1、 专题专题 33 33 中考几何折叠翻折类问题中考几何折叠翻折类问题 1.1.轴对称轴对称( (折痕折痕) )的性质：的性质： (1)成轴对称的两个图形全等。 (2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。 也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线.对称的图形都全等. 2.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题折叠或者翻折试题解决哪些问题 (1)求角度大小； (2)求线段长度； (3)求面积； (4)其他综合问题。 3.3.解决折叠问题的思维方法解决折叠问题的思维方法 (1)折叠后能够
2、重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对 称，对应点到折痕的距离相等。 (2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。 (3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。这对解决问题有很大 帮助。 (4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。 (5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。一般试题考查点圆最值问题。 (6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。 【例题【例题 1 1】(202
3、0(2020哈尔滨哈尔滨) )如图，在 RtABC中，BAC90，B50，ADBC，垂足为D，ADB与 ADB关于直线AD对称，点B的对称点是点B，则CAB的度数为( ) A10 B20 C30 D40 【答案】A 【解析】由余角的性质可求C40，由轴对称的性质可得ABBB50，由外角性质可求解 BAC90，B50， C40， ADB与ADB关于直线AD对称，点B的对称点是点B， ABBB50， CABABBC10。 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 重庆重庆) )如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 于点 E，AE=1， 连接 DE，将AED
4、沿直线沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面内，得到AEF，连接 DF，过点 D 作 DGDE 交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( ) A.8 B.24 C.422 D.223 . 【答案】D. 【解析】 易证AEDAEFBGD，得 ED=EF=GD，DGE=45， 进而得BGD=AED=AEF=135， 易得DEG 和DEF 都是等腰直角三角形， 设 DG=x，则 EG=2x， 注意 AB=3，BG=AE=1，AEB=90， 可解得 x= 2 2 2 . 【例题【例题 2 2】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重
5、合得到折痕 EF，将纸片展平，再一 次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，已知 BC2，则线段 EG 的长度为_ 【答案】3 【解析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出1=2= 3，进而得出答案 解：如答图，由第一次折叠得 EFAD，AEDE， AEF90，AD2AE 四边形 ABCD 是矩形， DDAB90， AEFD， EFCD， AENADM， AN AM AE AD 1 2 ， AN 1 2 AM， ANMN， 又由第二次折叠得AGMD90， NG 1 2 AM， ANNG， 24 由第二次折叠得12， 14 ABCD
6、，EFCD， EFAB，34， 123 123DAB90， 12330 四边形 ABCD 是矩形， ADBC2 由第二次折叠得 AGAD2 由第一次折叠得 AE 1 2 AD 1 2 21 在 RtAEG 中，由勾股定理得 EG 22 AGAE 22 21 3 【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出2=4 是解题关键 【对点练习】【对点练习】(2019 四川内江)如图，在菱形ABCD中，simB，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形 AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MNBC时，的值是 【答案】 【解析】延长CM交AD于点G， 将四边形AEFB沿EF
7、翻折， AEME，AEMC，BFFN，BN，ABMN 四边形ABCD是菱形 ABBCCDAD，BD，A+B180 simBsinN， 设CF4x，FN5x， CN3x， BC9xABCDAD， simBsinD GC GMGC(MNCN)6xx A+B180，EMC+EMG180 BEMG sinBsinEMG cosEMG EM2x， AE2x， 故答案为： 【例题【例题 3 3】(2020(2020 衢州模拟衢州模拟) )如图 1，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A处，然后将矩形 展平，沿 EF 折叠，使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处再将矩形 A
