专题01 因动点产生的面积问题-突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(教师版)

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资源描述

1、 1 【类型综述】 面积是平面几何中一个重要的概念,关联着平面图形中的重要元素边与角,由动点而生成的面积问题, 是抛物线与直线形结合的觉形式,常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算,解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型,此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识:图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的 题型和解题策略有两类:一是先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根二是先假设关 系存在,再列方程

2、,后根据方程的解验证假设是否正确 【方法揭秘】 解决动点产生的面积问题,常用到的知识和方法,如下: 如图 1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式 如图 2,图 3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补” 的方法 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有: 如图 4,同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 如图 5,同底三角形的面积比等于高的比 如图 6,同高三角形的面积比等于底的比 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图,抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A(

3、1, 0),B(4, 0)两点,与 y 轴交于点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q, 交抛物线于另一点 E,直线 BM 交 y 轴于点 F (1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标; (2)当 SMFQSMEB13 时,求点 M 的坐标 思路点拨思路点拨 1设交点式求抛物线的解析式比较简便 2把MFQ 和MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME,分别求两个三角形高的比,底边的比(用含 m 的式 子表示) ,于是得到关于 m 的方程 3方程有两个解,慎重取舍解压轴题时,时常有这种“一石二鸟”的现象,列

4、一个方程,得到两个符 合条件的解 满分解答满分解答 (1)因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0),B(4, 0)两点,设 ya(x1)(x4) 代入点 C(0, 2),得 24a解得 1 2 a 所以 22 1131325 (1)(4)2() 222228 yxxxxx 顶点坐标为 3 25 () 28 , 3 考点伸展考点伸展 第(2)题 SMFQSMEB13,何需点 M 一定要在抛物线上? 从上面的解题过程可以看到,MFQ 与MEB 的高的比= 4 FQm MNm 与 n 无关,两条底边的比 = 32 MQm MEm 也与 n 无关 如图 3,因此只要点 E 与点 M 关于直线 x 3

5、2 对称,点 M 在直线的左侧,且点 M 不在坐标轴上,就存 在 SMFQSMEB13,点 M 的横坐标为 1(如图 3)或12(如图 4) 图 3 图 4 4 例 2 如图, 已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点 , 动点 从原点 开始沿 方向以每秒 个单位长度移动,动点 从点 开始沿方向以每秒 个单位长度移动,动点 、 同时出发,当 动点 到达原点 时,点 、 停止运动 直接写出抛物线的解析式:_; 求的面积 与 点运动时间 的函数解析式;当 为何值时,的面积最大?最大面积是多少? 当的面积最大时,在抛物线上是否存在点 (点 除外) ,使的面积等于的最大面积? 若存在,求出 点的坐标;若不存

6、在,请说明理由 思路点拨思路点拨 (1)将点 A(0,8) 、B(8,0)代入抛物线 y=- x2+bx+c 即可求出抛物线的解析式为:y=- x2+3x+8; (2)根据题意得:当 D点运动 t秒时,BD=t,OC=t,然后由点 A(0,8) 、B(8,0) ,可得 OA=8,OB=8, 从而可得 OD=8-t,然后令 y=0,求出点 E 的坐标为(-2,0) ,进而可得 OE=2,DE=2+8-t=10-t,然后利用 三角形的面积公式即可求CED 的面积 S 与 D点运动时间 t的函数解析式为:S=- t2+5t,然后转化为顶点式 即可求出最值为:S最大=; 来源: (3)由(2)知:当

7、t=5 时,S最大=,进而可知:当 t=5 时,OC=5,OD=3,进而可得 CD= ,从而确 定 C(0,5) ,D(3,0)然后根据待定系数法求出直线 CD 的解析式为:y=- x+5,然后过 E点作 EFCD, 交抛物线与点 P,然后求出直线 EF的解析式,与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点 P 的坐标, 然后利用面积法求出点 E到 CD 的距离为,然后过点 D 作 DNCD,垂足为 N,且使 DN=,然 后求出 N的坐标,然后过点 N 作 NHCD,与抛物线交与点 P,然后求出直线 NH的解析式,与抛物线联 立方程组求解即可得到其中的另两个点 P 的坐标 满分解答满分解答 5

