奥数导引小学五年级含详解答案 第11讲:约数与倍数

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1、第第 11 讲讲 约数与倍数约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数的概念,学会约数个数与约数和的计算方法;掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方 法;能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.(1)请写出 105 的所有约数; (2)请写出 72 的所有约数。 2.(1)20000 的约数有多少个?(2)720 的约数有多少个? 3.计算: (1)(28,72),28,72; (2)(28,44,260)28,44,260。 4.两个数的差是 6,它们的最大公约数可能是多少? 5.(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数; (2)求

2、3553,3910 和 1411 的最大公约数。 6.教师节到了,校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工。请问:用这些水果最 多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,苹果、桔子、香蕉各有多少个? 7.一块长方形草地,长 120 米,宽 90 米。现在在它的四周种树,要求四个角和各边中点都要求种树,且相 邻两棵树之间的距离都相等。请问:最少要种多少棵树? 8.甲数和乙数的最大公约数是 6,最小公倍数是 90。如果甲数是 18,那么乙数是多少? 9.有甲、乙两个数,它们的最小公倍数是甲的 27 倍。已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数,但

3、 不是 18 的倍数;乙数是两位数。乙数是多少? 10.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数,这三个自然数的最大公约数是 35,最小公倍数是 70。这 三个数的和可能是多少? 拓展篇拓展篇 1.72 共有多少个约数?其中有多少个约数是 3 的倍数? 2.5400 共有多少个约数?并求出所有约数税种的质因数分解形式。 3.两数乘积为 2800,已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1。这两个数分别是多少? 4.计算: (1)(391,357),391,357; (2)(18,24,36),18,24,36。 5.1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多涒?最小公倍数是

4、多少? 6.张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们,最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子 没有分出去。请问:每个小朋友分了多少个苹果? 7.一个数和 16 的最大公约数是 8,最小公倍数是 80。这个数是多少? 8.两个自然数不成倍数关系,它们的最大公约数是 18,最小公倍数是 216。这两个数分别是多少? 9.两个数的最大公约数是 6,最小公倍数是 420,如果这两个数相差 18,那么较小的数是多少? 10.有 4 个不同的正整数,它们的和是 1111。请问:它们的最大公约数最大能是多少? 11.甲、 乙两个数的最小公倍数是 90, 乙、 丙两个数

5、的最小公倍数是 105, 甲、 丙两个数的最小公倍数是 126。 请问:甲数是多少? 12.甲、 乙是两个不同的自然数。 它们都只含有质因数 2 和 3, 并且都有 12 个约数。 它们的最大公约数是 12。 请问:甲、乙两数之和是多少? 超越篇超越篇 1.360 共有多少个奇约数?所有这些奇约数的和是多少? 2.求出所有恰好含有 10 个约数的两位数,并求出每个数的所有约数之和。 3.已知a与b的最大公约数是4,a与c、b与c的最小公倍数都是100, 而且ab。 满足条件的自然数abc、 、 共有多少组? 4.所有 70 的倍数中,共有多少个数恰有 70 个约数? 5.自然数n是1,2,3,

6、10的公倍数,而且它恰有 72 个约数。n的最小值是多少? 6.三条圆形跑道,圆心都在拐卖中的旗杆处。里圈跑道长 1 5 千米,中圈跑道长 1 4 千米,外圈跑道长 3 8 千米。 甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时,三人都在旗杆的正东方向,甲每小 时跑 1 3 2 千米,乙每小时跑 4 千米,丙每小时跑 5 千米。他们同时出发。请问:几小时后,三人第一次同时 回到出发点? 7.如图 11-1, 在一个600600的方格表ABCD中, 将AB与线段CD上除端点外的所有格点 1 N, 2 N, 3 N, , 599 N分别相连,得到 599 条线段。请问,在这些线段中:

7、 (1)不会与其他格点相交的线段共有多少条? (2)经过格点最多的线段共经过多少个格点(不包括它的端点)? (3)除去端点,还恰好经过 29 个格点的直线有多少条? 8.有些自然数等于自身约数个数的平方, 例如 1 和 9 都具有此性质。 请问: 是否还有其他自然数具有此性质? 如果有,请举例;如果没有,请说明理由。 第第 11 讲讲 约数与倍数约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数的概念,学会约数个数与约数和的计算方法;掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方 法;能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.(1)请写出 105 的所有约数; (2)请写

8、出 72 的所有约数。 【分析】 (1)357 约数:1、3、5、7、15、21、35、105; (2)72=2332 约数:1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 2.(1)20000 的约数有多少个?(2)720 的约数有多少个? 【分析】 (1)20000=2554 约数个数: (5+1)(4+1)=30; (2)720=24325 约数个数: (4+1)(2+1)(1+1)=30。 3.计算: (1)(28,72),28,72; (2)(28,44,260)28,44,260。 【分析】 (1) (28、72)=4,28、72=504; (2) (28、44、260