8、BCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处如图 2 (1)求证：EG=CH； (2)已知 AF=，求 AD 和 AB 的长 【答案】见解析。 【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识 (1)证明：由折叠知 AE=AD=EG，BC=CH， 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC， EG=CH； (2)解：ADE=45，FGE=A=90，AF=， DG=，DF=2， AD=AF+DF=+2； 由折叠知AEF=GEF，BEC=HEC，
9、 GEF+HEC=90，AEF+BEC=90， AEF+AFE=90， BEC=AFE， 在AEF 与BCE 中， ， AEFBCE(AAS)， AF=BE， AB=AE+BE=+2+=2+2 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 徐州徐州) )如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点 G处，折痕为EF求证： (1)ECBFCG； (2)EBCFGC 【答案】见解析。 【解析】 依据平行四边形的性质， 即可得到ABCD， 由折叠可得， AECG， 即可得到ECBFCG； 依据平行四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到
10、B G，BCCG，进而得出EBCFGC 证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ABCD， 由折叠可得，AECG， BCDECG， BCDECFECGECF， ECBFCG； (2)四边形ABCD是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG，ADCG， BG，BCCG， 又ECBFCG， EBCFGC(ASA) 一、选择题一、选择题 1.(20201.(2020青岛青岛) )如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O若AE5，BF 3，则AO的长为( ) A5 B3 2 5 C25 D45 【答案】C 【解析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出AFF
11、CAE5，由勾股定理求出AB，AC，进而求出 OA即可 矩形ABCD， ADBC，ADBC，ABCD， EFCAEF， AEAF3， 由折叠得，FCAF，OAOC， BC3+58， 在 RtABF中，AB= 52 32=4， 在 RtABC中，AC= 42+ 82=45， OAOC25， 2(2020(2020枣庄枣庄) )如图，在矩形纸片ABCD中，AB3，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落 在对角线AC上的点F处，若EACECA，则AC的长是( ) A33 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】根据折叠的性质得到AFAB，AFEB90，根据等腰三角形的性质得到AFCF，于是
12、得到 结论 将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， AFAB，AFEB90， EFAC， EACECA， AECE， AFCF， AC2AB6 3(2020(2020广东广东) )如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，F分别在边AB，CD上，EFD60若将四边形 EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为( ) A1 B2 C3 D2 【答案】D 【解析】由正方形的性质得出EFDBEF60，由折叠的性质得出BEFFEB60，BEBE， 设BEx，则BEx，AE3x，由直角三角形的性质可得：2(3x)x，解方程求出x即可得出答案 四边形ABCD是正方形， AB
13、CD，A90， EFDBEF60， 将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上， BEFFEB60，BEBE， AEB180BEFFEB60， BE2AE， 设BEx，则BEx，AE3x， 2(3x)x， 解得x2 4如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重 合，折痕现交于点 F已知 EF=，则 BC 的长是( ) A B C3 D 【答案】B 【解析】由折叠的性质可知B=EAF=45，所以可求出AFB=90，再直角三角形的性质可知 EF=AB， 所以 AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出 BC 的长
14、 沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合， B=EAF=45， AFB=90， 点 E 为 AB 中点， EF=AB，EF=， AB=AC=3， BAC=90， BC=3 5如图，已知 D 为ABC 边 AB 的中点，E 在 AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上的 F 处若 B=65，则BDF 等于( ) A 65 B 50 C 60 D 57.5 【答案】B 【解析】先根据图形翻折不变性的性质可得 AD=DF，根据等边对等角的性质可得B=BFD，再根据三角形 的内角和定理列式计算即可求解 DEF 是DEA 沿直线 DE 翻折变换而来， AD=DF， D 是
