1、 1 专题专题 33 最值问题最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要 为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 （a、b、c 为常数且a 0）其性质中有 若a 0当x b a 2 时，y 有最小值。y acb a min 4 4 2 ； 若a 0当x b a 2 时，y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性 一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数， 图象是一条直线， 因而没有最大 （小） 值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就
2、有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程；再根据 x 是实数，推得 0，进而求出 y 的取值范 围，并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内，显然有abkk 22 ，当且仅当ab 0时，等号成立，即abk 22 的最小值 为 k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值，再加以比较， 从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式xa中，xa是最大值，在
3、不等式xb中，xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式 获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法” 。 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1 1】 （经典题）】 （经典题）二次函数 y=2（x3） 24 的最小值为 【答案】4 【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答 二次函数 y=2（x3） 24 的开口向上，顶点坐标为（3，4） ， 所以最小值为4 【例题【例题 2 2】（】（20182018 江西）江西）如图，AB 是O 的弦，
4、AB=5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45，若点 M、 N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【答案】 【解析】根据中位线定理得到 MN 的最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最 大值 如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MN=BC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC， BC是O 的直径， BAC=90 ACB=45，AB=5， ACB=45， 3 BC=5， MN最大= 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019 湖南张家界）
5、湖南张家界）已知抛物线yax 2bxc（a0）过点 A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交 于点C，OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值； （4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ1 2QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请 说明理由 【思路分析】【思路分析】 （1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方 便） ； （2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组
6、邻边相等，即可证明该四边形为正方形； （3）如答 图 2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m 24m3)，易知直线 BC的解析式为yx3， 则E(m，m3)，PE(m3)(m 24m3)m23m再由 SPBCSPBESCPE，转化为1 2PEOB 1 23 (m 23m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定 SPBC的最大值与点P坐标； （4）解决本问按两步走： 一找（如答图 3，设OQt，则CQ3t，AQ1 2QC 2 1 1(3) 2 tt ，取CQ的中点G，以点Q为圆心， QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ1 2QCQ 的直径最小） 、二求（由 AQ1 2QC，解关于
7、 t 的方 程即可） 【解题过程】【解题过程】 （1）抛物线yax 2bxc（a0）过点 A(1，0)，B(3，0)两点， -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 4 令抛物线解析为ya(x1)(x3) 该抛物线过点C(0，3)， 3a(01)(03)，解得a1 抛物线的解析式为y(x1)(x3)，即yx 24x3 yx 24x3(x2)21， 抛物线的顶点D的坐标为(2，1) 综上，所求抛物线的解析式为yx 24x3，顶点坐标为(2，1) （2）如答图 1，连接AD、BD，易知DADB OBOC，BOC90， MBA45 D(2，1)，A(3，0)， DBA45