9、)=4,28、44、260=20020。 4.两个数的差是 6,它们的最大公约数可能是多少? 【分析】设这两个数为 A、B, (A,B)=M,A=Ma B=Mb A-B=M(a-b)=6 M 有可能为 1、2、3、6。 5.(1)求 1085 和 1178 的最大公约数和最小公倍数; (2)求 3553,3910 和 1411 的最大公约数。 【分析】 (1) (1085、1178)31,1085、117841230; (2) (3533、3910、1411)=17。 6.教师节到了,校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个香蕉来慰问退休老职工。请问:用这些水果最 多可以分成多少

10、份同样的礼物?在每份礼物中,苹果、桔子、香蕉各有多少个? 【分析】 (320、240、200)=40(份) 苹果:3204=8(个) 桔子:2404=6(个) 香蕉:2004=5(个) 。 7.一块长方形草地,长 120 米,宽 90 米。现在在它的四周种树,要求四个角和各边中点都要求种树,且相 邻两棵树之间的距离都相等。请问:最少要种多少棵树? 【分析】1202=60,902=45,每两棵树之间的距离是它们的最大公约数。 (120,60,90,45)=15,一 共要: (120+90)215=28(棵) 。 8.甲数和乙数的最大公约数是 6,最小公倍数是 90。如果甲数是 18,那么乙数是多

11、少? 【分析】乙数是:69018=30。 9.有甲、乙两个数,它们的最小公倍数是甲的 27 倍。已知甲数是 2、4、6、8、10、12、14、16 的倍数,但 不是 18 的倍数;乙数是两位数。乙数是多少? 【分析】设甲=Ma 乙=Mb 甲,乙=Mab 甲:2、4、6、8、10、12、14、16=24357 MabMa=b=27 18=232 甲内有 3,但不能有 32 乙内有 3 乙:273=81。 10.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数,这三个自然数的最大公约数是 35,最小公倍数是 70。这 三个数的和可能是多少? 【分析】这三个数只能为 35 的倍数,且70, 只能为 35、3

12、5、70 或 35、70、70, 和为 35+35+70=140 或 35+70+70=175。 拓展篇拓展篇 1.72 共有多少个约数?其中有多少个约数是 3 的倍数? 【分析】72=2332 约数个数为: (3+1)(2+1)=12(个) 3 的倍数有 an31或 an32 有(3+1)2=8(个) 。 a b M甲 乙 2.5400 共有多少个约数?并求出所有约数税种的质因数分解形式。 【分析】5400=233352 约数个数有 P=(3+1)(3+1)(2+1)=48(个) 约数乘积= 48 2433224727248 22 54005400(235 )235 P N。 3.两数乘积为

13、 2800,已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多 1。这两个数分别是多少? 【分析】2800=245271 (2+1)(1+1)=6(个) 4+1=5(个) 这两个数为 24=16 5271=135。 4.计算: (1)(391,357),391,357; (2)(18,24,36),18,24,36。 【分析】 (1) (391、357)=17 391、357=8211 (2) (18、24、36)=6 18、24、3672。 5.1547、1573、1859 这三个数的最大公约数是多涒?最小公倍数是多少? 【分析】 (1547、1573、1859)=13 1547、1573、18

14、59=2433431。 6.张阿姨把 225 个苹果、350 个梨和 150 个桔子平均分给小朋友们,最后剩下 9 个苹果、26 个梨和 6 个桔子 没有分出去。请问:每个小朋友分了多少个苹果? 【分析】苹果:225-9=216(个) 梨:350-26=324(个) 桔:150-6=144(个) (216、324、144)=36 苹果每个小朋友分了:21636=6(个) 。 7.一个数和 16 的最大公约数是 8,最小公倍数是 80。这个数是多少? 【分析】88016=40。 8.两个自然数不成倍数关系,它们的最大公约数是 18,最小公倍数是 216。这两个数分别是多少? 【分析】21618=

15、12 12=112=34 这两个数为 181=18 1812=216 或 183=54 184=72。 9.两个数的最大公约数是 6,最小公倍数是 420,如果这两个数相差 18,那么较小的数是多少? 【分析】4206=70 18=36 70=170=235=514=710 只有 10-7=3 较小数为 76=42。 10.有 4 个不同的正整数,它们的和是 1111。请问:它们的最大公约数最大能是多少? 【分析】1111=11101,11 能表示成 4 个互质的数之和 最大公约数最大可能是 101。 11.甲、 乙两个数的最小公倍数是 90, 乙、 丙两个数的最小公倍数是 105, 甲、 丙