8、例 3 如图,在平面直角坐标系中,直线 1 1 2 yx与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点(不与点 A、B 重合),过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C,作 PDAB 于点 D (1)求 a、b 及 sinACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值; 连结 PB,线段 PC 把PDB 分成两个三角形,是否存在适合的 m 的值,使这两个三角形的面积比为 910?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由

9、思路点拨思路点拨 1第(1)题由于 CP/y 轴,把ACP 转化为它的同位角 2第(2)题中,PDPCsinACP,第(1)题已经做好了铺垫 3PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 4两个三角形的面积比为 910,要分两种情况讨论 满分解答满分解答 (1)设直线 1 1 2 yx与 y 轴交于点 E,那么 A(2,0),B(4,3),E(0,1) 在 RtAEO 中,OA2,OE1,所以5AE 所以 2 5 sin 5 AEO 因为 PC/EO,所以ACPAEO因此 2 5 sin 5 ACP 将 A(2,0)、B(4,3)分别代入 yax2b

10、x3,得 4230, 16433. ab ab 解得 1 2 a , 1 2 b 6 考点伸展考点伸展 第(3)题的思路是:PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 而 2 52 511 coscos(4)(2)(4) 5525 DNPDPDNPDACPmmmm , BM4m 当 SPCDSPCB910 时, 19 (2)(4)(4) 510 mmm解得 5 2 m 当 SPCDSPCB109 时, 110 (2)(4)(4) 59 mmm解得 32 9 m 例 4 如图,已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4,0)、B( 4 3 2, 3 )

11、,M 是OA 的中点 (1)求此二次函数的解析式; (2)设 P 是抛物线上的一点,过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q,要使四边形 PQAM 是菱形, 求点P 的坐标; (3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得曲线 OBA(B为 B 关于 x 轴的对称点) ,在原抛 物线 x 轴的上方部分取一点C,连结CM,CM 与翻折后的曲线OBA 交于点D,若CDA 的面积是MDA 面积 的2 倍,这样的点C 是否存在?若存在求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由 7 思路点拨思路点拨 1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便 2先确定四边形 PQAM 是平行四边形,再验证它是菱

12、形 3把CDA 与MDA 的面积比,转化为MCA 与MDA 的面积比,进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的 比 满分解答满分解答 (3)如图 3,作 CEx 轴于 E,作 DFx 轴于 F 我们把面积进行两次转换: 如果CDA 的面积是MDA 面积的2 倍,那么MCA 的面积是MDA 面积的3 倍 而MCA 与MDA 是同底三角形,所以高的比CEDF31,即 yCyD31 因此 MEMF31设 MFm,那么 ME3m 原抛物线的解析式为 3 (4) 3 yx x,所以翻折后的抛物线的解析式为 3 (4) 3 yx x 所以 D 3 (2,(2)(24) 3 mmm,C 3 (23 ,(23

13、)(234) 3 mmm 根据yCyD31,列方程 33 (23 )(234)3(2)(24) 33 mmmm 整理,得3m24解得 2 3 3 m 所以2322 3m 8 所以点 C 的坐标为 8 3 (22 3,) 3 (如图3) ,或 8 3 (22 3,) 3 (如图4) 图 2 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第(1)题可以设抛物线的顶点式: 由点O(0,0), A(4,0),B( 4 3 2, 3 )的坐标,可知点B 是抛物线的顶点 可设 2 4 3 (2) 3 ya x,代入点O(0,0),得 3 3 a 例例 5 如图,直线 l 经过点 A(1,0),且与双曲线 m y x

14、(x0)交于点 B(2,1)过点( ,1)P p p(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 (1)求 m 的值及直线 l 的解析式; (2)若点 P 在直线 y2 上,求证:PMBPNA; (3)是否存在实数 p,使得 SAMN4SAMP?若存在,请求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,请说 明理由 思路点拨思路点拨 1第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中 2第(3)题把 SAMN4SAMP转化为 MN4MP,按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论 满分解答满分解答 9 由 P(3,2)、N(1,2)、A(1,0)

15、三点的位置关系,可知PNA 为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图 2 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 在本题情景下,AMN 能否成为直角三角形? 情形一,如图 5,AMN90 ,此时点 M 的坐标为(1,2) ,点 P 的坐标为(3,2) 情形二,如图 6,MAN90 ,此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90 的情况 10 图 5 图 6 例例 6 如图 1,在ABC 中,C90 ,AC3,BC4,CD 是斜边 AB 上的高,点 E 在斜边 AB 上, 过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F,设 AEx,AEF 的面积为 y (1)求线段 AD 的长; (2)若

