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专题33最值问题(教师版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)

1、 1 专题专题 33 最值问题最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要 为以下几种: 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 (a、b、c 为常数且a 0)其性质中有 若a 0当x b a 2 时,y 有最小值。y acb a min 4 4 2 ; 若a 0当x b a 2 时,y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性 一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数, 图象是一条直线, 因而没有最大 (小) 值;但当mxn时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就

2、有最大(小)值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y 的取值范 围,并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内,显然有abkk 22 ,当且仅当ab 0时,等号成立,即abk 22 的最小值 为 k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值,再加以比较, 从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式xa中,xa是最大值,在

3、不等式xb中,xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式 获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法” 。 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 1 1】 (经典题)】 (经典题)二次函数 y=2(x3) 24 的最小值为 【答案】4 【解析】题中所给的解析式为顶点式,可直接得到顶点坐标,从而得出解答 二次函数 y=2(x3) 24 的开口向上,顶点坐标为(3,4) , 所以最小值为4 【例题【例题 2 2】(】(20182018 江西)江西)如图,AB 是O 的弦,

4、AB=5,点 C 是O 上的一个动点,且ACB=45,若点 M、 N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是 【答案】 【解析】根据中位线定理得到 MN 的最大时,BC 最大,当 BC 最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最 大值 如图,点 M,N 分别是 AB,AC 的中点, MN=BC, 当 BC 取得最大值时,MN 就取得最大值,当 BC 是直径时,BC 最大, 连接 BO 并延长交O 于点 C,连接 AC, BC是O 的直径, BAC=90 ACB=45,AB=5, ACB=45, 3 BC=5, MN最大= 【例题【例题 3 3】 (】 (20192019 湖南张家界)

5、湖南张家界)已知抛物线yax 2bxc(a0)过点 A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交 于点C,OC3 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形; (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值; (4)若点Q为线段OC上的一动点,问AQ1 2QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请 说明理由 【思路分析】【思路分析】 (1)将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值(当然用两根式做更方 便) ; (2)先证四边形AMBD为矩形,再证该矩形有一组

6、邻边相等,即可证明该四边形为正方形; (3)如答 图 2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m 24m3),易知直线 BC的解析式为yx3, 则E(m,m3),PE(m3)(m 24m3)m23m再由 SPBCSPBESCPE,转化为1 2PEOB 1 23 (m 23m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定 SPBC的最大值与点P坐标; (4)解决本问按两步走: 一找(如答图 3,设OQt,则CQ3t,AQ1 2QC 2 1 1(3) 2 tt ,取CQ的中点G,以点Q为圆心, QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ1 2QCQ 的直径最小) 、二求(由 AQ1 2QC,解关于

7、 t 的方 程即可) 【解题过程】【解题过程】 (1)抛物线yax 2bxc(a0)过点 A(1,0),B(3,0)两点, -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 4 令抛物线解析为ya(x1)(x3) 该抛物线过点C(0,3), 3a(01)(03),解得a1 抛物线的解析式为y(x1)(x3),即yx 24x3 yx 24x3(x2)21, 抛物线的顶点D的坐标为(2,1) 综上,所求抛物线的解析式为yx 24x3,顶点坐标为(2,1) (2)如答图 1,连接AD、BD,易知DADB OBOC,BOC90, MBA45 D(2,1),A(3,0), DBA45

8、DBM90 同理,DAM90 又AMBC, 四边形ADBM为矩形 又DADB, 四边形ADBM为正方形 (3)如答图 2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m 24m3),易知直线 BC的解析式为y x3,则E(m,m3),PE(m3)(m 24m3)m23m -2 -1 -1 3 2 1 321 y x O M D C BA 图 1 5 SPBCSPBESCPE1 2PEBF 1 2PEOF 1 2PEOB 1 23(m 23m) 3 2 (m 3 2) 227 8 , 当m3 2时,SPBC有最大值为 27 8 ,此时 P 点的坐标为(3 2, 3 4) (4)如答图 3,设

9、OQt,则CQ3t,AQ1 2QC 2 1 1(3) 2 tt , 取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ1 2QCQ 的直径最小, 此时,2+ 1 = 1 2(3 ),解得 t26 3 1, 于是AQ1 2QC 的最小值为 3t3(26 3 1)426 3 1.1.(20182018 河南)河南)要使代数式2 3有意义,则 x 的( ) A.最大值为2 3 B.最小值为 2 3 C.最大值为3 2 D.最大值为 3 2 【答案】A. 【解析】要使代数式2 3有意义,必须使 2-3x0,即 x2 3,所以 x 的最大值为 2 3。 2.2.(20182018 四