16、两个数的最小公倍数是 126。 请问:甲数是多少? 【分析】甲,乙=90=2325 乙,丙=105=357 甲、丙=126=2327 乙可能是 5或 3或 35 丙可能是 7或 3 甲可能是 2 23,232 32 但只有乙是 35=15 甲:232=18 丙:7。 12.甲、 乙是两个不同的自然数。 它们都只含有质因数 2 和 3, 并且都有 12 个约数。 它们的最大公约数是 12。 请问:甲、乙两数之和是多少? 【分析】甲可表示为 甲=2a3b且(a+b)(b+1)=12 乙可表示为乙=2M3N且(M+1)(N+1)=12 12=223 12=11+1=(2+1)(3+1)=(1+1)(

17、5+1) 甲可能为 2233或 2332 2135或 2531 乙可能为 2232或 2332 235或 2531 但最大公约数为 2231 此两数只能为 2233与 2531 和为 2233+2531=2231(32+23)=204。 超越篇超越篇 1.360 共有多少个奇约数?所有这些奇约数的和是多少? 【分析】360=233251 奇约数有: (2+1)(1+1)=6(个) 奇约数的和是: (30+31+32)(50+51)=78 2.求出所有恰好含有 10 个约数的两位数,并求出每个数的所有约数之和。 【分析】10=9+1 表达式为 a9 10=25=(1+1)(4+1)表达式为 a1

18、b4或 a4b1 2999 2134100 2431=48 约数之和: (20+21+22+23+24)(30+31)=124 2451=80 约数之和: (20+21+22+23+24)(50+51)=186。 3.已知a与b的最大公约数是4,a与c、b与c的最小公倍数都是100, 而且ab。 满足条件的自然数abc、 、 共有多少组? 【分析】设 a=4m,b=4n a、c=100 b、c=100 100=2252 1004=25 25m m 为 1、5 或 25,同理 n 为 1、5 或 25 ab mn 当 m=1 时,n=5 a=4 b=20 c 可能为 52、522、524 当 m

19、=5 时,n=25 a=20 b=100 c 可能为 52、522、524 当 m=n=1 时,a b=4 c 可能为 52、522、524 一共有 3+3+3=9(组) 4.所有 70 的倍数中,共有多少个数恰有 70 个约数? 【分析】设 70 的 N 倍恰有 70 个约数。 70=257 有: (1+1)(1+1)(1+1)=23=8 8 不整除 70 N 内可能有 2、5、7 若有 4 个不同质因数,但 70 只能表示为 257 N 内必含 2、7、5 中几个 70N=2 (a+1)5(b+1)7(c+1) (a+1+1)(b+1+1)(c+1+1)=70 a、b、c 分别是 0,3,

20、5 中一个 N 为 2355,2375 2523,2573 5375,5573 一共 6 组 5.自然数n是1,2,3,10的公倍数,而且它恰有 72 个约数。n的最小值是多少? 【分析】1、2、3、4、10=2520=233257 设 n=233257M 72=22233 当 M 不含 2、3、5、7 时 3+13 不存在 M 必含 2、3、5、7 中的若干个。 n=2 (a+3)3(b+2)5(c+1)7(d+1) (a+3+1)(b+2+1)(c+1+1)(d+1+1) =(a+4)(b+3)(c+2)(d+2)=72 n 最小 d=0 c=0 b=0 a=23-4=2 n=253251

21、71=10080 6.三条圆形跑道,圆心都在拐卖中的旗杆处。里圈跑道长 1 5 千米,中圈跑道长 1 4 千米,外圈跑道长 3 8 千米。 甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步。开始时,三人都在旗杆的正东方向,甲每小 时跑 1 3 2 千米,乙每小时跑 4 千米,丙每小时跑 5 千米。他们同时出发。请问:几小时后,三人第一次同时 回到出发点? 【分析】如图 甲、乙、丙三人要回到出发点,路程都是整圈数 用的时间相同 t甲: 112 3 5235 t乙: 11 4 416 t丙: 33 5 840 2 35 、 1 16 、 3 40 = 213 3516 40 、 、 、 )(

22、=6(h) 7.如图 11-1, 在一个600600的方格表ABCD中, 将AB与线段CD上除端点外的所有格点 1 N, 2 N, 3 N, , 599 N分别相连,得到 599 条线段。请问,在这些线段中: (1)不会与其他格点相交的线段共有多少条? (2)经过格点最多的线段共经过多少个格点(不包括它的端点)? (3)除去端点,还恰好经过 29 个格点的直线有多少条? 丙乙甲 【分析】 8.有些自然数等于自身约数个数的平方, 例如 1 和 9 都具有此性质。 请问: 是否还有其他自然数具有此性质? 如果有,请举例;如果没有,请说明理由。 【分析】设满足条件的数为 N,N=AaBbNn,N 有 m 个约数 N=m2 N 必为完全平方数 m=(a+1)(b+1)(n+1) N= AaBbNn=m2=(a+1)(b+1)(n+1)2 A=a+1 a=2 A=3 B=b+1 b=2 B=3 N=n+1 n=2 N=3 只能有质因数 3 或非质数 除 1 和 9 之外无。

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