16、EFAB,当点 E 在斜边 AB 上移动时, 求 y 与 x 的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围) ; 当 x 取何值时,y 有最大值?并求出最大值 (3)若点 F 在直角边 AC 上(点 F 与 A、C 不重合) ,点 E 在斜边 AB 上移动,试问,是否存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线 EF,求出 x 的值;若不存在直线 EF,请说明理由 图 1 备用图 思路点拨思路点拨 1第(1)题求得的 AD 的长,就是第(2)题分类讨论 x 的临界点 2第(2)题要按照点 F 的位置分两种情况讨论 3第(3)题的一般策略是:先假定平分周长,再列关于面积的方程,根据方程

17、的解的情况作出判断 满分解答满分解答 11 图 2 图 3 图 4 (3)ABC 的周长等于 12,面积等于 6 先假设 EF 平分ABC 的周长,那么 AEx,AF6x,x 的变化范围为 3x5因此 1142 sin(6)(6) 2255 AEF SAE AFAxxx x 解方程 2 (6)3 5 x x,得 1 36 2 x 来源: 因为 1 36 2 x 在 3x5 范围内(如图 4) ,因此存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分 考点伸展考点伸展 如果把第 (3) 题的条件“点F 在直角边 AC 上”改为“点F 在直角边 BC 上”, 那么就不存在直线 EF 将ABC 的周长和

18、面积同时平分 先假设 EF 平分ABC 的周长,那么 AEx,BE5x,BFx1 因此 2 1133 sin(5)(1)(45) 22510 BEF SBE BFBx xxx 12 解方程 2 3 (45)3 10 xx整理,得 2 450 xx 此方程无实数根 【变式训练】 1如图,点 A 是直线 y=x 上的动点,点 B 是 x 轴上的动点,若 AB=2,则AOB 面积的最大值为( ) A2 B+1 C-1 D2 【答案】B 【解析】 解:如图所示, 连接 OD,则 ODOC+CD, 当 O,C,D 在同一直线上时,OD的最大值为 OC+CD=+1, 来源:ZXXK 此时 ODAB, 13

19、 2如图,已知,以为圆心,长为半径作 , 是上一个动点,直线交 轴于 点, 则面积的最大值是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 当直线 AN 与B 相切时,AOM 面积的最大 连接 AB、BN, 在 RtAOB 和 RtANB 中 RtAOBRtANB, AN=AO=2, 设 BM=x, 14 3如图,在中, ,动点 从点 开始沿向点 以的速度移动, 动点 从点 开始沿向点 以的速度移动.若 , 两点分别从 , 两点同时出发, 点到达 点运动停 止,则的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 15 点睛:此题主要考查了动点问题的函数图象,正

20、确得出函数关系式是解题关键 4如图,在中, ,动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC 向点 C 以 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以的速度移动,设的面积为运动时间 为,则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是 A B C D 【答案】B 【解析】 当时,图象为开口向上的抛物线; 当时,如下图所示, 16 ,图象为开口向下的抛物线; 故选:B 5如图,在正方形ABCD中,3ABcm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时 动点N自D点出发沿折线DCCB以每秒2cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设AMN的面 积为 2 y cm,运动时间为x(秒

21、) ,则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( ) A B C. D 【答案】A 【解析】 分两部分: 当 0 x1.5 时,如图 1,此时 N 在 DC 上,SAMN=y= 1 2 AMAD= 1 2 x 3= 3 2 x, 当 1.5x3 时,如图 2,此时 N 在 BC 上,DC+CN=2x,BN=62x,SAMN=y= 1 2 AMBN= 1 2 x(6 2x)=x2+3x,故选 A 考点:动点问题的函数图象 6如图,在矩形中,点 是边上的动点(点 不与点 ,点 重合) ,过点 作直 线,交边于 点,再把沿着动直线对折,点 的对应点是 点,设的长度为 ,与 17 矩形重叠部分的

