1、专题 01 函数的图象与性质及其应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借 助导数这一工具进行研究； 2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点函数零点问题常常涉及 零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过 化归与转化灵活转化问题； 3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数 内容的难
2、点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函 数问题转化为具体函数问题； 4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握 与刻画是解决函数综合题目的必然要求； 5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数(范围)问题.函数的图象与不等式，往 往涉及数形结合思想、转化与化归思想； 6.函数中的新定义问题. 【压轴压轴典例】典例】 例 1(2021 安徽淮北市 高三)设 22 543 ,1 2 23,1 1 xaaxa x f x xx x ，若 f x的最小值为 0f， 则a的值为( )
3、 A0 B1 或 4 C1 D4 【答案】C 【详解】当1x 时， 211 232154159 111 f xxxx xxx ，当且仅当 1 1 1 x x ，即2x时等号成立.故1x时， min ( )(0)3f xfa，由二次函数性质可知对称轴 2 54 0 2 aa x ，且39a，解得 1a 或4a(舍去)， 例 2(2021 江苏泰州市 高三期末)已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x满足( )(6)f xf x ，且当03x时， 2 2 log(1),01 ( ) 2(2) ,13 axx f x xx ，其中 a为常数，则(2019)(2020)(2021)fff的值为( )
4、A2 B2 C 1 2 D 1 2 【答案】B 【详解】由题意，函数 f x满足( )(6)f xf x，所以函数 f x的周期为6T ，又由当03x时， 2 2 log(1),01 ( ) 2(2) ,13 axx f x xx ，因为函数 f x奇函数，所以 2 0log10fa ，所以0a， 则 2 1(1)log(1 1)2ff ， 2 2(2)2 (22)0ff ，令3x ，可得 (3)(36)( 3)(3)ffff ，可得(3)0f，所以 (2019)(2020)(2021)(336 63)(336 72)(337 6 1)ffffff 3( 2)( 1)0022fff . 例 3
5、(2020 济南市历城第二中学高三期中)设函数 2 2 ,2f xmin xxx 其中, ,min x y z表示 , ,x y z中的最小者.下列说法错误的是( ) A函数 f x为偶函数 B当 1,x时，有 2f xf x C当xR时， ffxfx D当4,4x 时， 2fxfx 【答案】D 【详解】画出 f x的图象如图所示： 对 A，由图象可知： f x的图象关于y轴对称，故 f x为偶函数，故 A 正确；对 B，当12x时， 120 x ， 222f xfxxf x；当23x时，02 1x ， 22f xxf x； 当34x时，122x， 22242f xxxxf x； 当4x 时，
6、22x， 此时有 2f xf x， 故B成立； 对C， 从图象上看， 当0,x时， 有 f xx 成立， 令 tf x， 则0t ， 故 f f xf x ， 故 C正确； 对 D， 取 3 2 x ， 则 111 224 ff ， 31 22 f ， 2fxfx，故 D 不正确 例 4.(2020天津高考T9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-(kR)恰有 4 个零点,则k 的取值范围是 ( ) A.(-,- )(2,+) B.(-,- )(0,2) C.(-,0)(0,2) D.(-,0)(2,+) 【解题指南】由 g(0)=0,结合已知,将问题转化为 y=|kx-2|与 h(x
7、)=(x0)有 3 个不同的交点,分 k=0,k0 三种情况,数形结合讨论即可得到答案. 【解析】选 D.注意到 g(0)=0,所以要使 g(x)恰有 4 个零点,只需方程|kx-2|=(x0)恰有 3 个实根即可, 令 h(x)=,即 y=|kx-2|与 h(x)=(x0)的图象有 3 个不同的交点.因为 h(x)=当 k=0 时, 此时 y=2,如图 1,y=2 与 h(x)=有 1 个交点,不满足题意; 当 k0 时,如图 3,当 y=kx-2 与 y=x2 相切时,联立方程得 x2-kx+2=0, 令 =0 得 k2-8=0,解得 k=2(负值舍去),所以 k2. 综上,k 的取值范围
