2，1，1，2，1，我们 发现 3 个数一循环。我们看看有几组 503=162。第 2 个数除以 3 余 2，则第 50 个数除以 3 也余 2。 10.70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它相邻的两个数之和。这一行最左 边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，。请问：这列数中除以
23、 6 余 1 的数有多少个？ 【分析】由余数定理可知，我们不需要将原数一个一个列出来，只需要找到余数即可。如下所示：0，1，3， 2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，可以发现，这个余数列以 12 个数为一个周期。 每个周期中有 2 个余数为 1。 因为 7012=510，所以 70 个余数包含了 5 个完整的周期，和一周期的前 10 个数。那么这 70 个余数里总共有 52+2=12（个）余数为 1。 11.观察数列 1 2 ， 1 4 ， 3 4 ， 1 6 ， 3 6 ， 5 6 ， 1 8 ， 3 8 ， 5 8 ， 7 8 ； 1 10 ， 2005 2008 ， 20
24、07 2008 的规律，问： （1）数列中第 2008 项是什么？ （2）数列中前 2008 项的和是多少？ 【分析】我们把数列写成数表形式： 1 2 ， 1 4 ， 3 4 ， 1 6 ， 3 6 ， 5 6 ， 1 2008 ， 3 2008 ， 2007 2008 。 （1）我们发现第 n 行 m 列表示的数为 21 2 m n 经计算 1+2+3+62=（1+62）622=19532008。那么第 2008 项是第 63 行的第 55 项。则 该数为 109 126 。 （2）前 2008 个数中，包含完整的前 62 行和第 63 行的前 55 个数。 第 1 行中数的和为 1 2 ；
25、 第 2 行中数的和为 2 2 ； 所以前 6 行中所有数的和是： 162622123621 976 222222 第 63 行前 55 个数的和为： 1 109552121091 24 126126126126126 所以，前 2008 个数的和为： 1132 976241000 212663 。 12.将从 1 开始的自然数按照如图 17-5 所示的规律排成数阵， 数 1000 所在的行与列中分别有一个最小的数， 求这两个数的和。 【分析】我们先划分数表，如下所示： 1 2 9 10 4 3 8 11 5 6 7 12 16 15 14 13 17 转折处数字是有规律的，可以发现： 第一个
26、转折处的数字是 11-0=1； 第二个转折处的数字是 22-1=3； 第三个转折处的数字是 33-2=7； 经计算，第 32 个转折处的数是 3232-31=9931000，由于偶数转折点左面的数字比右边大。则 1000 在第 32 行，25 列，该行最小的数字是 993。该列所对应的转折点是第 25 个转折点，25 25-24=601，第 25 列是奇数列，上面的数字比下面大。所以 601 就是该列最小数字。所以 1000 所 在列和行的最小值的和为 993+601=1594。 超越篇超越篇 1.求所有分母为 360 的最简真分数的和。 【分析】先计算 1360 中所有 2，3，5 的倍数的
27、和，利用容斥原理可得： 这个和=（2+4+6+360）+（3+6+9+360）+（5+10+15+360）-（6+12+18+360）+ （10+20+30+360）+（15+30+45+360）+（30+60+90+360） =32580+21780+13140-10980-4500-6660+2340 =47700 这样的话，所求结果的分子=（1+2+3+360）-47700 =3613602-47700 =17280 则所求为 17280360=48。 2.有一种运算“*” ，满足以下条件： 2*35； *a bb a； *()*abca ba c。 （这里的“+”是通常的加号） 请计算
28、：8*9。 【分析】由于 2*3=5，则 8*3=2*3+2*3+2*3+2*3=54=20 那么 8*9=8*3+8*3+8*3=203=60 3.下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，。试问： （1）其中第 300 个数被 6 除余几？ （2）如果数列按第n组含有n个数的规律分组，成为：(1)，(3,4)，(7,11,18)，那么第 300 组内各数之 和除以 6 的余数是多少？ 【分析】首先，我们先找到这列数被 6 除余数的规律：24 个数一循环。 1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，
29、 （1）30024=1212，前 300 个数一共有 12 组，余 12 个数。 那么，第 12 个数除以 6 的余数就是第 300 个数除以 6 的余数。 （2）首先，我们先找到第 299 组最后一个数被 6 除的余数。到第 299 组最后一个数为止一共有 1+2+3+299=44850 个数。 4485024=186818。那么这最后一个数被 6 除余 0。 由于 30024=1212，则第 300 组内各数之和被 6 除的余数为这个循环后 6 个数与这个 循环所有数的和的 12 倍与这个循环前 6 个数的和被 6 除的余数。即 4。 4.如图 17-6 所示的三角形数阵中，从第 2 行起
30、，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们 的和。请问：第 999 行各数之和被 7 除所得的余数是多少？ 【分析】我们发现这个表格下一行数的和与上一行数的和的关系：设下一行为 an+1，上一行为 an，则有 an+1=3an-2。 我们找每一行各数之和被 7 除余数为 2，4，3，0，5，6，2，4，3，0，6 个数一循环，而 999 6=1663。则第 999 行各数之和被 7 除所得的余数与第 3 行相同，为 3。 5.有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，再将两个半圆周分 别分成两个 1 4 圆周， 在新产生的分点上标上相邻两数之和的
31、1 2 ； 第三次， 再次四个 1 4 圆周分别分成两个 1 8 圆 周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 1 3 ；第四次，再将八个 1 8 圆周分别分成两个 1 16 圆周，在新产生 的分点上标上相邻两数之和的 1 4 如此进行了 100 次。请问：最后圆周上的所有数之和是多少？ 【分析】我们经过观察，用 Sn表示第 n 行各数之和。 则 1 2 1 nnn SSS n ，即 1 3 1 nn n SS n 由题意，求 1001 1021011004 10099982 SS 102 1014 2 100992 3434 6.将非零自然数按照图 17-7 中的规律不断写出， 发现有些数字被
32、写出多次， 还有些数永远不会出现。 请问： 99 在数表中出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？ 【分析】 我们经过观察分析可得， 99 会出现在第一行倒数第 1 个， 第二行倒数第 2 个。 第三行倒数第 4 个， 第四行倒数第 7 个，第十四行倒数第 92 个，由于每行只有 99 个数，则下一行将没有 99。则 99 总共出现 14 次。最后一次位于第十四行第八列。 我们经过观察发现：第 n 行最后一个会出现在第 n+1 行倒数第 n+1 个。则当 n=99 时，即第 99 行 最后一个会出现在第 100 行倒数第 100 个。而一行总共 99 个数，那么该数将只出现这样
33、一次。这 个数加 1 将永不出现。这个数为99+（1+2+99）+1=5050，那么最小的永不出现的数为 5050。 7.请写出 5 个不同的最简分数，分子都是 2，而且这 5 个分数组成一个等差数列。 【分析】我们可以按照如下的方式构造： 2 m ， 2k m ， 22k m ， 23k m ， 24k m 。 其中，后四个不是最简分数。 我们把后四个分数做一个变形： 1 2 1 2 k m ， 2 1k m ， 3 2 1 2 k m ， 2 12k m 则 m 可以且仅可以和 1 1 2 k ，1k ， 3 1 2 k ，12k 约分。且 m 为奇数。 则 k 可以为 4，m 为 3，5，7，9 的倍数，m 可以为3，5，7，9=315 这 5 个分数为 2 315 ， 2 105 ， 2 63 ， 2 45 ， 2 35 。 8.规定运算“”对任意的xyz、 、都满足5y x ，()()5xy zx yz，试求2009 1949。 【分析】题目有问题