22、面积为 (1)求的度数; (2)当 取何值时,点 落在矩形的边上? (3)求 与 之间的函数关系式; 当 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的? 【答案】解: (1) (2) (3) 综上所述,当时,与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的 【解析】 解: (1)如图,四边形是矩形, 又, , , , (2)如图 1, 18 (3)当点 在矩形的内部或边上时, , ,当时, 当 在矩形的外部时(如图 2) , 在中, , 又, 19 矩形面积,当时,函数随自变量的增大而增大,所以 的最大值是 ,而矩形面积的的值, 而,所以,当时, 的值不可能是矩形面积的; 当时,根据题意,得: ,解这个方程,得,

23、因为, 所以不合题意,舍去 所以 综上所述,当时,与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的 7已知直角梯形 OABC 在如图所示的平面直角坐标系中,ABOC,AB=10,OC=22,BC=15,动点 M 从 A 点出发,以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动,同时动点 N 从 C 点出发,以每秒 2 个单位长度 的速度沿 CO 向 O 点运动。当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动。 (1)求 B 点坐标; (2)设运动时间为 t 秒。 当 t 为何值时,四边形 OAMN 的面积是梯形 OABC 面积的一半; 当 t 为何值时,四边形 OAMN 的面积最小,并求出最小面积。 若另有

24、一动点 P,在点 M、N 运动的同时,也从点 A 出发沿 AO 运动。在的条件下,PMPN 的长度 也刚好最小,求动点 P 的速度。 20 【答案】解(1)作 BDOC 于 D,则四边形 OABD 是矩形, 设四边形 OAMN 的面积为 S,则 0t10,且 s 随 t 的增大面减小 当 t=10 时,s 最小,最小面积为 54。 如备用图,取 N 点关于 y 轴的对称点 N/,连结 MN/交 AO 于点 P,此时PMPN=PMPN/=MN 长度最 小。 当 t=10 时,AM=t=10=AB,ON=222t=2 M(10,9) ,N(2,0)N/(2,0) 设直线 MN/的函数关系式为 ,则

25、 21 解得 P(0,) AP=OAOP= 动点 P 的速度为个单位长度/ 秒 【解析】 8如图,在中, ,动点 从点 开始沿着边向点 以的速 度移动(不与点 重合) ,动点 从点 开始沿着边向点 以的速度移动(不与点 重合) 若 、 两 点同时移动; 当移动几秒时,的面积为 设四边形的面积为,当移动几秒时,四边形的面积为? 【答案】 (1)32cm2(2)当移动 秒时,四边形的面积为 【解析】 【分析】 (1)找出运动时间为 t 秒时 PB、BQ 的长度,根据三角形的面积公式结合BPQ 的面积为 32cm2,即可得 出关于 t 的一元二次方程,解之即可得出结论; (2)用ABC 的面积减去B

26、PQ 的面积即可得出 S,令其等于 108 即可得出关于 t 的一元二次方程,解之 即可得出结论 【详解】 22 9如图,已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A(0,8) 、B(8,0)和点 E,动点 C从原点 O 开始沿 OA方向以每秒 1个单位长度移动, 动点 D从点 B开始沿 BO方向以每秒 1 个单位长度移动, 动点 C、 D 同时出发,当动点 D到达原点 O 时,点 C、D 停止运动 (1)直接写出抛物线的解析式: ; (2)求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式;当 t 为何值时,CED 的面积最大?最大面积是 多少? (3)当CED的面积最大

27、时,在抛物线上是否存在点 P(点 E除外) ,使PCD的面积等于CED 的最大面 积?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+3x+8; (2)当 t=5 时,S 最大=; (3)P(, )或 P(8,0)或 P ( ,) 【解析】 (1)将点 A(0,8) 、B(8,0)代入抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 得: 8 1 6480 2 c bc ,解得:b=3,c=8, 23 抛物线的解析式为:,故答案为:; (3)由(2)知:当 t=5 时,S最大=,当 t=5 时,OC=5,OD=3,C(0,5) ,D(3,0) ,由勾股定理 得:CD=,设直线

28、 CD 的解析式为: ,将 C(0,5) ,D(3,0) ,代入上式得:k=,b=5, 直线 CD 的解析式为:,过 E 点作 EFCD,交抛物线与点 P,如图 1, 24 综上所述:当CED 的面积最大时,在抛物线上存在点 P(点 E 除外) ,使PCD 的面积等于CED 的最大 面积,点 P 的坐标为:P(,)或 P(8,0)或 P( ,) 考点:1二次函数综合题;2二次函数的最值;3动点型;4存在型;5最值问题;6分类讨论;7压 轴题 10如图,已知抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 与坐标轴分别交于点点 A(0,8) 、B(8,0)和点 E,动点 C 从原 点 O 开始沿 OA 方向