10、川绵阳)四川绵阳)不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数,那么此高 的最大值可能为_。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 图 2 F E P -2 -1 -1 3 2 1 3 21 y x O M D C BA G Q -2 -1 -1 3 2 1 3 21 y x O D C BA 图 3 专题典型训练题 专题典型训练题 6 因为2412Sabch ABC ,所以ab 3 又因为cabb 4,代入12bch 得124bbh,所以h 3 又因为cabb 2,代入12bch 得122bbh,所以h 6 所以 3h6,故整数 h 的

11、最大值为 5。 3.3.(20182018 齐齐哈尔)齐齐哈尔)设 a、b 为实数,那么aabbab 22 2的最小值为_。 【答案】-1 【解析】aabbab 22 2 ababb a b bb a b b 22 22 22 12 1 2 3 4 3 2 1 4 1 2 3 4 111 () () ()() 当a b 1 2 0,b 10,即ab01,时, 上式等号成立。故所求的最小值为1。 4.4.(20182018 云南)云南)如图,MN 是O 的直径,MN=4,AMN=40,点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一 个动点,则 PA+PB 的最小值为 【答案】2 【解析

12、】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出AON 的度数,再由勾股定理即可求解过 A 作关 于直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 7 连接 OB,OA,AA, AA关于直线 MN 对称, =, AMN=40, AON=80,BON=40, AOB=120, 过 O 作 OQAB 于 Q, 在 RtAOQ 中,OA=2, AB=2AQ=2, 即 PA+PB 的最小值 2 5.5.(20182018 海南)海南)某水果店在两周内,将标

13、价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤, 并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第 1 天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数 关系式,并求出第几天时销售利润最大? 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x400 (3)在(2)的条件下,

14、若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元? 【答案】看解析。 【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价格为 10(1x),第二次降价后的价格为 10(1x) 2,进而可得方程; (2)分两种情况考虑,先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用” , 再分别求利润的最大值, 比较大小确定结论;(3) 设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a元, 利用不等关系 “ (2) 中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解答: (1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得

15、: 10(1x) 28.1 8 解方程得:x10.110%,x21.9(不合题意,舍去) 答:该种水果每次降价的百分率为 10% (2)第一次降价后的销售价格为:10(110%)9(元/斤), 当 1x9 时,y(94.1)(803x)(403x)17.7x352; 当 9x15 时,y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x260 x80, 综上,y与x的函数关系式为:y 17.7x352(1x9,x为整数), 3x260 x80(9x15,x为整数) 当 1x9 时,y17.7x352,当x1 时,y最大334.3(元); 当 9x15 时,y3x 260 x803(x1

16、0)2380,当 x10 时,y最大380(元); 334.3380,在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a元,依题意得: 380(8.1a4.1)(12015)(315 26415400)127.5, 解得:a0.5, 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 6.6. (20182018 湖北荆州)湖北荆州) 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为 40 只, 且每日产出的产品全部售出, 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R (元) , 售价每只为 P (元) , 且 R、 P 与 x 的关系式分别为Rx50030, Px

17、1702。 (1)当日产量为多少时,每日获得的利润为 1750 元; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】看解析。 【解析】 (1)根据题意得: ()()1702500301750 x xx 整理得xx 2 7011250 解得x125,x245(不合题意,舍去) (2)由题意知,利润为 PxRxxx 21405002351950 22 () 所以当x 35时,最大利润为 1950 元。 7.7.(20182018 吉林)吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是 600 元和 1000 元,现要求乙种工种的人数不少于

18、甲种工种人数的 2 倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使 得每月所付的工资最少? 【答案】看解析。 9 【解析】设招聘甲种工种的工人为 x 人,则乙种工种的工人为()150 x人, 由题意得: 1502xx 所以050 x 设所招聘的工人共需付月工资 y 元, 则有: yxxx 6001000 150400150000()(050 x) 因为 y 随 x 的增大而减小 所以当x 50时,ymin 130000(元) 8.8.(经典题)(经典题)求 xx xx 2 2 1 1 的最大值与最小值。 【答案】最大值是 3,最小值是。 【解析】此题要求出最大值与最小值,直接求则较困难,若根据题意构造

