1、专题专题 53 53 中考几何动态试题解法中考几何动态试题解法 一、动态问题概述一、动态问题概述数数 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性 问题等。怎 2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。怎样 3.就图形变化而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等。 4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求 解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分 析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之
2、重，属于初中数学难点，综合性强，只有完 全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型二、动点与函数图象问题常见的四种类型 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 、 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。怎样解决好 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之 间的关系，判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型三、图形运动
3、与函数图象问题常见的三种类型寸寸 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与 变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题 中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。怎样解决好中考数 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四 边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型解题思路四、动点问题常见的四种类型解题思路 1.三角
4、形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角 的关系。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它 们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三 角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤五、解决动态问题一般步骤 (1)用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分类 讨论。有时符合试题要求的情况不止
5、一种，这时也需要分类讨论。 (2)画出符合题意的示意图。 (3)根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。 【例题【例题 1 1】(2020(2020连云港连云港) )如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 2 的O与x轴的正半轴交于点A，点B 是O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y= 3 4x3 与 x轴、y轴分别交于点D、E，则CDE面积的最小 值为 【答案】2 【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N首先证明点C的运动轨迹是 以M为圆心，1 为半径的M，设M交MN于C求出MN，当点C与C重合时，CDE的面积最小 【解析】如图，连接OB，取
6、OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N ACCB，AMOM， MC= 1 2OB1， 点C的运动轨迹是以M为圆心，1 为半径的M，设M交MN于C 直线y= 3 4x3 与 x轴、y轴分别交于点D、E， D(4，0)，E(0，3)， OD4，OE3， DE= 32+ 42=5， MDNODE，MNDDOE， DNMDOE， = ， 3 = 3 5， MN= 9 5， 当点C与C重合时，CDE的面积最小，最小值= 1 2 5(9 5 1)2 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 年浙江台州模拟年浙江台州模拟) )如图所示，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中
7、点 O 为圆 心， 作半圆与 AC 相切， 点 P， Q 分别是边 BC 和半圆上的动点， 连接 PQ， 则 PQ 长的最大值与最小值的和是( ) A6 B2+1 C9 D 【答案】C 【解析】如图，设O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC 垂足为 P1交O 于 Q1， 此时垂线段 OP1最短，P1Q1最小值为 OP1OQ1， AB=10，AC=8，BC=6， AB 2=AC2+BC2，C=90， OP1B=90，OP1AC AO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4， P1Q1最小值为 OP1OQ1=1， 如图，当 Q2在 AB 边上时，P2 与 B 重合时， P2Q2最大
8、值=5+3=8， PQ 长的最大值与最小值的和是 9 【点拨】设O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC 垂足为 P1交O 于 Q1，此时垂线段 OP1最短，P1Q1最 小值为 OP1OQ1， 求出 OP1， 如图当 Q2在 AB 边上时， P2 与 B 重合时， P2Q2最大值=5+3=8， 由此不难解决问题 【例题【例题 2 2】(2020(2020重庆重庆) )如图，在 RtABC中，BAC90，ABAC，点D是BC边上一动点，连接AD，把 AD绕点A逆时针旋转 90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF (1)求证：CF= 2 2 AD； (2)如图 2 所