29、以每秒 1 个单位长度移动,动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动, 动点 C、D 同时出发,当动点 D 到达原点 O 时,点 C、D 停止运动 25 (1)求该抛物线的解析式及点 E 的坐标; (2) 若 D 点运动的时间为 t, CED 的面积为 S, 求 S 关于 t 的函数关系式, 并求出CED 的面积的最大值 【答案】 (1)y= 1 2 x2+3x+8,E(2,0) ; (2)当 t=5 时,S最大= 25 2 【解析】 试题分析: (1)将点 A(0,8) 、B(8,0)代入抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 即可求出抛物线的解析式为:y= 1 2 x

30、2+3x+8;再令 y=0,得: 1 2 x2+3x+8=0,解方程可得点 E 的坐标; (2)根据题意得:当 D 点运动 t 秒时,BD=t,OC=t,然后由点 A(0,8) 、B(8,0) ,可得 OA=8,OB=8, 从而可得 OD=8t,然后令 y=0,点 E 的坐标为(2,0) ,进而可得 OE=2,DE=2+8t=10t,然后利用 三角形的面积公式即可求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式为:S= 1 2 t2+5t,然后转化为顶 点式即可求出最值为:S最大= 25 2 26 (2)根据题意得:当 D 点运动 t 秒时,BD=t,OC=t, OD=8t, DE=

31、OE+OD=10t, S= 1 2 DEOC= 1 2 (10t)t= 1 2 t2+5t, 即 S= 1 2 t2+5t= 1 2 (t5)2+ 25 2 , 当 t=5 时,S最大= 25 2 考点:二次函数综合题 11 如图 1, 抛物线 2 yxbxc与x轴交于AB、两点, 与y轴交于点0 2C, 连结 AC, 若tan2.OAC (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线对称轴上有一动点 P,当90APC时,求出点P的坐标; (3)如图 2 所示,连结BC,M是线段BC上(不与B、C重 合)的一个动点.过点M作直线ll ,交 抛物线于点N,连结CN、BN,设点M的横坐标为当 t 为何值时

32、,BCN的面积最大?最大面积为 多少? 【答案】(1) y=x2-3x+2; ; (2) ( 3 2 , 1 2 )或( 3 2 , 3 2 ) ; (3)t=1 时,SBCN的最大值为 1. 【解析】 试题分析: (1)已知了 C 点的坐标,即可得到 OC 的长,根据OAC 的正切值即可求出 OA 的长,由此可 得到 A 点的坐标,将 A、C 的坐标代入抛物线中,即可确定该二次函数的解析式; (2)根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程,由此可得到点 P 的横坐标;若APC=90 ,则PAE 和 CPD 是同角的余角,因此两角相等,则它们的正切值也相等,由此可求出线段 PE 的长,即可得到点

33、 P 点的坐标; (用相似三角形求解亦可) 27 (3)根据 B、C 的坐标易求得直线 BC 的解析式,已知了点 M 的横坐标为 t,根据直线 BC 和抛物线的解析 式,即可用 t 表示出 M、N 的纵坐标,由此可求得 MN 的长,以 MN 为底,B 点横坐标的绝对值为高,即 可求出BNC 的面积(或者理解为BNC 的面积是CMN 和MNB 的面积和) ,由此可得到关于 S(BNC 的面积) 、t 的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得 S 的最大值及对应的 t 的值 抛物线对应的二次函数的解析式为 y=x2-3x+2; (2)存在. 过点 C 作对称轴 l 的垂线,垂足为 D,如图所示,

34、(3)如图所示,易得直线 BC 的解析式为:y=-x+2, 28 点 M 是直线 l和线段 BC 的交点, M 点的坐标为(t,-t+2) (0t2) , MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t, SBCN=SMNC+SMNB= 1 2 MN t+ 1 2 MN (2-t) , = 1 2 MN (t+2-t)=MN=-t2+2t(0t2) , SBCN=-t2+2t=-(t-1)2+1, 当 t=1 时,SBCN的最大值为 1 考点:二次函数综合题 12在ABC 中,ACB=90 ,AC=BC,D 是 AB 的中点,点 E 是边 AC 上的一动点,点 F 是边 BC 上 的一动点