8、DBM90 同理，DAM90 又AMBC， 四边形ADBM为矩形 又DADB， 四边形ADBM为正方形 （3）如答图 2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m 24m3)，易知直线 BC的解析式为y x3，则E(m，m3)，PE(m3)(m 24m3)m23m -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 图 1 5 SPBCSPBESCPE1 2PEBF 1 2PEOF 1 2PEOB 1 23(m 23m) 3 2 (m 3 2) 227 8 ， 当m3 2时，SPBC有最大值为 27 8 ，此时 P 点的坐标为(3 2， 3 4) （4）如答图 3，设
9、OQt，则CQ3t，AQ1 2QC 2 1 1(3) 2 tt ， 取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ1 2QCQ 的直径最小， 此时，2+ 1 = 1 2(3 )，解得 t26 3 1， 于是AQ1 2QC 的最小值为 3t3(26 3 1)426 3 1.1.（20182018 河南）河南）要使代数式2 3有意义，则 x 的（ ） A.最大值为2 3 B.最小值为 2 3 C.最大值为3 2 D.最大值为 3 2 【答案】A. 【解析】要使代数式2 3有意义，必须使 2-3x0，即 x2 3，所以 x 的最大值为 2 3。 2.2.（20182018 四
10、川绵阳）四川绵阳）不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数，那么此高 的最大值可能为_。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 图 2 F E P -2 -1 -1 3 2 1 3 21 y x O M D C BA G Q -2 -1 -1 3 2 1 3 21 y x O D C BA 图 3 专题典型训练题 专题典型训练题 6 因为2412Sabch ABC ，所以ab 3 又因为cabb 4，代入12bch 得124bbh，所以h 3 又因为cabb 2，代入12bch 得122bbh，所以h 6 所以 3h6，故整数 h 的
11、最大值为 5。 3.3.（20182018 齐齐哈尔）齐齐哈尔）设 a、b 为实数，那么aabbab 22 2的最小值为_。 【答案】-1 【解析】aabbab 22 2 ababb a b bb a b b 22 22 22 12 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4 111 () () ()() 当a b 1 2 0，b 10，即ab01，时， 上式等号成立。故所求的最小值为1。 4.4.（20182018 云南）云南）如图，MN 是O 的直径，MN=4，AMN=40，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一 个动点，则 PA+PB 的最小值为 【答案】2 【解析
12、】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值， 由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON 的度数，再由勾股定理即可求解过 A 作关 于直线 MN 的对称点 A，连接 AB，由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值， 7 连接 OB，OA，AA， AA关于直线 MN 对称， =， AMN=40， AON=80，BON=40， AOB=120， 过 O 作 OQAB 于 Q， 在 RtAOQ 中，OA=2， AB=2AQ=2， 即 PA+PB 的最小值 2 5.5.（20182018 海南）海南）某水果店在两周内，将标
13、价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤， 并且两次降价的百分率相同 （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数 关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x400 （3）在（2）的条件下，
14、若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】看解析。 【解析】 （1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为 10(1x)，第二次降价后的价格为 10(1x) 2，进而可得方程； （2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用” ， 再分别求利润的最大值， 比较大小确定结论；（3） 设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a元， 利用不等关系 “ （2） 中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解答： （1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得
15、： 10(1x) 28.1 8 解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去) 答：该种水果每次降价的百分率为 10% （2）第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤)， 当 1x9 时，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352； 当 9x15 时，y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x260 x80， 综上，y与x的函数关系式为：y 17.7x352(1x9，x为整数)， 3x260 x80(9x15，x为整数) 当 1x9 时，y17.7x352，当x1 时，y最大334.3(元)； 当 9x15 时，y3x 260 x803(x1