8、为(-,0)(2,+). 例 5. 【2018 年理新课标 I 卷】 已知函数 若 g(x)存在 2个零点， 则 a的取值范围是 A. 1，0) B. 0，+) C. 1，+) D. 1，+) 【答案】C 【解析】 分析： 首先根据 g(x)存在 2 个零点， 得到方程有两个解， 将其转化为 有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图 像(将去掉)， 再画出直线， 并将其上下移动， 从图中可以发现， 当时， 满足 与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在 y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当 直线过点 A 时，直线与函数图像有两
9、个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两 个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即. 例 6.(2020全国卷文科T10)设函数 f(x)=x 3- ,则 f(x) ( ) A.是奇函数,且在(0,+)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+)单调递减 【答案】A 【解析】 因为函数f=x 3- 的定义域为 ,其关于原点对称,而f=-f,所以函数f为奇函数. 又因为函数y=x 3在 上单调递增,在上单调递增,而y= =x -3在 上单调递减,在上 单调递减,所以函数 f=x 3- 在
10、上单调递增,在上单调递增. 例 7.(2020全国卷理科T9)设函数 f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则 f(x) ( ) A.是偶函数,且在单调递增 B.是奇函数,且在单调递减 C.是偶函数,且在单调递增 D.是奇函数,且在单调递减 【答案】D 【解析】选 D.函数 f(x)的定义域为,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|= ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以 f(x)为奇函数,x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),单调递增;x 时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln,单调递减. 例 8.【20
11、19 年高考全国卷理数】设函数( )f x的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时， ( )(1)f xx x若对任意(,xm ，都有 8 ( ) 9 f x ，则 m 的取值范围是( ) A 9 , 4 B 7 , 3 C 5 , 2 D 8 , 3 【答案】B 【解析】 (1)2 ( )f xf x，( )2 (1)f xf x (0,1x时， 1 ( )(1),0 4 f xx x ；(1,2x 时， 1(0,1x ， 1 ( )2 (1)2(1)(2),0 2 f xf xxx ； (2,3x 时， 1(1,2x ， ( )2 (1)4(2)(3) 1,0f
12、xf xxx ，如图： 当 (2,3x 时， 由 8 4(2)(3) 9 xx 解得 1 7 3 x ， 2 8 3 x ， 若对任意(,xm ， 都有 8 ( ) 9 f x ， 则 7 3 m .则 m 的取值范围是 7 , 3 . 例 9(2021 全国高三专题练习)某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) A cos xx f xeex B cos xx f xeex C cos xx f xeex D sin xx fxeex 【答案】A 【详解】A 选项， cos xx f xeex ，则 coscos xxxx fxeexeexf x ， 所以 cos xx f x
13、eex 是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；又当0 5x 时，0 xx ee，由 0f x 可得cos0 x ，解得0 2 x 或 3 5 2 x；由 0f x 可得cos0 x， 解得 3 22 x ，满足题中图象，故该函数的解析式可能是 cos xx f xeex ；A 正确；B 选项，当 05x时，0 xx ee，cos 0 x ，所以 cos0 xx f xeex ，不满足题意；排除 B；C 选项， 由 cos xx f xeex 得 2co20s0f，即 cos xx f xeex 不过原点，不满足题意；排除 C；D 选项，因为 3 52 2 ，所以sin50，则