19、一个关于未知数 x 的一元二次方 程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y 的取值范围,并由此得出 y 的最值。 设 xx xx y 2 2 1 1 ,整理得 即 因为 x 是实数,所以 即()()14 10 22 yy 解得 1 3 3y 所以 xx xx 2 2 1 1 的最大值是 3,最小值是。 9.9.(经典题)(经典题)求代数式xx1 2 的最大值和最小值。 【答案】最大值为 1/2,最小值为-1/2. 【解析】设yxx1 2 , 11x,再令x sin, 22 ,则有 yxx11 1 2 2 22 sinsinsincossin 所以得 y 的最大值为 1/2,最小值为-1/

20、2. 10.10.(经典题)(经典题)求函数yxx | |14 5的最大值。 【答案】0 【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值,再 加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 易知该函数有两个零点、 当x 4时 10 yxx ()()1450 当 41x时 当x 4时,得 10280yx 当x 1时,yxx ()()14510 综上所述,当x 4时,y 有最大值为 11. 11. (20182018 山东济南)山东济南)已知 x、y 为实数,且满足xym 5,xyymmx 3,求实数 m 最大值与 最小值。 【答案】 m 的最大值是

21、13 3 ,m 的最小值是1。 【解析】由题意得 xym xym xymmmm 5 33553 2 ()() 所以 x、y 是关于 t 的方程tm tmm 22 5530()()的两实数根, 所以 ()()54530 22 mmm 即310130 2 mm 解得 1 13 3 m m 的最大值是 13 3 ,m 的最小值是1。 12.12.(20192019 年黑龙江省大庆市)年黑龙江省大庆市)如图,在 RtABC中,A90AB8cm,AC6cm,若动点D从B出发, 沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况) ,运动速度为 2cm/s,过点D作DEBC交AC于 点E,连接BE,设动

22、点D运动的时间为x(s) ,AE的长为y(cm) (1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少? 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解 11 题的关键 (1)由平行线得ABCADE,根据相似形的性质得关系式. 动点D运动x秒后,BD2x 又AB8,AD82x DEBC, , , y关于x的函数关系式为y(0 x4) (2)由SBDAE;得到函数解析式,然后运用函数性质求解 SBDE(0 x4) 当时,SBDE最大,最大值为 6cm 2 13.13.(2

23、0192019 年宁夏)年宁夏)如图,在ABC中,A90,AB3,AC4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点 M不与A,B重合) ,且MQBC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x (1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC; (2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由; (3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值 【答案】见解析。 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形 的判定定理、二次函数的性质是解题的关键 (1)MQBC, MQB90, 12 MQBCAB,又QBMA

24、BC, QBMABC; (2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答; 当BQMN时,四边形BMNQ为平行四边形, MNBQ,BQMN, 四边形BMNQ为平行四边形; (3)根据勾股定理求出BC,根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM,根据梯形面积公式列出二次函数 解析式,根据二次函数性质计算即可 A90,AB3,AC4, BC5, QBMABC, ,即, 解得,QMx,BMx, MNBC, ,即, 解得,MN5x, 则四边形BMNQ的面积(5x+x)x(x) 2+ , 当x时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为 14. 14. (20192019 广东深圳)广东深圳)如图所示,抛物线

25、= 2+ + 过点 A(1,0) ,点 C(0,3) ,且 OB=OC (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点 D,E 在直线 x=1 上的两个动点,且 DE=1,点 D 在点 E 的上方,求四边形 ACDE 的周长的最小值, (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 35 两部分,求点 P 的坐标 13 【思路分析】【思路分析】 (1)先求出点 B 的坐标,然后把 A、B、C 三点坐标代入解析式得出方程组,解方程组即可得 出 a,b,c 的值,得解析式,再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程; (2)利用轴对称原理 作出点 C 的对称