9、示，在点D运动的过程中，当BD2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在 的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)在点D运动的过程中， 在线段AD上存在一点P， 使PA+PB+PC的值最小 当PA+PB+PC的值取得最小值时， AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长 【答案】见解析。 【分析】(1)由“SAS”可证BADCAE，可得ABDACE45，可求BCE90，由直角三角形的 性质和等腰直角三角形的性质可得结论； (2)过点G作GHBC于H，设CDa，可得BD2a，BC3a，ABAC= 32 2 a，由全等三角形的性质可得BD CE2a，由锐角三角函数可求GH2CH
10、，可求CHa，可求BG的长，即可求AG= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC； (3)将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC 值最小， 由旋转的性质可得BPN是等边三角形， CBM是等边三角形， 可得BPNBNP60，BMCM， 由直角三角形的性质可求解 证明：(1)ABAC，BAC90， ABCACB45， 把AD绕点A逆时针旋转 90，得到AE， ADAE，DAE90BAC， BADCAE，DE= 2AD， 又ABAC， BADCAE(SAS)， ABDACE45， BCEBCA+ACE90， 点F是DE的中点， C
11、F= 1 2DE= 2 2 AD； (2)AG= 2 6 BC， 理由如下：如图 2，过点G作GHBC于H， BD2CD， 设CDa，则BD2a，BC3a， BAC90，ABAC， ABAC= 2 = 32 2 a， 由(1)可知：BADCAE， BDCE2a， CFDF， FDCFCD， tanFDCtanFCD， = =2， GH2CH， GHBC，ABC45， ABCBGH45， BHGH， BG= 2BH BH+CHBC3a， CHa，BHGH2a， BG22a， AGBGAB= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC； (3)如图 31，将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM，
12、连接PN， BPBN，PCNM，PBN60， BPN是等边三角形， BPPN， PA+PB+PCAP+PN+MN， 当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小， 此时，如图 32，连接MC， 将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM， BPBN，BCBM，PBN60CBM， BPN是等边三角形，CBM是等边三角形， BPNBNP60，BMCM， BMCM，ABAC， AM垂直平分BC， ADBC，BPD60， BD= 3PD， ABAC，BAC90，ADBC， ADBD， 3PDPD+AP， PD= 3:1 2 m， BD= 3PD= 3:3 2 m， 由(1)可知：CEBD= 3
13、:3 2 m 【对点练习】【对点练习】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB4，DAB120，动点P从点A出 发，以每秒 2 个单位的速度沿AC向终点C运动过P作PEAB交AB于点E，作PFAD交AD于点F，设 四边形AEPF与ABD的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t (1)用含t的代数式表示线段BE的长； (2)当点P与点O重合时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式； (4)在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒 6 个单位的速度沿折线CDAB运动，设点Q关 于AC的对称点是Q，直接写出PQ与菱形ABCD的边垂直时t的值 【答案】见解析。 【解析】(1)
14、如图 1 中， 四边形ABCD是菱形， ABBCCDAD，CADCABDAB60， ADC，ABC都是等边三角形， PEAB，PA2t， PEA90，APE30， AEPAt， BEABAE4t (2)当点P与点O重合时，PAOA22t， t1 时，点P与点O重合 (3)当 0t1 时，如图 1 中，重叠部分是四边形PEAF，S2ttt 2 当 1t2 时，如图 2 中，重叠部分是五边形AEMNF，SS四边形PEAFSPMNt 2 () 2 t 2+ t (4)如图 41 中，当PQBC时，易知PC2CQ，可得 42t26t，解得t 如图 42 中，当点Q与点F重合时，PQAB，则有：6t+t
15、8，t 如图 43 中，当点Q与点E重合时，PQAD，则有：6t8+t，t， 综上所述，满足条件的t的值为s或s或s 【点拨】本题是几何图形中的动点综合题问题，可以用一下思路解决：(1)解直角三角形求出AE即可解决 问题 (2)根据PAOA，构建方程即可解决问题 (3)分两种情形分别画出图形解决问题即可 (4)分三种情形： 如图 41 中， 当PQBC时 如图 42 中， 当点Q与点F重合时 如图 43 中， 当点Q与点E重合时，分别求解即可 【例题【例题 3 3】(2020(2020苏州苏州) )如图，已知MON90，OT是MON的平分线，A是射线OM上一点，OA8cm动 点P从点A出发，以
16、 1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 1cm/s 的速度沿ON竖直向上作匀速运动连接PQ，交OT于点B经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、 QC设运动时间为t(s)，其中 0t8 (1)求OP+OQ的值； (2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 (3)求四边形OPCQ的面积 【答案】见解析。 【分析】(1)由题意得出OP8t，OQt，则可得出答案； (2)如图，过点B作BDOP，垂足为D，则BDOQ设线段BD的长为x，则BDODx，OB= 2BD= 2x， PD8tx，得出 = ，则 8; 8;