14、 55 5sin50fee ，不满足题意，排除 D；故 选：A. 例 10(2021 江苏常州市 高三期末)函数 2 22 ln1 xx f x xx 的图象大致为( ) A B C D 【答案】A 【详解】设 2 ln1g xxx ，对任意的xR， 2 1xxx ，则 2 10 xx ， 则函数 g x的定义域为R， 22 2 2 11 ln1ln 1 xxxx gxxx xx 2 2 1 lnln1 1 xxg x xx ，所以，函数 2 ln1g xxx 为奇函数， 令 2 ln10g xxx ，可得 2 11xx ，可得 2 11xx ，所以，10 x，可得1x， 由 2 11xx 可
15、得 2 2 11xx ，解得0 x.所以，函数 2 22 ln1 xx f x xx 的定义域为 0 x x ， 2222 xxxx fxf x gxg x ，所以，函数 f x为奇函数，排除 BD选项， 当0 x时， 2 ln1ln10 xx ，2 20 xx ，所以， 0f x ，排除 C选项。 例 11. (2021 江苏泰州市 高三期末)在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 2222 (,) yx P xyxy ；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点” 所构成的曲线 C定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有
16、下列命题： 若点 A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点 A；单位圆的“伴随曲线”是它自身； 若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C关于 y 轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_(写出所有真命题的序列). 【答案】 【解析】对于，若令(1,1)P，则其伴随点为 11 ( ,) 22 P ，而 11 ( ,) 22 P 的伴随点为( 1, 1) ，而不是P， 故错误；对于，设曲线( , )0f x y 关于x轴对称，则( ,)0f xy与方程( , )0f x y 表示同一曲线， 其伴随曲线分别为 2222 (,)0 yx f xyxy 与 222
17、2 (,)0 yx f xyxy 也表示同一曲线，又曲线 2222 (,)0 yx f xyxy 与曲线 2222 (,)0 yx f xyxy 的图象关于y轴对称，所以正确；设单位圆 上任一点的坐标为(cos ,sin )Pxx，其伴随点为(sin , cos )Pxx仍在单位圆上，故正确；对于，直线 ykxb上任一点P( , )x y的伴随点是P 2222 (,) yx xyxy ，消参后点P轨迹是圆，故错误.所以正 确的为序号为. 例 12.【2019 年高考浙江】已知aR，函数 3 ( )f xaxx，若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t， 则实数a的最大值是_.
18、【答案】 4 3 【解析】存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，即有 33 2 | (2)(2)| 3 a ttatt， 化为 2 2 |23642| 3 att，可得 2 22 23642 33 att，即 2 24 364 33 att， 由 22 3643(1)1 1ttt ，可得 4 0 3 a.则实数a的最大值是 4 3 . 【名师点睛】 本题考查函数的解析式及二次函数， 结合函数的解析式可得 33 | (2)(2)|a ttatt 2 3 ， 去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 例 13(2020 上海市建平中学高三期中)已知函数 11 22,
19、1 21,1 xx x f x xx ，则关于x的不等式 10f xf x的解集为_ 【答案】 7 , 2 【详解】当1x时，10 x ， 1 21 x ， 1 21 x ，所以 11 220 xx f x ，由 2 1 2 2 x ， 2 22 x ， 22 1220 xx f x ，此时不等式 10f xf x恒成立；当12x时， 2121 10f xxxx ，01 1x ，则 22 122 xx f x ，由 2 21 x ， 2 21 x ， 则10f x此时不等式 10f xf x恒成立； 当23x时， 12131f xf xxx 2 1 311 0 xx ，符合题意； 当3x时，
20、12 13 1270f xf xxxx ，解得 7 2 x ， 7 3 2 x 综上可得，不等式 10f xf x的解集为 7 , 2 【压轴训练压轴训练】 1(2021 陕西榆林市 高三一模)已知定义在 R上的偶函数 ( )f x满足(2)( )fxf x ，且 ( )f x在( 1,0) 上 递减.若 1 2 5af ，( ln2)bf， 3 log 18cf，则 a，b，c的大小关系为( ) Aac b Bcba Cabc Dbac 【答案】A 【详解】 因为定义在 R 上的偶函数， 所以()( )fxf x， 因为(2)( )fxf x， 所以(22)(2)fxf x ， 即()(2)