16、0)2380，当 x10 时，y最大380(元)； 334.3380，在第 10 天时销售利润最大 （3）设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a元，依题意得： 380(8.1a4.1)(12015)(315 26415400)127.5， 解得：a0.5， 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 6.6. （20182018 湖北荆州）湖北荆州） 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫， 每日最高产量为 40 只， 且每日产出的产品全部售出， 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R （元） ， 售价每只为 P （元） ， 且 R、 P 与 x 的关系式分别为Rx50030， Px
17、1702。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为 1750 元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】看解析。 【解析】 （1）根据题意得： ()()1702500301750 x xx 整理得xx 2 7011250 解得x125，x245（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为 PxRxxx 21405002351950 22 () 所以当x 35时，最大利润为 1950 元。 7.7.（20182018 吉林）吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是 600 元和 1000 元，现要求乙种工种的人数不少于
18、甲种工种人数的 2 倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使 得每月所付的工资最少？ 【答案】看解析。 9 【解析】设招聘甲种工种的工人为 x 人，则乙种工种的工人为()150 x人， 由题意得： 1502xx 所以050 x 设所招聘的工人共需付月工资 y 元， 则有： yxxx 6001000 150400150000()（050 x） 因为 y 随 x 的增大而减小 所以当x 50时，ymin 130000（元） 8.8.（经典题）（经典题）求 xx xx 2 2 1 1 的最大值与最小值。 【答案】最大值是 3，最小值是。 【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造
19、一个关于未知数 x 的一元二次方 程；再根据 x 是实数，推得 0，进而求出 y 的取值范围，并由此得出 y 的最值。 设 xx xx y 2 2 1 1 ，整理得 即 因为 x 是实数，所以 即()()14 10 22 yy 解得 1 3 3y 所以 xx xx 2 2 1 1 的最大值是 3，最小值是。 9.9.（经典题）（经典题）求代数式xx1 2 的最大值和最小值。 【答案】最大值为 1/2，最小值为-1/2. 【解析】设yxx1 2 ， 11x，再令x sin， 22 ，则有 yxx11 1 2 2 22 sinsinsincossin 所以得 y 的最大值为 1/2，最小值为-1/
20、2. 10.10.（经典题）（经典题）求函数yxx | |14 5的最大值。 【答案】0 【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值，再 加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 易知该函数有两个零点、 当x 4时 10 yxx ()()1450 当 41x时 当x 4时，得 10280yx 当x 1时，yxx ()()14510 综上所述，当x 4时，y 有最大值为 11. 11. （20182018 山东济南）山东济南）已知 x、y 为实数，且满足xym 5，xyymmx 3，求实数 m 最大值与 最小值。 【答案】 m 的最大值是
21、13 3 ，m 的最小值是1。 【解析】由题意得 xym xym xymmmm 5 33553 2 ()() 所以 x、y 是关于 t 的方程tm tmm 22 5530()()的两实数根， 所以 ()()54530 22 mmm 即310130 2 mm 解得 1 13 3 m m 的最大值是 13 3 ，m 的最小值是1。 12.12.（20192019 年黑龙江省大庆市）年黑龙江省大庆市）如图，在 RtABC中，A90AB8cm，AC6cm，若动点D从B出发， 沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况） ，运动速度为 2cm/s，过点D作DEBC交AC于 点E，连接BE，设动
22、点D运动的时间为x（s） ，AE的长为y（cm） （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解 11 题的关键 （1）由平行线得ABCADE，根据相似形的性质得关系式. 动点D运动x秒后，BD2x 又AB8，AD82x DEBC， ， ， y关于x的函数关系式为y（0 x4） （2）由SBDAE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解 SBDE（0 x4） 当时，SBDE最大，最大值为 6cm 2 13.13.（2
23、0192019 年宁夏）年宁夏）如图，在ABC中，A90，AB3，AC4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点 M不与A，B重合） ，且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x （1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值 【答案】见解析。 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形 的判定定理、二次函数的性质是解题的关键 （1）MQBC， MQB90， 12 MQBCAB，又QBMA
