1、第第 11 讲讲 约数与倍数约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数的概念，学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方 法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.（1）请写出 105 的所有约数； （2）请写出 72 的所有约数。 2.（1）20000 的约数有多少个？（2）720 的约数有多少个？ 3.计算： （1）(28,72),28,72； （2）(28,44,260)28,44,260。 4.两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？ 5.（1）求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； （2）求
2、3553，3910 和 1411 的最大公约数。 6.教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工。请问：用这些水果最 多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7.一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米。现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相 邻两棵树之间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？ 8.甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90。如果甲数是 18，那么乙数是多少？ 9.有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲的 27 倍。已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数，但
3、 不是 18 的倍数；乙数是两位数。乙数是多少？ 10.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70。这 三个数的和可能是多少？ 拓展篇拓展篇 1.72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？ 2.5400 共有多少个约数？并求出所有约数税种的质因数分解形式。 3.两数乘积为 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1。这两个数分别是多少？ 4.计算： （1）(391,357),391,357； （2）(18,24,36),18,24,36。 5.1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多涒？最小公倍数是
4、多少？ 6.张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子 没有分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 7.一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80。这个数是多少？ 8.两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216。这两个数分别是多少？ 9.两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？ 10.有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111。请问：它们的最大公约数最大能是多少？ 11.甲、 乙两个数的最小公倍数是 90， 乙、 丙两个数
5、的最小公倍数是 105， 甲、 丙两个数的最小公倍数是 126。 请问：甲数是多少？ 12.甲、 乙是两个不同的自然数。 它们都只含有质因数 2 和 3， 并且都有 12 个约数。 它们的最大公约数是 12。 请问：甲、乙两数之和是多少？ 超越篇超越篇 1.360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？ 2.求出所有恰好含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和。 3.已知a与b的最大公约数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100， 而且ab。 满足条件的自然数abc、 、 共有多少组？ 4.所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？ 5.自然数n是1,2,3,
6、10的公倍数，而且它恰有 72 个约数。n的最小值是多少？ 6.三条圆形跑道，圆心都在拐卖中的旗杆处。里圈跑道长 1 5 千米，中圈跑道长 1 4 千米，外圈跑道长 3 8 千米。 甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小 时跑 1 3 2 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米。他们同时出发。请问：几小时后，三人第一次同时 回到出发点？ 7.如图 11-1， 在一个600600的方格表ABCD中， 将AB与线段CD上除端点外的所有格点 1 N， 2 N， 3 N， ， 599 N分别相连，得到 599 条线段。请问，在这些线段中：
7、 （1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？ （2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？ （3）除去端点，还恰好经过 29 个格点的直线有多少条？ 8.有些自然数等于自身约数个数的平方， 例如 1 和 9 都具有此性质。 请问： 是否还有其他自然数具有此性质？ 如果有，请举例；如果没有，请说明理由。 第第 11 讲讲 约数与倍数约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数的概念，学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方 法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.（1）请写出 105 的所有约数； （2）请写