21、( )fxfxf x，所以 ( )f x是以 2 为周期的周期函数，又( )f x在( 1,0) 上递减，所以在(0,1) 递增， 1 2 1 5 5 aff ，( ln2)(ln2)bff， 333 log 182log 2log 2cfff， 因为 33 11 log3log 2ln21 25 ， ( )f x在(0,1)上递增，所以 1 2 3 5log 2(ln2) fff， 1 2 3 5log 18( ln2)fff ，即acb， 2.【2018 年全国卷 II 理】已知是定义域为的奇函数,满足.若， 则( ) A B C D 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，且， 所以
22、, 因此， 因为，所以， ，从而，选 C. 3(2021 山东高三专题练习)定义域和值域均为 , a a 的函数( )yf x和( )yg x的图象如图所示，其中 0,0abac，给出下列四个结论正确结论的是( ) A方程 ( ) 0f g x有且仅有三个解 B方程 ( )0g f x有且仅有三个解 C方程 ( ) 0g g x 有且仅有一个解 D方程 ( )0f f x有且仅有九个解 【答案】AC 【详解】根据函数的图象，函数 ( )f x的图象与x轴有 3个交点，所以：方程 ( )0f g x 有且仅有三个解； 函数( )g x在区间上单调递减，所以：方程 ( )0g g x有且仅有一个解
23、对于 D：方程 ( )0f f x，即 f xb或 0f x ，或 f xb，因为 0f x 有三个解，当bc时 f xb或 f xb只有 一个解， 故 ( )0f f x有 5个解， 故 D错误； 对于 B ： 方程 ( )0g f x， 即 f xb ， 当bc时 f xb 只有一个解，故 ( )0g f x只有 1个解，故 B 错误； 4 (多选)(2020 济南市历城第二中学高三期中)设函数 2 2 ,2f xmin xxx 其中, ,min x y z表示 , ,x y z中的最小者.下列说法正确的有( ) A函数 f x为偶函数 B当 1,x时，有 2f xf x C当xR时， f
24、fxfx D当4,4x 时， 2fxfx 【答案】ABC 【详解】画出 f x的图象如图所示： 对 A，由图象可知： f x的图象关于y轴对称，故 f x为偶函数，故 A 正确； 对 B， 当12x时，120 x ， 222f xfxxf x； 当23x时，02 1x ， 22f xxf x； 当34x时，122x， 22242f xxxxf x； 当4x 时，22x， 此时有 2f xf x， 故B成立； 对C， 从图象上看， 当0,x时， 有 f xx 成立， 令 tf x， 则0t ， 故 f f xf x ， 故 C正确； 对 D， 取 3 2 x ， 则 111 224 ff ， 3
25、1 22 f ， 2fxfx，故 D 不正确 5(2021 全国高三专题练习)函数 cosln 2 xx f xxee 的图象大致为( ) A B C D 【答案】C 【详解】因为 coslnsin ln 2 xxxx f xxeexee ， 所以 sinlnsinln xxxx fxxxeexeef x ， 即函数 f x为奇函数， 其图象关于 原点对称，故排除 D，又因为 22 xxxx yeeee ，当且仅当0 x时取等号，所以 lnln2ln10 xx ee ， 当0,x时，sin0 x， 当,2x时，sin0 x， 所以， 当0,x 时， 0f x ，当,2x时， 0f x ，故排除
26、 A、B， 6.若直角坐标系内 A、B 两点满足：(1)点 A、B 都在 f(x)的图像上；(2)点 A、B 关于原点对称，则称点对(A， B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与(B，A)可看作一个“姊妹点对”。已知函数 f(x)= 2 2 (0) 2 (0) x xx x x e ，则 f(x)的“姊妹点对”有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】设 P(x，y) 令 x0，则点 P 关于原点的对称点为 P (-x，-y)，于是 xx e x 2 2 2 即022 2 xxe x ，令 x exg2)(,xxxh2)( 2 ，画出 x
27、exg2)(,xxxh2)( 2 的图像 可得有两个交点，所以022 2 xxe x 有两个解也就是说 f(x)的“姊妹点对”有两个所以选 B 7.【安徽省六安市舒城中学】已知定义在 R 上的函数满足且在上是增函数， 不等式对任意恒成立，则实数 的取值范围是( ) A B C D 【答案】B 【解析】，则函数关于对称， 函数在上是增函数 函数在是减函数，即在上是减函数，当时，不等式变 为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等 式对任意恒成立，由此排除两个选项 当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出： ，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排 除 综上所述， 选项是正确的，故选 .