15、 AB 边的中点， AD=BD，BD=DF，B=BFD， B=65， BDF=180BBFD=1806565=50 6如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC 交于点 E，则点 D 的坐标是( ) A (4，8) B (5，8) C (，) D (，) 【答案】C 【解析】 此题考查了翻折变换(折叠问题)，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练 掌握折叠的性质是解本题的关键 由四边形 ABCD 为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到 OA=OD，两对角相等，利 用 HL 得到直角三角形 B
16、OC 与直角三角形 BOD 全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到 OE=EB， 在直角三角形 OCE 中，设 CE=x，表示出 OE，利用勾股定理求出 x 的值，确定出 CE 与 OE 的长，进而由三角 形 COE 与三角形 DEF 相似，求出 DF 与 EF 的长，即可确定出 D 坐标 矩形 ABCD 中，OA=8，OC=4， BC=OA=8，AB=OC=4， 由折叠得到 OD=OA=BC，AOB=DOB，ODB=BAO=90， 在 RtCBP 和 RtDOB 中， ， RtCBPRtDOB(HL)， CBO=DOB， OE=EB， 设 CE=x，则 EB=OE=8x， 在 RtC
17、OE 中，根据勾股定理得：(8x) 2=x2+42， 解得：x=3， CE=3，OE=5，DE=3， 过 D 作 DFBC，可得COEFDE， =，即= =， 解得：DF=，EF= ， DF+OC=+4=，CF=3+ =， 则 D(，) 7 7(2019(2019 海南海南) )如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处若B 60，AB3，则ADE的周长为( ) A12 B15 C18 D21 【答案】C 【解析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC2AB6，AD6，再根据ADE是等边三角 形，即可得到ADE的周长为 6318 解：由折叠可得，AC
18、DACE90， BAC90， 又B60， ACB30， BC2AB6， AD6， 由折叠可得，EDB60， DAE60， ADE是等边三角形， ADE的周长为 6318 8 8(2019(2019 桂林桂林) )将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处， 且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为( ) A B C D 【答案】B 11 【解析】由折叠可得，AEOEDE，CGOGDG， E，G分别为AD，CD的中点， 设CD2a，AD2b，则AB2aOB，DGOGCGa，BG3a，BCAD2b， C90， RtBCG中
19、，CG 2+BC2BG2， 即a 2+(2b)2(3a)2， b 22a2， 即ba， ， 的值为， 二、填空题 9(2020襄阳)如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN若BFAD15，tanBNF= 5 2 ，则矩形ABCD的面积为 【答案】155 【解析】由折叠的性质得出BNFBEF，由条件得出 tanBEF= 5 2 ，设BF= 5x，BE2x，由勾股定理 得出EF3x，得出AB= 5BF，则可得出答案 将ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上， AFDE，AEEF， 矩形ABCD中，AB
20、F90， B，E，N，F四点共圆， BNFBEF， tanBEF= 5 2 ， 设BF= 5x，BE2x， EF= 2+ 2=3x， AE3x， AB5x， AB= 5BF S矩形ABCDABAD= 5BFAD= 5 15155 10(2020(2020牡丹江牡丹江) )如图，在 RtABC中，C90，点E在AC边上将A沿直线BE翻折，点A落在点 A处，连接AB，交AC于点F若AEAE，cosA= 4 5，则 = 【答案】1 3 【分析】根据题意设AC4x，AB5x，则BC3x，再证明BCE为等腰直角三角形，得到EC3x，根据 AEFBCF，得到 = = 1 3 解：C90，cosA= 4 5
21、， = 4 5，设 AC4x，AB5x，则BC3x， AEAE，AEA90，AEBC， 由于折叠， AEBAEB(36090)2135，且AEFBCF， BEC45，即BCE为等腰直角三角形， EC3x， AEACECxAE， = = 3 = 1 3， 11(2020安徽)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折 叠，使得点B落在CD上的点Q处折痕为AP；再将PCQ，ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在 AP上的同一点R处请完成下列探究： (1)PAQ的大小为 ； (2)当四边形APCD是平行四边形时， 的值为 【答案】(1)30；(2)3 【解
22、析】(1)由折叠的性质可得BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，D ARQ，CQRP，由平角的性质可得D+C180，AQP90，可证ADBC，由平行线的性质可 得DAB90，即可求解； (2)由平行四边形和折叠的性质可得ARPR，由直角三角形的性质可得AP2PB2QR，AB= 3PB，即可求 解 解：(1)由折叠的性质可得：BAQP，DAQQAPPAB，DQAAQR，CQPPQR，D ARQ，CQRP， QRA+QRP180， D+C180， ADBC， B+DAB180， DQR+CQR180， DQA+CQP90， AQP90， BAQP90， DAB90， DAQQA