24、BC， QBMABC； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； 当BQMN时，四边形BMNQ为平行四边形， MNBQ，BQMN， 四边形BMNQ为平行四边形； （3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数 解析式，根据二次函数性质计算即可 A90，AB3，AC4， BC5， QBMABC， ，即， 解得，QMx，BMx， MNBC， ，即， 解得，MN5x， 则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x） 2+ ， 当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为 14. 14. （20192019 广东深圳）广东深圳）如图所示，抛物线
25、= 2+ + 过点 A（1，0） ，点 C（0，3） ，且 OB=OC （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 D，E 在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值， （3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 两部分，求点 P 的坐标 13 【思路分析】【思路分析】 （1）先求出点 B 的坐标，然后把 A、B、C 三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得 出 a，b，c 的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程； （2）利用轴对称原理 作出点 C 的对称
26、点，求出四边形 CDEA 的周长的最小值； （3）方法 1：设 CP 与 x 轴交于点 E，先根据面积关 系得出 BE：AE=3:5 或 5:3，求出点 E 的坐标，进而求出直线 CE 的解析式，解直线 CE 与抛物线的解析式联 立所得的方程组求出点 P 的坐标；方法 2：设 P（x，x 2+2x+3） ，用含 x 的式子表示四边形 CBPA 的面积， 然后求出 CB 的解析式，再用含 x 的式子表示出CBP 的面积，利用面积比建立方程，解方程求出 x 的值， 得出 P 的坐标 【解题过程】【解题过程】 （1）点 C（0，3） ，OB=OC，点 B（3，0） 把 A（1，0） ，C（0，3）
27、，B（3，0）代入 = 2+ + ，得 + = 0， 9 + 3 + = 0， = 3， 解得 =1， = 2， = 3. 抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3 y=x 2+2x+3=（x1）2+4， 抛物线的对称轴为 x=1 （2）如图，作点 C 关于 x=1 的对称点 C（2，3） ，则 CD=CD 取 A（1，1） ，又DE=1，可证 AD=AE 在 RtAOC 中，AC=2+ 2=12+ 32=10 四边形 ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE =10+1+CD+AE 要求四边形 ACDE 的周长的最小值，就是求 CD+AE 的最小值 CD+AE=CD+AD， 当 AD，C三点共
28、线时，CD+AD 有最小值为13， 四边形 ACDE 的周长的最小值=10+1+13 14 （3）方法 1：由题意知点 P 在 x 轴下方，连接 CP，设 PC 与 x 轴交于点 E， 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分， 又SCBE：SCAE=SPBE：SPAE=BE：AE， BE：AE=3:5 或 5:3， 点 E1（3 2，0） ，E2（ 1 2，0） 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b， （3 2，0）和（0，3）代入，得 3 2 + = 0， = 3， 解得 = 2， = 3. 直线 CE 的解析式为 y=2x+3 同理可得，当 E2（1 2，0）时，直线
29、 CE 的解析式为 y=6x+3 由直线 CE 的解析式和抛物线的解析式联立解得 P1（4，5） ，P2（8，45）. 方法 2：由题意得 SCBP=3 8S 四边形 CBPA或 SCBP=5 8S 四边形 CBPA 令 P（x，x 2+2x+3） ， S四边形 CBPA=SCAB+SPAB=6+1 24 （x 22x3）=2x24x 直线 CB 的解析式为 y=x+3， 作 PHy 轴交直线 CB 于点 H，则 H（x，x+3） ， 15 SCBP=1 2OBPH= 1 23 （x+3+x 22x3）=3 2x 29 2x 当 SCBP=3 8S 四边形 CBPA时，3 2x 29 2x=
30、3 8（2x 24x） ， 解得 x1=0（舍） ，x2=4， P1（4，5） 当 SCBP=5 8S 四边形 CBPA时，3 2x 29 2x= 5 8（2x 24x） ， 解得 x3=0（舍） ，x4=8， P2（8，45） 15.15.（20192019 广西省贵港）广西省贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，90BAC，将ABC绕点C顺时针方向旋转 得到A B C ，记旋转角为，当90180 时，作A DAC，垂足为D，A D与B C交于点E （1）如图 1，当15CA D时，作A EC 的平分线EF交BC于点F 写出旋转角的度数； 求证：EAECEF； （2） 如图 2， 在 （1）
31、的条件下， 设P是直线A D上的一个动点， 连接PA，PF， 若2AB ， 求线段PAPF 的最小值 （结果保留根号）. 【思路分析】【思路分析】 （1）解直角三角形求出ACD 即可解决问题 连接A F，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM首先证明CFA是等边三角形，再 证明FCM()ACE SAS，即可解决问题 （2）如图 2 中，连接A F，PB，AB，作B MAC交AC的延长线于M证明A EFA EB，推 16 出EFEB，推出B，F关于A E对称，推出PFPB，推出PAPFPAPBAB，求出AB即可解 决问题 【解题过程】【解题过程】 （1）解：旋转角为105 理由：如图