28、8(2020 山西高三期中)已知函数 53 32f xxxx ，若 24f af a，则实数 a 的取值范围 是( ) A,1 B,2 C1, D2, 【答案】C 【详解】 根据题意， 设 53 23g xf xxxx， 其定义域为 R， 则 53 3gxxxxg x ， 则 g x为奇函数，又由 42 5910g xxx ，则 g x在 R 上为增函数，故 24222222f af af af af af a 2g ag a 2g aga，必有2aa，解得1a ，即 a 的取值范围为 1,. 9(2021 天津高三期末)已知函数 2 (3),0 ( ) 2 ,0 k xx f x xk x
29、，若函数 g xfxf x有且只有四个不 同的零点，则实数 k 的取值范围是( ) A( , 4) B(4,) C( ,0)(4,) D(,4)(4,) 【答案】B 【详解】因为 g xfxf x，所以()( )()( )gxf xfxg x，所以( )g x为偶函数， 因为( )g x有且只有四个不同的零点，所以( )g x在(0,)上有且仅有 2 个不同的零点，且 02040gfk，即0k ，当0 x时，0 x ， ()(3)fxkx ， 2 ( )2f xxk，所以 ( )g x 2 (3)2kxxk 2 xkxk在(0, )上有且仅有 2 个不同的零点，所以 2 (0)0 0 2 40
30、 g k kk ， 解得4k . 10. (2021 安徽淮北市 高三)已知函数 1, 0 ( ) ln ,0 x xex f x exx x ，则函数( ) |( )| 1g xf x零点的个数为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】A 【详解】因为( ) |( )| 1g xf x的零点个数 yf x与1y 图象的交点个数，当0 x时， 1x f xxe ，所以 1 1 x fxxe ，当, 1x 时， 0fx ，当1,0 x 时， 0fx ， 所以 f x在, 1 上单调递减，在1,0上单调递增，所以 f x在,0上的最小值为 1 1 111fe ， 又因为当0 x时， 0f x ，
31、且 00f， 所以,0 x 时， 1,0f x ； 当0 x时， lnf xexx，所以 ln1fxex ，当 1 0, e x 时， 0fx ，当 1 ,x e 时， 0fx ，所以 f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增，所以 f x在0,上的最小值 为 111 ln1fe eee ，又当01x时， 0f x ，当1x 时， 0f x ，所以0,x时， 1,f x ，作出 , 1yfxy的函数图象如下图所示： 由图象可知 ,1yfxy有3个交点，所以( ) |( )| 1g xf x有3个零点， 11.(2020 江西吉安市 高三其他模拟)已知函数 32 lg1f
32、xxxx，若 12320afaf ，则实数a的取值范围是_. 【答案】 1 ,11, 2 【详解】由题得 32 lg1f xxxx定义域为R， 32 lg1fxxxx ， 3232 lg1lg1lg10f xfxxxxxxx ，即 f x为定义域在R上的奇 函数，且 f x在R上单调递增(增函数+增函数=增函数)，当1a 时，不等式显然不成立，当1a 时， 10a ， 12320afaf ，即为 2320faf，即 232faf， 232faf，则 1 232 2 aa ，故实数a的取值范围是 1 ,11, 2 . 12(2021 福建高三其他模拟)函数 ( )f x 的定义域为 1,1) ，
33、其图象如图所示.函数 ( )g x 是定义域为R的奇 函数，满足 (2)( )0gxg x ，且当 (0,1)x 时， ( )( )g xf x .给出下列三个结论： (0)0g ；函数 ( )g x 在( 1,5) 内有且仅有3个零点；不等式 ()0fx 的解集为 10 xx .其中，正确结论的序号 是_. 【答案】 【详解】因为函数( )yg x是奇函数，所以( )()g xgx ，又(2)( )0gxg x，所以 (2)()gxgx ， 即 (2 )( )g xg x ， 所以， 函数( )yg x的周期为2.对于， 由于函数( )yg x是R上 的奇函数， 所以，(0)0f， 故正确；