35、(1)若 AE=CF,试证明 DE=DF; (2)在点 E、点 F 的运动过程中,若 DEDF,试判断 DE 与 DF 是否一定相等? 并加以说明 (3)在(2)的条件下,若 AC=2,四边形 ECFD 的面积是一个定值吗?若不是, 请说明理由,若是,请 直接写出它的面积 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析;(3)四边形 ECFD 的面积是一定值 1 【解析】 29 (2)DE 与 DF 一定相等 证明:ABC 中,ACB=90 ,AC=BC,D 是 AB 的中点, A=DCF=45 ,CD= 1 2 AB=AD,CDAB, ADC=EDF=90 , ADE=CDF, 在DAE 和 D

36、CF 中, , DAEDCF(ASA) , DE=DF; 30 13如图,在ABC中,已知ACAB , 0 90BAC ,cmBC6,直线BCCM ,动点 D 从点 C 开始以每秒 2cm 的速度运动到 B 点,动点也同时从点 C 开始沿射线 CM 方向以每秒 1cm 的速度运动 (1)问运动多少秒时,ACEABD,并说明理由 (2)设运动时间为x秒,请用含x的代数式来表示ABD的面积 (3)运动多少秒时,ABD与ACE的面积比为 3:1 【答案】 (1)2; (2)9-3x; (3)12 【解析】 A 31 (2)过点 A 作 AFBC 于点 F, ACAB , 0 90BAC ,cmBC6

37、, AF=3cm 由(1)得,BD=6-2x, 11 (62 )393 . 22 ABD SBD AFxx (3)过点 A 作 AGCM 于点 G, ,可得四边形 AFCG 为矩形, AF=AG, 11 , 22 ABDACE SBD AF SCE AG ,ABD与ACE的面积比为 3:1, BD:CE=3:1, 由(1)得,CE=x,BD=6-2x, (6-2x) :x=3:1, 解得 x=12 运动 12 秒时,ABD与ACE的面积比为 3:1 考点:全等三角形的判定及性质;方程思想的运用 14在平面直角坐标系中,平行四边形如 图放置,点 、 的坐标分别是、,将此平行四 边形绕点 顺时针旋

38、转,得到平行四边形 32 如抛物线经过点 、 、,求此抛物线的解析式; 在情况下,点 是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点 在何处时,的面积最大?最大面 积是多少?并求出此时 的坐标; 在的情况下,若 为抛物线上一动点, 为 轴上的一动点,点 坐标为,当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时,求点 的坐标 【答案】(1) 抛物线的解析式为:;(2) 当时,的面积最大,最大值, 的坐标为:;(3) 点 的坐标为:, 【解析】 解:平行四边形绕点 顺时针旋转,得到平行四边形,且点 的坐标是, 点的坐标为:, 点 、 的坐标分别是、,抛物线经过点 、 、, 连接,设直线的解析式为:, 33

39、, 解得:, 直线的解析式为:, 设点 的坐标为:, 则, 当时,的面积最大,最大值, 的坐标为:; 设点 的坐标为,当 , , , 构成平行四边形时, 平行四边形中,点 、 的坐标分别是、, 点 的坐标为, 点 坐标为, 为抛物线上一动点, 为 轴上的一动点, 34 15如图,直线 y= 1 2 x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点 (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是第一象限抛物线上的一点,连接 PA、PB、PO, 若POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍求点 P 的坐标; 当四边形 AOBP 的面积最大时,求点 P

40、的坐标; (3)点 M 为直线 AB 上的动点,点 N 为抛物线上的动点,当以点 O、B、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形时,请直接写出点 M 的坐标 【答案】 (1)抛物线解析式为 2 3 1 2 yxx ; (2)P( 3 2 ,1) ,P(1,0.5) ; (3)满足条件的点 M 的坐标(1+ 2, 1 2 (1 2) )或(12, 1 2 (1+ 2) )或(1,0.5)或 M 35 (1- 2) , 1 2 (3+ 2) )或 M(1+2) , 1 2 (3 2) ) ; 【解析】 (2)由(1)知,A(2,0) ,B(0,1) ,OA=2,OB=1, 由(1)知,抛物线解析式为