23、PPAB30， 故答案为：30； (2)由折叠的性质可得：ADAR，CPPR， 四边形APCD是平行四边形， ADPC， ARPR， 又AQP90， QR= 1 2AP， PAB30，B90， AP2PB，AB= 3PB， PBQR， =3， 故答案为：3 1212(2019(2019 山东滨州山东滨州) )如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交与点H，连接线段BN，则EH与HN的比值 是 【答案】1：2 【解析】由折叠的性质可得ABBN，AEBEAB，ABMMBN，EFAB，由锐角三角
24、函数可求BNE 30，由直角三角形的性质可求HN2EH，即可求EH与HN的比值 解：由折叠的性质可得：ABBN，AEBEAB，ABMMBN，EFAB sinBNE BNE30 ABN60，且ABMMBN ABMMBN30BNE BH2EH，BHHN， HN2EH， EH与HN的比值是 1：2 1313 20202020 上海模拟上海模拟如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1，点 D 在 AC 上，将ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 ADED，那么线段 DE 的长为_. 【答案】1 【解析】在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1， AC=，
25、将ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处， ADB=EDB，DE=AD， ADED， CDE=ADE=90， EDB=ADB=135， CDB=EDBCDE=13590=45， C=90， CBD=CDB=45， CD=BC=1， DE=AD=ACCD=1 1414(2019(2019 内蒙古通辽内蒙古通辽) )如图，在边长为 3 的菱形ABCD中，A60，M是AD边上的一点，且AMAD， N是AB边上的一动点， 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN， 连接AC 则AC长度的最小值是 【答案】1 【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM， AMAD，ADCD3 AM
26、1，MD2 CDAB， HDMA60 HDMD1，HMHD CH4 MC 将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN， AMAM1， 点A在以M为圆心，AM为半径的圆上， 当点A在线段MC上时，AC长度有最小值 AC长度的最小值MCMA1 故答案为：1 15(2019(2019 辽宁抚顺辽宁抚顺) )在矩形ABCD中，AB6，AD3，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将 AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E、A、C三点在一条直线上时，DF的长度为 【答案】1 或 11； 【解析】 在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上， 第一次在EC线段上， 第二次在CE线段的延长线上，
27、 利用平行的性质证出CFCE，即可求解； 如图 1： 将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A， AEFEAF，AEAE， ABCD， AEFCFE， CFCE， AB6，AD3，AE2， CFCE6DF，AE2，BE4，BC3， EC5， 6DF5， DF1； 如图 2： 由折叠FEAFEA， ABCD， CFECEF， CFCE， CF5， DF11； 故答案为 1 或 11； 16如图，在菱形 ABCD 中，tanA=，M，N 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应 线段 EF 经过顶点 D，当 EFAD 时，的值为 【答案】 【解析】首先延长
28、NF 与 DC 交于点 H，进而利用翻折变换的性质得出 NHDC，再利用边角关系得出 BN，CN 的长进而得出答案 延长 NF 与 DC 交于点 H， ADF=90， A+FDH=90， DFN+DFH=180，A+B=180，B=DFN， A=DFH， FDH+DFH=90， NHDC， 设 DM=4k，DE=3k，EM=5k， AD=9k=DC，DF=6k， tanA=tanDFH=， 则 sinDFH=， DH=DF=k， CH=9kk=k， cosC=cosA=， CN=CH=7k， BN=2k， = 17.( (2 2019019 河河南南) )如图，在矩形ABCD 中，AB1，BC
29、a，点E 在边 BC 上，且 BE 3 5 a连接AE，将ABE沿 AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为_ 【答案】 5 3 或 5 3 【解析】 本题考查了折叠的性质： 折叠是一种对称变换， 它属于轴对称， 折叠 前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分 类讨论与数形结合是解题的关键 分两种情况：点B落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可 求出a的值； 点B落在CD边上， 证明ADBBCE， 据相似三角形对应边成比例即可求出a的值 分两种情况： 当点B落在AD边上时，如图 1 四