26、点,求出四边形 CDEA 的周长的最小值; (3)方法 1:设 CP 与 x 轴交于点 E,先根据面积关 系得出 BE:AE=3:5 或 5:3,求出点 E 的坐标,进而求出直线 CE 的解析式,解直线 CE 与抛物线的解析式联 立所得的方程组求出点 P 的坐标;方法 2:设 P(x,x 2+2x+3) ,用含 x 的式子表示四边形 CBPA 的面积, 然后求出 CB 的解析式,再用含 x 的式子表示出CBP 的面积,利用面积比建立方程,解方程求出 x 的值, 得出 P 的坐标 【解题过程】【解题过程】 (1)点 C(0,3) ,OB=OC,点 B(3,0) 把 A(1,0) ,C(0,3)

27、,B(3,0)代入 = 2+ + ,得 + = 0, 9 + 3 + = 0, = 3, 解得 =1, = 2, = 3. 抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3 y=x 2+2x+3=(x1)2+4, 抛物线的对称轴为 x=1 (2)如图,作点 C 关于 x=1 的对称点 C(2,3) ,则 CD=CD 取 A(1,1) ,又DE=1,可证 AD=AE 在 RtAOC 中,AC=2+ 2=12+ 32=10 四边形 ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE =10+1+CD+AE 要求四边形 ACDE 的周长的最小值,就是求 CD+AE 的最小值 CD+AE=CD+AD, 当 AD,C三点共

28、线时,CD+AD 有最小值为13, 四边形 ACDE 的周长的最小值=10+1+13 14 (3)方法 1:由题意知点 P 在 x 轴下方,连接 CP,设 PC 与 x 轴交于点 E, 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分, 又SCBE:SCAE=SPBE:SPAE=BE:AE, BE:AE=3:5 或 5:3, 点 E1(3 2,0) ,E2( 1 2,0) 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b, (3 2,0)和(0,3)代入,得 3 2 + = 0, = 3, 解得 = 2, = 3. 直线 CE 的解析式为 y=2x+3 同理可得,当 E2(1 2,0)时,直线

29、 CE 的解析式为 y=6x+3 由直线 CE 的解析式和抛物线的解析式联立解得 P1(4,5) ,P2(8,45). 方法 2:由题意得 SCBP=3 8S 四边形 CBPA或 SCBP=5 8S 四边形 CBPA 令 P(x,x 2+2x+3) , S四边形 CBPA=SCAB+SPAB=6+1 24 (x 22x3)=2x24x 直线 CB 的解析式为 y=x+3, 作 PHy 轴交直线 CB 于点 H,则 H(x,x+3) , 15 SCBP=1 2OBPH= 1 23 (x+3+x 22x3)=3 2x 29 2x 当 SCBP=3 8S 四边形 CBPA时,3 2x 29 2x=

30、3 8(2x 24x) , 解得 x1=0(舍) ,x2=4, P1(4,5) 当 SCBP=5 8S 四边形 CBPA时,3 2x 29 2x= 5 8(2x 24x) , 解得 x3=0(舍) ,x4=8, P2(8,45) 15.15.(20192019 广西省贵港)广西省贵港)已知:ABC是等腰直角三角形,90BAC,将ABC绕点C顺时针方向旋转 得到A B C ,记旋转角为,当90180 时,作A DAC,垂足为D,A D与B C交于点E (1)如图 1,当15CA D时,作A EC 的平分线EF交BC于点F 写出旋转角的度数; 求证:EAECEF; (2) 如图 2, 在 (1)

31、的条件下, 设P是直线A D上的一个动点, 连接PA,PF, 若2AB , 求线段PAPF 的最小值 (结果保留根号). 【思路分析】【思路分析】 (1)解直角三角形求出ACD 即可解决问题 连接A F,设EF交CA于点O在EF时截取EMEC,连接CM首先证明CFA是等边三角形,再 证明FCM()ACE SAS,即可解决问题 (2)如图 2 中,连接A F,PB,AB,作B MAC交AC的延长线于M证明A EFA EB,推 16 出EFEB,推出B,F关于A E对称,推出PFPB,推出PAPFPAPBAB,求出AB即可解 决问题 【解题过程】【解题过程】 (1)解:旋转角为105 理由:如图

32、1 中, A DAC, 90A DC , 15CA D, 75ACD , 105ACA , 旋转角为105 证明:连接A F,设EF交CA于点O在EF时截取EMEC,连接CM 451560CEDACECA E , 120CEA , FE平分CEA, 60CEFFEA , 180457560FCO , FCOA EO ,FOCAOE , FOCAOE, OFOC AOOE , OFAO OCOE , COEFOA , COEFOA, 17 60FAOOEC , AOF是等边三角形, CFCAA F , EMEC,60CEM, CEM是等边三角形, 60ECM,CMCE, 60FCAMCE , F