32、1 中， A DAC， 90A DC ， 15CA D， 75ACD ， 105ACA ， 旋转角为105 证明：连接A F，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM 451560CEDACECA E ， 120CEA ， FE平分CEA， 60CEFFEA ， 180457560FCO ， FCOA EO ，FOCAOE ， FOCAOE， OFOC AOOE ， OFAO OCOE ， COEFOA ， COEFOA， 17 60FAOOEC ， AOF是等边三角形， CFCAA F ， EMEC，60CEM， CEM是等边三角形， 60ECM，CMCE， 60FCAMCE ， F
33、CMACE ， FCM()ACE SAS， FMAE， CEA EEMFMEF （2）解：如图 2 中，连接A F，PB，AB，作B MAC交AC的延长线于M 由可知，75EA FEA B ，AEAE，A FA B ， A EFA EB， EFEB， B ，F关于A E对称， PFPB， PAPFPAPBAB， 在RtCB M中，22CBBCAB ，30MCB ， 1 1 2 B MCB ，3CM ， 2222 ( 23)162 6ABAMB M PAPF的最小值为62 6 18 16.16.（20192019 贵州省安顺市）贵州省安顺市）如图，抛物线y1 2x 2+bx+c 与直线y1 2x
34、+3 分别相交于 A，B两点，且此抛物线与 x轴的一个交点为C，连接AC，BC已知A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得 以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明 理由 【思路分析】【思路分析】 （1）将A（0，3） ，C（3，0）代入y1 2x 2+bx+c，即可求解； （2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解
35、即可； （3）分当 = = 1 3时、当 = = 3时两种情况，分别求解即可 【解题过程】【解题过程】 （1）将A（0，3） ，C（3，0）代入y1 2x 2+bx+c 得： = 3 9 2 3 + = 0，解得： = 5 2 = 3 ， 抛物线的解析式是y1 2x 2+5 2x+3； （2）将直线y1 2x+3 表达式与二次函数表达式联立并解得：x0 或4， A （0，3） ，B（4，1） 当点B、C、M三点不共线时， |MBMC|BC 当点B、C、M三点共线时， |MBMC|BC 当点、C、M三点共线时，|MBMC|取最大值，即为BC的长， 19 过点B作x轴于点E，在 RtBEC中，由勾
36、股定理得BC2+ 22， |MBMC|取最大值为2； （3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似 设点P坐标为（x，1 2x 2+5 2x+3） （x0） 在 RtBEC中，BECE1，BCE45， 在 RtACO中，AOCO3，ACO45， ACB18045 0450900，AC3 ， 过点P作PQPA于点P，则APQ90， 过点P作PQy轴于点G，PQAAPQ90 PAGQAP，PGAQPA PGAACB90 当 = = 1 3时， PAGBAC， 1 2 2:5 2:3;3 = 1 3， 解得x11，x20， （舍去） 点P的纵坐标为1 21 2+5 21+36， 点P为（
37、1，6） ； 当 = = 3时， PAGABC， 1 2 2:5 2:3;3 = 3， 20 解得x113 3 （舍去） ，x20（舍去） ， 此时无符合条件的点P 综上所述，存在点P（1，6） 17.17.（20192019 广西贺州）广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为( 1,0)，且4OAOCOB，抛物线 2 (0)yaxbxc a图象经过A，B，C三点 （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值 【思路分析】【思路分析】（1）44OAOCOB，
38、即可求解； （2）抛物线的表达式为： 2 (1)(4)(34)ya xxa xx，即可求解； （3） 2 2 sin(434 2 PDHPPFDxxx，即可求解 【解题过程】（1）44OAOCOB， 故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0, 4)； （2）抛物线的表达式为： 2 (1)(4)(34)ya xxa xx， 即44a ，解得：1a ， 故抛物线的表达式为： 2 34yxx； （3）直线CA过点C，设其函数表达式为：4ykx， 将点A坐标代入上式并解得：1k ， 故直线CA的表达式为：4yx， 21 过点P作y轴的平行线交AC于点H， 4OAOC，45OACOCA ， / /PHy轴
39、，45PHDOCA ， 设点 2 ( ,34)P x xx，则点( ,4)H x x ， 22 22 sin(434)2 2 22 PDHPPFDxxxxx ， 2 0 2 ，PD有最大值，当2x 时，其最大值为2 2， 此时点(2, 6)P 18.18.（20192019 内蒙古赤峰）内蒙古赤峰）如图，直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx 2+bx+c 经过 点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在，求出P点坐标；