17、= ，解出 x= 8;2 8 由二次函数的性质可得出答案； (3)证明PCQ是等腰直角三角形则SPCQ= 1 2PCQC= 1 2 2 2 2 2 PQ= 1 4PQ 2在 RtPOQ 中，PQ 2OP2+OQ2 (8t) 2+t2由四边形 OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ可得出答案 【解析】(1)由题意可得，OP8t，OQt， OP+OQ8t+t8(cm) (2)当t4 时，线段OB的长度最大 如图，过点B作BDOP，垂足为D，则BDOQ OT平分MON， BODOBD45， BDOD，OB= 2BD 设线段BD的长为x，则BDODx，OB= 2BD= 2x，PD8tx， BDOQ， =
18、， 8; 8; = ， x= 8;2 8 OB= 2 8;2 8 = 2 8 ( 4)2+ 22 当t4 时，线段OB的长度最大，最大为 22cm (3)POQ90， PQ是圆的直径 PCQ90 PQCPOC45， PCQ是等腰直角三角形 SPCQ= 1 2PCQC= 1 2 2 2 2 2 PQ= 1 4PQ 2 在 RtPOQ中，PQ 2OP2+OQ2(8t)2+t2 四边形OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ= 1 2 + 1 4 2， = 1 2(8 ) + 1 4(8 ) 2 + 2， 4t 1 2 2 + 1 2 2 +164t16 四边形OPCQ的面积为 16cm 2 【对点练习】
19、【对点练习】(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图，直线yx+1 与抛物线yx 24x+5 交于 A，B两点，点P是y轴上的 一个动点，当PAB的周长最小时，SPAB 【答案】 【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题 意，利用数形结合的思想解答 根据轴对称，可以求得使得PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度， 即可求得PAB的面积，本题得以解决 ， 解得，或， 点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)， AB3， 作点A关于y轴的对称点A，连接AB与y轴的交于P，则此时PAB的周长最小， 点A的坐
20、标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)， 设直线AB的函数解析式为ykx+b， ，得， 直线AB的函数解析式为yx+， 当x0 时，y， 即点P的坐标为(0，)， 将x0 代入直线yx+1 中，得y1， 直线yx+1 与y轴的夹角是 45， 点P到直线AB的距离是：(1)sin45， PAB的面积是：， 【点拨】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题 意，利用数形结合的思想解答 一、选择题一、选择题 1 1(2019(2019 海南海南) )如图，在 RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动点，过点P作PQ AB交BC于点Q，D为线段P
21、Q的中点，当BD平分ABC时，AP的长度为( ) A B C D 【答案】B 【解析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到QBQD，根 据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 解：C90，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP 2.(20192.(2019四川省达州市四川省达州市) )如图， 边长都为 4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上， 点A与点F重合现将EFG沿AB方向以每秒 1 个
22、单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止在这个 运动过程中，正方形ABCD和EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式， 从而可以判断哪个选项中的图象符合题意， 本题得以解决 当 0t2 时，S，即S与t是二次函数关系，有最小值(0，0)，开口向上， 当 2t4 时，S，即S与t是 二次函数关系，开口向下， 由上可得，选项C符合题意。 3 3(2019(2019山东泰安山东泰安) )如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点， 连接PB，则PB的最小值是
23、( ) A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解 即可如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2， P1P2CE且P1P2CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP 由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF 点P的运动轨迹是线段P1P2， 当BPP1P2时，PB取得最小值 矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点， CBE
24、、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即BP1P1P2， BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1BC2 BP12 PB的最小值是 2 4 4(2019(2019山东潍坊山东潍坊) )如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点 D设 运动的路程为x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是( ) AB CD 【答案】D 【解析】由题意当 0 x3 时，y3，当 3x5 时，y3(5x)x+由此即可判断 由题意当 0 x3 时，y3， 当 3