33、CMACE , FCM()ACE SAS, FMAE, CEA EEMFMEF (2)解:如图 2 中,连接A F,PB,AB,作B MAC交AC的延长线于M 由可知,75EA FEA B ,AEAE,A FA B , A EFA EB, EFEB, B ,F关于A E对称, PFPB, PAPFPAPBAB, 在RtCB M中,22CBBCAB ,30MCB , 1 1 2 B MCB ,3CM , 2222 ( 23)162 6ABAMB M PAPF的最小值为62 6 18 16.16.(20192019 贵州省安顺市)贵州省安顺市)如图,抛物线y1 2x 2+bx+c 与直线y1 2x

34、+3 分别相交于 A,B两点,且此抛物线与 x轴的一个交点为C,连接AC,BC已知A(0,3) ,C(3,0) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MBMC|的值最大,并求出这个最大值; (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得 以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明 理由 【思路分析】【思路分析】 (1)将A(0,3) ,C(3,0)代入y1 2x 2+bx+c,即可求解; (2)分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时,两种情况分别求解

35、即可; (3)分当 = = 1 3时、当 = = 3时两种情况,分别求解即可 【解题过程】【解题过程】 (1)将A(0,3) ,C(3,0)代入y1 2x 2+bx+c 得: = 3 9 2 3 + = 0,解得: = 5 2 = 3 , 抛物线的解析式是y1 2x 2+5 2x+3; (2)将直线y1 2x+3 表达式与二次函数表达式联立并解得:x0 或4, A (0,3) ,B(4,1) 当点B、C、M三点不共线时, |MBMC|BC 当点B、C、M三点共线时, |MBMC|BC 当点、C、M三点共线时,|MBMC|取最大值,即为BC的长, 19 过点B作x轴于点E,在 RtBEC中,由勾

36、股定理得BC2+ 22, |MBMC|取最大值为2; (3)存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似 设点P坐标为(x,1 2x 2+5 2x+3) (x0) 在 RtBEC中,BECE1,BCE45, 在 RtACO中,AOCO3,ACO45, ACB18045 0450900,AC3 , 过点P作PQPA于点P,则APQ90, 过点P作PQy轴于点G,PQAAPQ90 PAGQAP,PGAQPA PGAACB90 当 = = 1 3时, PAGBAC, 1 2 2:5 2:3;3 = 1 3, 解得x11,x20, (舍去) 点P的纵坐标为1 21 2+5 21+36, 点P为(

37、1,6) ; 当 = = 3时, PAGABC, 1 2 2:5 2:3;3 = 3, 20 解得x113 3 (舍去) ,x20(舍去) , 此时无符合条件的点P 综上所述,存在点P(1,6) 17.17.(20192019 广西贺州)广西贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为( 1,0),且4OAOCOB,抛物线 2 (0)yaxbxc a图象经过A,B,C三点 (1)求A,C两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P 的坐标及PD的最大值 【思路分析】【思路分析】(1)44OAOCOB,

38、即可求解; (2)抛物线的表达式为: 2 (1)(4)(34)ya xxa xx,即可求解; (3) 2 2 sin(434 2 PDHPPFDxxx,即可求解 【解题过程】(1)44OAOCOB, 故点A、C的坐标分别为(4,0)、(0, 4); (2)抛物线的表达式为: 2 (1)(4)(34)ya xxa xx, 即44a ,解得:1a , 故抛物线的表达式为: 2 34yxx; (3)直线CA过点C,设其函数表达式为:4ykx, 将点A坐标代入上式并解得:1k , 故直线CA的表达式为:4yx, 21 过点P作y轴的平行线交AC于点H, 4OAOC,45OACOCA , / /PHy轴

39、,45PHDOCA , 设点 2 ( ,34)P x xx,则点( ,4)H x x , 22 22 sin(434)2 2 22 PDHPPFDxxxxx , 2 0 2 ,PD有最大值,当2x 时,其最大值为2 2, 此时点(2, 6)P 18.18.(20192019 内蒙古赤峰)内蒙古赤峰)如图,直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线yx 2+bx+c 经过 点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APBOCB?若存在,求出P点坐标;