40、若不存在，请说 明理由 【思路分析】【思路分析】（1）直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0） 、 （0， 3） ，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； 22 （2）如图 1，作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解 【解题过程】（1）直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0） 、 （0， 3） ， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：9 + 3 + = 0 = 3 ，解得： = 2 = 3， 故函数的表达式为
41、：yx 2+2x+3， 令y0，则x1 或 3，故点A（1，0） ； （2）如图 1，作点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点E，则此时EC+ED为最小， 函数顶点坐标为（1，4） ，点C（0，3） ， 将CD的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y7x3， 当y0 时，x= 3 7，故点 E（3 7，x） ； （3）当点P在x轴上方时，如下图 2， OBOC3，则OCB45APB， 过点B作BHAH，设PHAHm， 23 则PBPA= 2m， 由勾股定理得：AB 2AH2+BH2， 16m 2+（2mm）2，解得：m=2:66 2 （负值已舍去） ， 则PB= 2m1+3
42、3， 则yP=(1 + 33)2+ 22= 10 3； 当点P在x轴下方时， 则yP（10 3） ； 故点P的坐标为（1，10 3）或（1，3 10） 19.19.（20192019湘潭）湘潭）如图一，抛物线yax 2+bx+c 过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1y2，求P点横坐标x1的取值范围； （3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB， 点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求FMN周长的最小值 【分析】（1）将
43、三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式； （2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x2，根据函数的增减性，可以求出当y1 y2时P点横坐标x1的取值范围； （3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对 称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根 据坐标，和勾股定理可求 【解答】（1）抛物线yax 2+bx+c 过A（1，0）B（3.0）、C（0，）三点 解得：a，b，c； 抛物线的解析式为：yx 2+ x+ 24 （2）抛物线的对称轴为x1，抛物线上与Q（
44、4，y2）相对称的点Q（2，y2） P（x1，y1在该抛物线上，y1y2，根据抛物线的增减性得： x12 或x14 答：P点横坐标x1的取值范围：x12 或x14 （3）C（0，），B，（3，0），D（1，0） OC，OB3，OD，1 F是BC的中点，F（，） 当点F关于直线CE的对称点为F，关于直线CD的对称点为F，直线FF与CE、CD交点为M、N，此 时FMN的周长最小，周长为FF的长，由对称可得到：F（，），F（0，0）即点O， FFFO3， 即：FMN的周长最小值为 3， 20.20.（20192019辽阳）辽阳）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的边BC在x轴上，ABC90，以A为
45、顶点的抛 物线yx 2+bx+c 经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上 （1）求抛物线解析式； （2）若点P从A点出发，沿AB方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过 点P作PDAB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时， ACQ的面积最大？最大值是多少？ （3） 若点M是平面内的任意一点， 在x轴上方是否存在点P， 使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形， 若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由 25 【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）SA
46、CQDQBC，即可求解； （3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可 【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx 2+2x+3， 则点A（1，4）； （2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC的表达式为：y2x+6， 点P（1，4t），则点D（，4t），设点Q（，4）， SACQDQBCt 2+t， 0，故SACQ有最大值，当t2 时，其最大值为 1； （3）设点P（1，m），点M（x，y）， 当EC是菱形一条边时， 当点M在x轴下方时， 点E向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到C， 则点P平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到M， 则 1+3x，m3y， 而MPEP得：1+（m3） 2（x1）2+（ym）2， 解得：ym3， 故点M（4，）； 当点M在x轴上方时， 26 同理可得：点M（2，3+）； 当EC是菱形一对角线时， 则EC中点即为PM中点， 则x+13，y+m3， 而PEPC，即 1+（m3） 24+（m2）2， 解得：m1， 故x2，y3m312， 故点M（2，2）； 综上，点M（4，）或（2，3+）或M（2，2）