25、x5 时，y3(5x)x+ 5.(20195.(2019湖北武汉湖北武汉) )如图，AB是O的直径，M、N是(异于 A.B)上两点，C是上一动点，ACB的角平 分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则 C.E两点的运动路径长的 比是( ) A B C D 【答案】A 【解析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的 运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题 如图， 连接EB 设OAr 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上， 运动轨迹是， 点C的运动轨迹是， 由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问
26、题 AB是直径，ACB90， E是ACB的内心，AEB135， ACDBCD， ，ADDBr，ADB90， 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， MON2GDF，设GDF，则MON2 6.(20196.(2019甘肃武威甘肃武威) )如图，在矩形ABCD中，ABAD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿 ABBCCD向点D运动设点P的运动路程为x，AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示， 则AD边的长为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到 分界
27、点极值，结合图象得到相关线段的具体数值 当P点在AB上运动时，AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，AOP面积最大为 3 AB3，即ABBC12 当P点在BC上运动时，AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，AOP面积为 0，此时结合图象可知P点 运动路径长为 7， AB+BC7 则BC7AB，代入ABBC12，得AB 27AB+120，解得 AB4 或 3， 因为ABAD，即ABBC， 所以AB3，BC4 二、填空题二、填空题 7 7(2019(2019 桂林桂林) )如图，在矩形ABCD中，AB，AD3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关 于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1
28、C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动， 点Q的运动路径长为 【答案】 【解析】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD 四边形ABCD是矩形， BAD90， tanABD， ABD60， A1QQC，BOOC， OQBA1AB， 点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为 120， 点Q的运动路径长 8如图，AB 是O 的弦，AB=5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中 点，则 MN 长的最大值是 【答案】 【解析】如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MN=BC， 当 BC 取得最大值时，
29、MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC， BC是O 的直径， BAC=90 ACB=45，AB=5， ACB=45， BC=5， MN最大= 故答案为： 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什 么时候 MN 的值最大，难度不大 9(2020 湖北随州模拟)如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3，0)是OB 上的一定点，点M是ON的中点，AOB30，要使PMPN最小，则点P的坐标为_ 【答案】(3 2， 3 2 )， 【解析】作点N关于OA的对称点N，连
30、接MN交OA于点P，则点P为所求 显然ONON，NON2AOB23060， ONN为等边三角形，MNON， OM3 2，则 PMOMtan303 2 3 3 3 2 ， 点P的坐标为(3 2， 3 2 ) 10.10.( (20192019四川广安四川广安) )如图1 . 8，在四边形ABCD中，ADBC， 30B,直线ABl .当直线l沿射线 BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的 距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2 . 8所示，则四边形ABCD的周长是 . x y MN O A P B x y M N N O A
31、P B 【答案】【答案】102 3 【解析】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3 当BE=4 时(即F与A重合)，EF=2，又因为lAB且B=30，所以AB=32， 因为当F与A重合时， 把CD平移到E点位置可得三角形AED为正三角形， 所以CD=2， 故答案时102 3. 三、解答题三、解答题 11(2020(2020铜仁市铜仁市) )如图，已知抛物线yax 2+bx+6 经过两点 A(1，0)，B(3，0)，C是抛物线与y轴的交 点 (1)求抛物线的解析式； (2)点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC的面积为S，求S关于m的函数表达 式(指出自变量m的取值