8、出 72 的所有约数。 【分析】 （1）357 约数：1、3、5、7、15、21、35、105； （2）72=2332 约数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 2.（1）20000 的约数有多少个？（2）720 的约数有多少个？ 【分析】 （1）20000=2554 约数个数： （5+1）（4+1）=30； （2）720=24325 约数个数： （4+1）（2+1）（1+1）=30。 3.计算： （1）(28,72),28,72； （2）(28,44,260)28,44,260。 【分析】 （1） （28、72）=4，28、72=504； （2） （28、44、260
9、）=4，28、44、260=20020。 4.两个数的差是 6，它们的最大公约数可能是多少？ 【分析】设这两个数为 A、B， （A，B）=M，A=Ma B=Mb A-B=M（a-b）=6 M 有可能为 1、2、3、6。 5.（1）求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数； （2）求 3553，3910 和 1411 的最大公约数。 【分析】 （1） （1085、1178）31，1085、117841230； （2） （3533、3910、1411）=17。 6.教师节到了，校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工。请问：用这些水果最 多可以分成多少
10、份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 【分析】 （320、240、200）=40（份） 苹果：3204=8（个） 桔子：2404=6（个） 香蕉：2004=5（个） 。 7.一块长方形草地，长 120 米，宽 90 米。现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相 邻两棵树之间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？ 【分析】1202=60，902=45，每两棵树之间的距离是它们的最大公约数。 （120，60，90，45）=15，一 共要： （120+90）215=28（棵） 。 8.甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90。如果甲数是 18，那么乙数是多
11、少？ 【分析】乙数是：69018=30。 9.有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲的 27 倍。已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数，但 不是 18 的倍数；乙数是两位数。乙数是多少？ 【分析】设甲=Ma 乙=Mb 甲，乙=Mab 甲：2、4、6、8、10、12、14、16=24357 MabMa=b=27 18=232 甲内有 3，但不能有 32 乙内有 3 乙：273=81。 10.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是 35，最小公倍数是 70。这 三个数的和可能是多少？ 【分析】这三个数只能为 35 的倍数，且70， 只能为 35、3
12、5、70 或 35、70、70， 和为 35+35+70=140 或 35+70+70=175。 拓展篇拓展篇 1.72 共有多少个约数？其中有多少个约数是 3 的倍数？ 【分析】72=2332 约数个数为： （3+1）（2+1）=12（个） 3 的倍数有 an31或 an32 有（3+1）2=8（个） 。 a b M甲 乙 2.5400 共有多少个约数？并求出所有约数税种的质因数分解形式。 【分析】5400=233352 约数个数有 P=（3+1）（3+1）（2+1）=48（个） 约数乘积= 48 2433224727248 22 54005400(235 )235 P N。 3.两数乘积为
13、 2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1。这两个数分别是多少？ 【分析】2800=245271 （2+1）（1+1）=6（个） 4+1=5（个） 这两个数为 24=16 5271=135。 4.计算： （1）(391,357),391,357； （2）(18,24,36),18,24,36。 【分析】 （1） （391、357）=17 391、357=8211 （2） （18、24、36）=6 18、24、3672。 5.1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多涒？最小公倍数是多少？ 【分析】 （1547、1573、1859）=13 1547、1573、18
14、59=2433431。 6.张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子 没有分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 【分析】苹果：225-9=216（个） 梨：350-26=324（个） 桔：150-6=144（个） （216、324、144）=36 苹果每个小朋友分了：21636=6（个） 。 7.一个数和 16 的最大公约数是 8，最小公倍数是 80。这个数是多少？ 【分析】88016=40。 8.两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是 18，最小公倍数是 216。这两个数分别是多少？ 【分析】21618=