30、边形ABCD是矩形， BADB90， 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上， BAEBAE 1 2 BAD45， ABBE， 3 5 a1，a 5 3 ； 当点B落在CD边上时，如图 2 四边形ABCD是矩形， BADBCD90，ADBCa 将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上， BABE90，ABAB1，EBEB 3 5 a， DB 22 B AAD 2 1 a，ECBCBEa 3 5 a 2 5 a 在ADB与BCE 中， 0 0 90 90 B ADEB CAB I DC ， ADBBCE， DBAB CEB E ，即 2 11 23 55 a aa ， 解得 a1
31、5 3 ，a20(舍去) 综上，所求 a 的值为 5 3 或 5 3 1818(2019(2019 江苏淮安江苏淮安) )如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落 在矩形内点P处，连接AP，则 tanHAP 【答案】 【解析】如图，连接PB，交CH于E， 由折叠可得，CH垂直平分BP，BHPH， 又H为AB的中点， AHBH， AHPHBH， HAPHPA，HBPHPB， 又HAP+HPA+HBP+HPB180， APB90， APBHEB90， APHE， BAPBHE， 又RtBCH中，tanBHC， tanHAP， 三、解答题三、解答题 19(2
32、020(2020金华金华) )如图，在ABC中，AB42，B45，C60 (1)求BC边上的高线长 (2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF 如图 2，当点P落在BC上时，求AEP的度数 如图 3，连结AP，当PFAC时，求AP的长 【答案】见解析。 【分析】(1)如图 1 中，过点A作ADBC于D解直角三角形求出AD即可 (2)证明BEEP，可得EPBB45解决问题 如图 3 中，由(1)可知：AC= 60 = 83 3 ，证明AEFACB，推出 = ，由此求出 AF即可解决问 题 【解析】(1)如图 1 中，过点A作ADBC于D 在 RtABD中，
33、ADABsin4542 2 2 =4 (2)如图 2 中， AEFPEF， AEEP， AEEB， BEEP， EPBB45， PEB90， AEP1809090 如图 3 中，由(1)可知：AC= 60 = 83 3 ， PFAC， PFA90， AEFPEF， AFEPFE45， AFEB， EAFCAB， AEFACB， = ，即 42 = 22 83 3 ， AF23， 在 RtAFP，AFFP， AP= 2AF26 方法二：AEBEPE可得直角三角形ABP，由PFAC，可得AFE45，可得FAP45，即PAB 30 APABcos3026 20(2020 湘潭模拟)如图所示，在 Rt
34、ABC 中，C=90，ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的 点 E 处 (1)求证：BDEBAC； (2)已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度 【答案】见解析。 【解析】证明：(1)C=90，ACD 沿 AD 折叠， C=AED=90， DEB=C=90， B=B， BDEBAC； (2)由勾股定理得，AB=10 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90 BE=ABAE=106=4， 在 RtBDE 中，由勾股定理得， DE 2+BE2=BD2， 即 CD 2+42=(8CD)2， 解得：CD=3， 在 RtACD 中，由勾股定理得 AC 2+
35、CD2=AD2， 即 3 2+62=AD2， 解得：AD= 21.(2020 牡丹江)如图， 四边形 ABCD 是正方形， 点 E 在直线 BC 上， 连接 AE 将ABE 沿 AE 所在直线折叠， 点 B 的对应点是点 B，连接 AB并延长交直线 DC 于点 F (1)当点 F 与点 C 重合时如图(1)，易证：DF+BE=AF(不需证明)； (2)当点 F 在 DC 的延长线上时如图(2)，当点 F 在 CD 的延长线上时如图(3)，线段 DF、BE、AF 有怎样的数 量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 【答案】见解析。 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性
36、质以及翻折变换，是一道综合型的题目，难度 不大，而证明三角形的全等是解题的关键 (1)由折叠可得 AB=AB，BE=BE， 四边形 ABCD 是正方形， AB=DC=DF，CBE=45， BE=BF， AF=AB+BF， 即 DF+BE=AF； (2)图(2)的结论：DF+BE=AF； 图(3)的结论：BEDF=AF； 图(2)的证明：延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG， 需证ABEADG， CBAD， AEB=EAD， BAE=BAE， BAE=DAG， GAF=DAE， AGD=GAF， GF=AF， BE+DF=AF； 图(3)的证明：在 BC 上取点 M，使 BM=DF，连接 AM， 需证ABMADF， BAM=FAD，AE=AM ABEABE BAE=EAB， MAE=DAE， ADBE， AEM=DAB， MAE=AEM， ME=MA=AF， BEDF=AF