32、范围)和S的最大值； (3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相 似，如果存在，请求出点M和点N的坐标 【答案】见解析。 【分析】(1)根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)过点P作PFy轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为(m，2m 2+4m+6)，则点 F的坐标为(m， 2m+6)，进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出SPBC3m 2+9m，配方后利用二次函数的性 质即可求出PBC面积的最大值；
33、(3)分两种不同情况， 当点M位于点C上方或下方时， 画出图形， 由相似三角形的性质得出方程， 求出点M， 点N的坐标即可 【解析】(1)将A(1，0)、B(3，0)代入yax 2+bx+6， 得： + 6 = 0 9 + 3 + 6 = 0，解得： = 2 = 4 ， 抛物线的解析式为y2x 2+4x+6 (2)过点P作PFy轴，交BC于点F，如图 1 所示 当x0 时，y2x 2+4x+66， 点C的坐标为(0，6) 设直线BC的解析式为ykx+c， 将B(3，0)、C(0，6)代入ykx+c，得： 3 + = 0 = 6 ，解得： = 2 = 6 ， 直线BC的解析式为y2x+6 点P(
34、m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点P的坐标为(m，2m 2+4m+6)，则点 F的坐标为(m，2m+6)， PF2m 2+4m+6(2m+6)2m2+6m， SPBC= 1 2PFOB3m 2+9m3(m3 2) 2+27 4 ， 当m= 3 2时，PBC 面积取最大值，最大值为27 4 点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 0m3 (3)存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似 如图 2，CMN90，当点M位于点C上方，过点M作MDy轴于点D， CDMCMN90，DCMNCM， MCDNCM， 若CMN与OBC相似，则MCD与OBC相似， 设
35、M(a，2a 2+4a+6)，C(0，6)， DC2a 2+4a，DMa， 当 = = 3 6 = 1 2时，COBCDMCMN， ;22:4 = 1 2， 解得，a1， M(1，8)， 此时ND= 1 2DM= 1 2， N(0，17 2 )， 当 = = 1 2时，COBMDCNMC， ;2 2:4 = 1 2， 解得a= 7 4， M(7 4， 55 8 )， 此时N(0，83 8 ) 如图 3，当点M位于点C的下方， 过点M作MEy轴于点E， 设M(a，2a 2+4a+6)，C(0，6)， EC2a 24a，EMa， 同理可得：2 2;4 = 1 2或 22;4 =2，CMN与OBC相
36、似， 解得a= 9 4或 a3， M(9 4， 39 8 )或M(3，0)， 此时N点坐标为(0，3 8)或(0， 3 2) 综合以上得，M(1，8)，N(0，17 2 )或M(7 4， 55 8 )，N(0，83 8 )或M(9 4， 39 8 )，N(0，3 8)或 M(3，0)，N(0， 3 2)，使 得CMN90，且CMN与OBC相似 12(2020(2020嘉兴嘉兴) )在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如 图 1 所示建立直角坐标系)，抛物线顶点为点B (1)求该抛物线的函数表达式 (2)当球运动到点C时被东东抢到，CDx轴于点D，CD2.
37、6m 求OD的长 东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华， 目标为华华的接球点E(4，1.3)东东起跳后所持球离地面高度h1(m)(传球前)与东东起跳后时间t(s)满足 函数关系式h12(t0.5) 2+2.7(0t1)；小戴在点 F(1.5，0)处拦截，他比东东晚 0.3s垂直起跳，其 拦截高度h2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图 2 所示(其中两条抛物线的形状相同) 东东的直线传 球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由(直线 传球过程中球运动时间忽略不计) 【答案】见解析。 【分
38、析】(1)设ya(x0.4) 2+3.32(a0)，将 A(0，3)代入求解即可得出答案； (2)把y2.6 代入y2(x0.4) 2+3.32，解方程求出 x，即可得出OD1m； 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图 2， 设MDh1，NFh2， 当点M，N，E三点共线时， 过点E作EGMD于点G，交NF于点H，过点N作NPMD于点P，证明MPNNEH，得出 = ，则 NH 5MP分不同情况：()当 0t0.3 时，()当 0.3t0.65 时，()当 0.65t1 时，分别求出t 的范围可得出答案 【解析】(1)设ya(x0.4) 2+3.32(a0)， 把x0，y3 代入，解
39、得a2， 抛物线的函数表达式为y2(x0.4) 2+3.32 (2)把y2.6 代入y2(x0.4) 2+3.32， 化简得(x0.4) 20.36， 解得x10.2(舍去)，x21， OD1m 东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E 由图 1 可得，当 0t0.3 时，h22.2 当 0.3t1.3 时，h22(t0.8) 2+2.7 当h1h20 时，t0.65， 东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图 2， 设MDh1，NFh2， 当点M，N，E三点共线时，过点E作EGMD于点G，交NF于点H，过点N作NPMD于点P， MDNF，PNEG， MHEN，MNPNEH， MPNNE
