1、 小学数学 鸡兔同笼问题 知识梳理： 大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经中记载了一道数学趣题“鸡兔 同笼”问题。 今有雉（zhi）兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？ 这道题的意思是：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。 鸡和兔各有几只？这个问题你能解决吗？ 解决“鸡兔同笼”问题，我们常用下面的两个方法： 方法一：方程解答法方法一：方程解答法 设兔子的只数有 x，那么根据总共的头数，就可以用 x 表示出鸡的只数： （35x）只。 然后根据脚的只数列出方程解答。 解：设有 x 只兔，有（35x）只鸡。 4x2（35x）94 4x702x9
2、4 2x7094 2x24 x12 35x351223（只） 答：兔有 12 只，鸡有 23 只。 方法二：假设法方法二：假设法 可以假设全是兔子或全是鸡，根据总的头数不变，而腿的数量变化，求出兔子和鸡分别 有多少只。 例如： 假设笼子里全部都是鸡，那么就有 35270 只脚，这样就多出 947024 只脚； 一只兔子比一只鸡多 2 只脚，也就是有 24212 只兔； 所以笼子里有 12 只兔，23 只鸡。 规律：规律：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数） ， 兔数（总脚数鸡脚数总头数）（兔脚数鸡脚数） 。 解决鸡兔同笼问题的方法解决鸡兔同笼问题的方法 方法一：方法一：方程解答法方程解答
3、法设兔 （或鸡） 的只数为 x， 然后根据总只数， 用 x 表示出鸡 （或 兔）的只数，列方程解答。 方法指导：一般情况下，为了使方程容易解答，经常设兔子的只数为 x。 方法二： 假设法方法二： 假设法可以假设全是兔子或全是鸡， 根据总的头数不变， 而腿的数量变化， 求出兔子和鸡分别有多少只。 如果假设全部是兔，算式就是： 假设笼子里全部都是兔， 那么就有 354140 只脚， 这样就少了 1409446 只脚； 一只鸡比一只兔子少 2 只脚，也就是有 46223 只鸡； 所以笼子里有 23 只鸡，12 只兔。 拓展：方法三：拓展：方法三： “金鸡独立”法“金鸡独立”法 古人解决“鸡兔同笼”问
4、题常用“金鸡独立”法。 假如让每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来。显然，在地上的总脚 数变成原来的一半，是 94247（只） ； 这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比 头的总数多 1； 这时脚的总数与头的总数之差为 473512，12 就是兔子的只数。 算法如下图所示： 例题例题 1 共有鸡兔 36 只，脚 100 条，鸡、兔各有多少只？ 解答过程：解答过程：方法一： 设有 x 只兔，有（36x）只鸡。 4x2（36x）100 4x722x100 2x72100 2x28 x14 36x361422（只） 答：兔有 14 只，鸡有 22 只。 方
5、法二：假设全是兔子， 则鸡有：（364100）（42）44222（只） 则兔有：362214（只） 答：鸡有 22 只，兔有 14 只。 答案：答案：熟练掌握解决鸡兔同笼问题的方法。 例题例题 2 鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 86 只。问：鸡、 兔各有几只？ 解答过程：解答过程：假设兔子有 x 只，兔子的脚有 4x 只，那么鸡的脚有（1004x）只，所以鸡 的只数是（1004x）2 只，然后兔子和鸡的只数互换，兔子有（1004x）2 只，鸡有 x 只，根据脚数列出方程即可。 答案：答案：设兔有 x 只，鸡有（1004x）2 只，由题意得： 2x（1004x）24
6、86 2x（1004x）286 2x2008x86 6x20086 x1146 x19 则鸡有：（100419）2=12（只）。 答：鸡有 12 只，兔有 19 只。 例题例题 3 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、 小和尚各有多少人? 解答过程：解答过程：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分 别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了“鸡兔同笼”问题，可以用假设法来解。 答案：答案：假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300140160(个)，现 在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不
7、变，而馍就要减少 312(个)，因为 1602 80，故小和尚有 80 人，大和尚有 1008020(人)。 技巧点拨：技巧点拨：此题属于鸡兔同笼问题，采用假设法解答比较简单。同样，也可以假设 100 人都是小和尚。 同步练习 （答题时间：（答题时间：15 分钟）分钟） 关卡关卡一一 神笔填空神笔填空 1. 共有鸡兔 49 只，脚 100 只，则鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 2. 鸡兔同笼，有 30 个头，88 条腿，笼中鸡有（ ）只。 关卡关卡二二 计算我最棒计算我最棒 1. 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只? 2. 某次数学考试考五道题，
8、 全班 52 人参加， 共做对 181 道题， 已知每人至少做对 1 道题， 做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人 数有多少？ 3. 彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用 钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套? 4. 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只? 5. 现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小 瓶共多装 20 千克。问：大、小油瓶各有多少个? 6. 一批钢材，用小卡车装载要 45
9、 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆 小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨? 7. 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 024 元，但如果发生 损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 126 元，结果搬运站共得运费 1155 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶? 答案答案 关卡关卡一一 神笔填空神笔填空 1. 48，1 2. 16 关卡关卡二二 计算我最棒计算我最棒 1. 解：兔有（44216）（42）6（只） 鸡有 16610（只） 答：有 6 只兔，10 只鸡。 解析：假设 16 只都是鸡，那么就应该有 21632（只）脚，但实际上有
10、 44 只脚，比 假设的情况多了 443212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以 同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2 只。因此只 要算出 12 里面有几个 2，就可以求出兔的只数。 2. 解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有：5276=39（人）。 他们共做对：1811756144（道），由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们 就可以把他们看作是对（2+3）2=2.5 道题的人。 因此：兔脚数4，鸡脚数2.5，总脚数144，总头数39 做对 4 道题的有：（1442.539）（42.5）31（人） 答：做对 4 道题的有 31
11、 人。 解析：此题属于鸡兔同笼问题，采用假设法解答比较简单。 3. 解：假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304(元)，比实际多 304280 24(元)，现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19118(元)，所以买普 通文化用品 2483(套)，买彩色文化用品 16313(套)。 解析：我们设想有一种“怪鸡”有 1 个头 11 只脚，一种“怪兔”有 1 个头 19 只脚，它 们共有 16 个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。 4. 解：有兔（210020）（24）30（只）， 有鸡 1003070（只）。 答：有鸡 70 只，兔 30
12、 只。 解析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚 比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20180(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多 的脚数中就会减少 426(只)，而 180630，因此有兔子 30 只，鸡 1003070（只）。 5. 解：小瓶有(45020)(4+2)30(个) 大瓶有 503020(个) 答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。 解析：本题与题 4 非常类似，仿照题 4 的解法即可。 6. 解：436(4536)45720
13、(吨) 答：这批钢材有 720 吨。 解析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设 法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以 要剩下 436144(吨)。根据条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45369(辆)小卡车。这 样每辆小卡车能装 144916(吨)。由此可求出这批钢材有多少吨。 7. 解：(0.24500115.5)(0.241.26)3(只) 答：共打破 3 只花瓶。 解析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24500 120(元)。实际上只得到 115.5 元，少得 120115.54.5(元)。搬运站每打破一只花瓶要损失 0.241.261.5(元)。因此共打破花瓶 4.51.53(只)。