40、若不存在,请说 明理由 【思路分析】【思路分析】(1)直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0) 、 (0, 3) ,将点B、C的坐标代入二次函数表达式,即可求解; 22 (2)如图 1,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,则此时EC+ED为最小,即可求解; (3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况,分别求解 【解题过程】(1)直线yx+3 与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0) 、 (0, 3) , 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:9 + 3 + = 0 = 3 ,解得: = 2 = 3, 故函数的表达式为

41、:yx 2+2x+3, 令y0,则x1 或 3,故点A(1,0) ; (2)如图 1,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,则此时EC+ED为最小, 函数顶点坐标为(1,4) ,点C(0,3) , 将CD的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线CD的表达式为:y7x3, 当y0 时,x= 3 7,故点 E(3 7,x) ; (3)当点P在x轴上方时,如下图 2, OBOC3,则OCB45APB, 过点B作BHAH,设PHAHm, 23 则PBPA= 2m, 由勾股定理得:AB 2AH2+BH2, 16m 2+(2mm)2,解得:m=2:66 2 (负值已舍去) , 则PB= 2m1+3

42、3, 则yP=(1 + 33)2+ 22= 10 3; 当点P在x轴下方时, 则yP(10 3) ; 故点P的坐标为(1,10 3)或(1,3 10) 19.19.(20192019湘潭)湘潭)如图一,抛物线yax 2+bx+c 过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点 (1)求该抛物线的解析式; (2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1y2,求P点横坐标x1的取值范围; (3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB, 点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求FMN周长的最小值 【分析】(1)将

43、三个点的坐标代入,求出a、b、c,即可求出关系式; (2)可以求出点Q(4,y2)关于对称轴的对称点的横坐标为:x2,根据函数的增减性,可以求出当y1 y2时P点横坐标x1的取值范围; (3)由于点F是BC的中点,可求出点F的坐标,根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点,连接两个对 称点的直线与CD、CE的交点M、N,此时三角形的周长最小,周长就等于这两个对称点之间的线段的长,根 据坐标,和勾股定理可求 【解答】(1)抛物线yax 2+bx+c 过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点 解得:a,b,c; 抛物线的解析式为:yx 2+ x+ 24 (2)抛物线的对称轴为x1,抛物线上与Q(

44、4,y2)相对称的点Q(2,y2) P(x1,y1在该抛物线上,y1y2,根据抛物线的增减性得: x12 或x14 答:P点横坐标x1的取值范围:x12 或x14 (3)C(0,),B,(3,0),D(1,0) OC,OB3,OD,1 F是BC的中点,F(,) 当点F关于直线CE的对称点为F,关于直线CD的对称点为F,直线FF与CE、CD交点为M、N,此 时FMN的周长最小,周长为FF的长,由对称可得到:F(,),F(0,0)即点O, FFFO3, 即:FMN的周长最小值为 3, 20.20.(20192019辽阳)辽阳)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的边BC在x轴上,ABC90,以A为

45、顶点的抛 物线yx 2+bx+c 经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上 (1)求抛物线解析式; (2)若点P从A点出发,沿AB方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过 点P作PDAB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时, ACQ的面积最大?最大值是多少? (3) 若点M是平面内的任意一点, 在x轴上方是否存在点P, 使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形, 若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由 25 【分析】(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)SA

46、CQDQBC,即可求解; (3)分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况,分别求解即可 【解答】解:(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx 2+2x+3, 则点A(1,4); (2)将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线AC的表达式为:y2x+6, 点P(1,4t),则点D(,4t),设点Q(,4), SACQDQBCt 2+t, 0,故SACQ有最大值,当t2 时,其最大值为 1; (3)设点P(1,m),点M(x,y), 当EC是菱形一条边时, 当点M在x轴下方时, 点E向右平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到C, 则点P平移 3 个单位、向下平移 3 个单位得到M, 则 1+3x,m3y, 而MPEP得:1+(m3) 2(x1)2+(ym)2, 解得:ym3, 故点M(4,); 当点M在x轴上方时, 26 同理可得:点M(2,3+); 当EC是菱形一对角线时, 则EC中点即为PM中点, 则x+13,y+m3, 而PEPC,即 1+(m3) 24+(m2)2, 解得:m1, 故x2,y3m312, 故点M(2,2); 综上,点M(4,)或(2,3+)或M(2,2)