34、 对于，(2)( )0gxg x， 令1x ， 可得2 (1)0g， 得( 1 ) 0g， 所以，函数( )yg x在区间 1,1上的零点为0和1.因为函数( )yg x的周期为2，所以函数( )yg x在 ( 1,5) 内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故错误；对于，令tx ，则需求 ( )0f t 的解集， 由图象可知，01t ，所以10 x ，故正确. 13.【2019 年高考北京理数】设函数 ee xx f xa (a 为常数)若 f(x)为奇函数，则 a=_；若 f(x) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_ 【答案】1,0 【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，
35、据此可得a的值，然后利用( )0fx 可得 a 的取值范 围.若函数 ee xx f xa 为奇函数，则 ,fxf x即eeee xxxx aa ，即 1 e e0 xx a 对任意的x恒成立，则10a ，得1a.若函数 ee xx f xa 是R上的增函数，则 ( ) ee0 xx fxa 在R上恒成立，即 2 e x a 在R上恒成立，又 2 e0 x ，则0a， 即实数a的取值范围是,0. 14(2020 黑龙江哈尔滨市 哈师大附中高三)已知函数 ( )f x是定义域为R的奇函数，且当 0 x时， 2 2 log,02 ( ) 1 47,2 2 xx f x xxx ，若函数( )(01
36、)yf xaa有六个零点，分别记为 123456 ,x x x x x x， 则 123456 xxxxxx的取值范围是_. 【答案】 5 2, 2 【详解】因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在R上的图象如图： 由图可知 12 8xx ， 56 8xx，且 2324 loglogxx，即 234 log0 x x，所以是 3 4 1x x ，因为 01a，故 23 0log1x ，即 3 1 ,1 2 x ，故 123456343 3 1 xxxxxxxxx x ，根据对 勾函数 1 yx x 在0,1上单调减， 在1,上单调增， 故而 123456343 3 1 xxxxxxxxx x 在
37、 3 1 ,1 2 x 上单调减，则 123456343 3 15 2, 2 xxxxxxxxx x ， 15. 【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三】已知函数， 若对任意， 总存在， 使得成立， 则实数 的值为_ 【答案】 【解析】不等式可化为：若对任意，总存在 ，使得成立，则：，当时，的 最大值为： 当时，的最大值为：最小值为： ，所以可化为：，解得： .故：。 16.(2021 上海高三专题练习)双曲线 2 2 1 3 x y绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数 ( )f x的图象，关 于此函数 ( )f x有如下四个命题： ( )f x是奇函数； ( )f x
38、的图象过点 3 3 (,) 22 或 33 (,) 22 ； ( )f x 的值域是 33 (, ,) 22 ； 函数 ( )yf xx 有两个零点；则其中所有真命题的序号为_. 【答案】 【详解】双曲线 2 2 1 3 x y关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的 ( )f x图象关于原点对称, 即有 ( )f x为奇函数,故对；由双曲线的顶点为( ) 3 0,渐近线方程为 3 3 yx ,可得 ( )f x的图象的渐近 线为0 x和 3 3 yx ,图象关于直线3yx对称,可得 ( )f x的图象过 3 3 , 22 或 33 , 22 . 由对称性可得 ( )f x的图象按逆时针60旋
39、转位于三象限；按顺时针旋转60位于二四象限；故对； ( )f x的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点 3 3 , 22 或 33 , 22 ，不是极值点,则 ( )f x的值域不是 33 (, ,) 22 ；( ) f x的图象按顺时针旋转60位于二四象限,由对称性可得( )f x的值 域也不是 33 (, ,) 22 ,故不对； 当 ( )f x的图象位于一三象限时,( )f x的图象与直线yx 有两个交 点,函数 ( ) yf xx=- 有两个零点；当 ( )f x的图象位于二四象限时,( )f x的图象与直线yx 没有交点,函数 ( ) yf xx=- 没有零点故错.故真命题为：