40、H， = ， PN0.5，HE2.5， NH5MP ()当 0t0.3 时， MP2(t0.5) 2+2.72.22(t0.5)2+0.5， NH2.21.30.9 52(t0.5) 2+0.50.9， 整理得(t0.5) 20.16， 解得1= 9 10(舍去)，2 = 1 10， 当 0t0.3 时，MP随t的增大而增大， 1 10 3 10 ()当 0.3t0.65 时，MPMDNF2(t0.5) 2+2.72(t0.8)2+2.71.2t+0.78， NHNFHF2(t0.8) 2+2.71.32(t0.8)2+1.4， 2(t0.8) 2+1.45(1.2t+0.78)， 整理得t
41、24.6t+1.890， 解得，1= 23:285 10 (舍去)，2= 23;285 10 ， 当 0.3t0.65 时，MP随t的增大而减小， 3 10 23;285 10 ()当 0.65t1 时，h1h2，不可能 给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为 1 10 23;285 10 13(2020(2020黔东南州黔东南州) )已知抛物线yax 2+bx+c(a0)与 x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交 于点C(0，3)，顶点D的坐标为(1，4) (1)求抛物线的解析式 (2)在y轴上找一点E，使得EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标 (3)点P是x轴上的动点，点Q是
42、抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为 一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论； (2)先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可； (3)利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论 【解析】(1)抛物线的顶点为(1，4)， 设抛物线的解析式为ya(x1) 24， 将点C(0，3)代入抛物线ya(x1) 24 中，得 a43， a1， 抛物线的
43、解析式为ya(x1) 24x22x3； (2)由(1)知，抛物线的解析式为yx 22x3， 令y0，则x 22x30， x1 或x3， B(3，0)，A(1，0)， 令x0，则y3， C(0，3)， AC= 10， 设点E(0，m)，则AE= 2+ 1，CE|m+3|， ACE是等腰三角形， 当ACAE时，10 = 2+ 1， m3 或m3(点C的纵坐标，舍去)， E(0，3)， 当ACCE时，10 =|m+3|， m310， E(0，3+10)或(0，310)， 当AECE时，2+ 1 =|m+3|， m= 4 3， E(0， 4 3)， 即满足条件的点E的坐标为(0，3)、(0，3+10)
44、、(0，310)、(0， 4 3)； (3)如图，存在，D(1，4)， 将线段BD向上平移 4 个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样 便存在点Q，此时点D的对应点就是点P， 点Q的纵坐标为 4， 设Q(t，4)， 将点Q的坐标代入抛物线yx 22x3 中得，t22t34， t1+22或t122， Q(1+22，4)或(122，4)， 分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G， 抛物线yx 22x3 与 x轴的右边的交点B的坐标为(3，0)，且D(1，4)， FBPG312， 点P的横坐标为(1+22)21+22或(122)2122， 即P(1+22，0)
45、、Q(1+22，4)或P(122，0)、Q(122，4) 14(2020(2020遂宁遂宁) )如图，抛物线yax 2+bx+c(a0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点 (1)求抛物线的解析式 (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若 直线BE将ABD的面积分为 1：2 两部分，求点E的坐标 (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【分析】(1)设抛物线解析式为：ya(x1
46、)(x3)，把点C坐标代入解析式，可求解； (2)先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求SABD= 1 2 2 66，设点E(m，2m2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； (3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解 【解析】(1)抛物线yax 2+bx+c(a0)的图象经过 A(1，0)，B(3，0)， 设抛物线解析式为：ya(x1)(x3)， 抛物线ya(x1)(x3)(a0)的图象经过点C(0，6)， 6a(01)(03)， a2， 抛物线解析式为：y2(x1)(x3)2x 28x+6； (2)y2x 28x+62(x2)22，
47、顶点M的坐标为(2，2)， 抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， 点N(2，2)， 设直线AN解析式为：ykx+b， 由题意可得：0 = + 2 = 2 + ， 解得： = 2 = 2， 直线AN解析式为：y2x2， 联立方程组得： = 2 2 = 2 2 8 + 6， 解得： 1= 1 1= 0， 2= 4 2= 6， 点D(4，6)， SABD= 1 2 266， 设点E(m，2m2)， 直线BE将ABD的面积分为 1：2 两部分， SABE= 1 3SABD2 或 SABE= 2 3SABD4， 1 2 2(2m2)2 或1 2 2(2m2)4， m2 或 3， 点E(2，2)或(3，4)； (3)若AD为平行四边形的边， 以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ADPQ， xDxAxPxQ或xDxAxQxP， xP41+25 或xP24+11， 点P坐标为(5，16)或(1，16)； 若AD为平行四边形的对角线， 以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， AD与PQ互相平分， : 2 = : 2 ， xP3， 点P坐标为(3，0)， 综上所述：当点P坐标为(5，16)