15、12 12=112=34 这两个数为 181=18 1812=216 或 183=54 184=72。 9.两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果这两个数相差 18，那么较小的数是多少？ 【分析】4206=70 18=36 70=170=235=514=710 只有 10-7=3 较小数为 76=42。 10.有 4 个不同的正整数，它们的和是 1111。请问：它们的最大公约数最大能是多少？ 【分析】1111=11101，11 能表示成 4 个互质的数之和 最大公约数最大可能是 101。 11.甲、 乙两个数的最小公倍数是 90， 乙、 丙两个数的最小公倍数是 105， 甲、 丙
16、两个数的最小公倍数是 126。 请问：甲数是多少？ 【分析】甲，乙=90=2325 乙，丙=105=357 甲、丙=126=2327 乙可能是 5或 3或 35 丙可能是 7或 3 甲可能是 2 23，232 32 但只有乙是 35=15 甲：232=18 丙：7。 12.甲、 乙是两个不同的自然数。 它们都只含有质因数 2 和 3， 并且都有 12 个约数。 它们的最大公约数是 12。 请问：甲、乙两数之和是多少？ 【分析】甲可表示为 甲=2a3b且（a+b）（b+1）=12 乙可表示为乙=2M3N且（M+1）（N+1）=12 12=223 12=11+1=（2+1）（3+1）=（1+1）（
17、5+1） 甲可能为 2233或 2332 2135或 2531 乙可能为 2232或 2332 235或 2531 但最大公约数为 2231 此两数只能为 2233与 2531 和为 2233+2531=2231（32+23）=204。 超越篇超越篇 1.360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？ 【分析】360=233251 奇约数有： （2+1）（1+1）=6（个） 奇约数的和是： （30+31+32）（50+51）=78 2.求出所有恰好含有 10 个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和。 【分析】10=9+1 表达式为 a9 10=25=（1+1）（4+1）表达式为 a1
18、b4或 a4b1 2999 2134100 2431=48 约数之和： （20+21+22+23+24）（30+31）=124 2451=80 约数之和： （20+21+22+23+24）（50+51）=186。 3.已知a与b的最大公约数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100， 而且ab。 满足条件的自然数abc、 、 共有多少组？ 【分析】设 a=4m，b=4n a、c=100 b、c=100 100=2252 1004=25 25m m 为 1、5 或 25，同理 n 为 1、5 或 25 ab mn 当 m=1 时，n=5 a=4 b=20 c 可能为 52、522、524 当 m
19、=5 时，n=25 a=20 b=100 c 可能为 52、522、524 当 m=n=1 时，a b=4 c 可能为 52、522、524 一共有 3+3+3=9（组） 4.所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？ 【分析】设 70 的 N 倍恰有 70 个约数。 70=257 有： （1+1）（1+1）（1+1）=23=8 8 不整除 70 N 内可能有 2、5、7 若有 4 个不同质因数，但 70 只能表示为 257 N 内必含 2、7、5 中几个 70N=2 （a+1）5（b+1）7（c+1） （a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）=70 a、b、c 分别是 0，3，
20、5 中一个 N 为 2355，2375 2523，2573 5375，5573 一共 6 组 5.自然数n是1,2,3,10的公倍数，而且它恰有 72 个约数。n的最小值是多少？ 【分析】1、2、3、4、10=2520=233257 设 n=233257M 72=22233 当 M 不含 2、3、5、7 时 3+13 不存在 M 必含 2、3、5、7 中的若干个。 n=2 （a+3）3（b+2）5（c+1）7（d+1） （a+3+1）（b+2+1）（c+1+1）（d+1+1） =（a+4）（b+3）（c+2）（d+2）=72 n 最小 d=0 c=0 b=0 a=23-4=2 n=253251
21、71=10080 6.三条圆形跑道，圆心都在拐卖中的旗杆处。里圈跑道长 1 5 千米，中圈跑道长 1 4 千米，外圈跑道长 3 8 千米。 甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小 时跑 1 3 2 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米。他们同时出发。请问：几小时后，三人第一次同时 回到出发点？ 【分析】如图 甲、乙、丙三人要回到出发点，路程都是整圈数 用的时间相同 t甲： 112 3 5235 t乙： 11 4 416 t丙： 33 5 840 2 35 、 1 16 、 3 40 = 213 3516 40 、 、 、 ）（
22、=6（h） 7.如图 11-1， 在一个600600的方格表ABCD中， 将AB与线段CD上除端点外的所有格点 1 N， 2 N， 3 N， ， 599 N分别相连，得到 599 条线段。请问，在这些线段中： （1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？ （2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？ （3）除去端点，还恰好经过 29 个格点的直线有多少条？ 丙乙甲 【分析】 8.有些自然数等于自身约数个数的平方， 例如 1 和 9 都具有此性质。 请问： 是否还有其他自然数具有此性质？ 如果有，请举例；如果没有，请说明理由。 【分析】设满足条件的数为 N，N=AaBbNn，N 有 m 个约数 N=m2 N 必为完全平方数 m=（a+1）（b+1）（n+1） N= AaBbNn=m2=（a+1）（b+1）（n+1）2 A=a+1 a=2 A=3 B=b+1 b=2 B=3 N=n+1 n=2 N=3 只能有质因数 3 或非质数 除 1 和 9 之外无。