41、 2 3 1 2 yxx 点 P 是第一象限抛物线上的一点, 设 P(a,a2+ 3 2 a+1) , ( (a0,a2+ 3 2 a+10) , SPOA 1 2 =OA Py= 1 2 2 (a2+ 3 2 a+1)=a2+ 3 2 a+1 SPOB= 1 2 OB Px= 1 2 1 a= 1 2 a POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍 a2 3 2 +a+1= 4 3 1 2 a, a = 3 2 或 a= 2 3 (舍) P( 3 2 ,1) ; 36 (3)即:满足条件的点 M 的坐标(1+ 2, 1 2 (1 2) )或(12 , 1 2 (1+ 2) )或(1,0.5)

42、 或 M(1- 2) , 1 2 (3+ 2) )或 M(1+2) , 1 2 (3 2) ; 点睛:本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法,三角形的面积,平行四边形的性质,解本题的 关键是求抛物线解析式.解答(3)时,注意分类讨论. 16 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A (1,0) 、B(0,3)及 C(3,0)点,动点 D 从原点 O 开始沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度移动,动点 E 从点 C 开始沿 CO 方向以每秒 1 个长度单位移动,动点 D、E 同 时出发,当动点 E 到达原点 O 时,点 D、E 停止运动 (1)求抛物线的解析式及顶点 P 的坐标;

43、(2)若 F(1,0) ,求DEF 的面积 S 与 E 点运动时间 t 的函数解析式;当 t 为何值时,DEF 的面积最 大?最大面积是多少? (3)当DEF 的面积最大时,抛物线的对称轴上是否存在一点 N,使EBN 是直角三角形?若存在,求出 N 点的坐标,若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y=x24x+3, (2,1) ; (2)当 t=2 时,S 最大=2; (3)N 点的坐标(2,2) , (2,1) , (2,11 3 ) , 37 (2, 1 3 ) 【解析】 试题分析: (1)根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标; (2)根据三角形的面积公式,可得函数解析

44、式,根据二次函数的性质,可得答案; (3)根据勾股定理的逆定理,可得关于 a 的方程,根据解方程,可得 N 点坐标 (2)如图 1 由题意,得 CE=t,OE=3t,FE=4t,OD=t S= 1 2 FEOD= 1 2 (4t)t= 1 2 t2+2t= 1 2 (t2)2+2, 当 t=2 时,S最大=2; 38 考点:二次函数综合题 17如图,抛物线与 轴交于点 和点,与 轴交于点 ,其对称轴 为 求抛物线的解析式并写出其顶点坐标; 若动点 在第二象限内的抛物线上,动点 在对称轴 上 当,且时,求此时点 的坐标; 当四边形的面积最大时,求四边形面积的最大值及此时点 的坐标 【 答 案 】

45、 , 顶 点 坐 标 为; 点; 当时 , , 【解析】 来源:Z&xx&k.Com 39 令,解得或, 点, 作轴于点 , 点 在上, 设点 ,且, , , 即, 解得(舍去)或, 点; 设,则, 40 , 当时,此时, 所以 18如图,直线与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,抛物线 经过 、 两点 求抛物线的解析式; 如图,点 是直线上方抛物线上的一动点,当面积最大时,请求出点 的坐标和面积的最 大值? 在的结论下,过点 作 轴的平行线交直线于点 ,连接,点 是抛物线对称轴上的动点,在抛物 线上是否存在点 ,使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 的坐标; 如果

46、不存在,请说明理由 【答案】 (1); (2)当时,即点 的坐标是时,的面积最大,最大面积是 ; (3)点 的坐标是、 41 (2)如图 1,过点 E作 y轴的平行线 EF交直线 BC于点 M,EF交 x轴于点 F 点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点, 设点 E的坐标是 (x, x2+ x+3) , 则点 M的坐标是 (x, x+3) , EM= x2+ x+3( x+3)= x2+ x,SBEC=SBEM+SMEC = ( x2+ x) 4= x2+3x= (x2)2+3 当 x=2 时,即点 E 的坐标是(2,3)时,BEC的面积最大,最大面积是 3 (3)在抛物线上存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形 如图 2,由(2) ,可得点 M的横坐标是 2 42 解得:或 x0,点 P 的坐标是(3,) 如图 3,由(2) ,可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上,点 M的坐标是(2, ) 又点 A 的坐标是(2,0) ,AM=, AM 所在的直线的斜率是:; 43 如图 4,由(2) ,可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上,点

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