1、 1 专题专题 30 规律型问题规律型问题 1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过 适当的计算回答问题 2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即 函数关系式为主要内容 3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的 算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合 4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数 或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化
2、规律，进而解决相 关问题 5.解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等) 中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论 去检验特殊情况，以肯定结论的正确 【例题【例题 1】 （】 （2019四川省达州市）四川省达州市）a 是不为 1 的有理数，我们把称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 1， 1 的差倒数， 已知 a15， a2是 a1的差倒数， a3是 a2的差倒数， a4是 a3的差倒数， 依此类推，a2019的值是（ ） A5 B C D 【例题【例题 2】 （】 （2019湖北
3、省咸宁市）湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三 个相邻数的积是 412，则这三个数的和是 【例题【例题 3】 （】 （2019四川省广安市）四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，0） ，以 OA1为直角边作 RtOA1A2，并使A1OA260 ，再以 OA2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360 ，再以 OA3为直角边作 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 RtOA3A4，并使A3OA460按此规律进行下去，则点 A2019的坐标为 【例题【例题 4】 （】 （2019 湖南益阳）湖南
4、益阳）观察下列等式： 32（1）2， 52（）2， 72（）2， 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 【例题【例题 5】 （】 （2019甘肃庆阳）甘肃庆阳）已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照这个规律写下去， 第 9 个数是 【例题【例题 6】 （】 （2019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3An在 x 轴上，B1、B2、B3Bn 在直线 yx 上，若 A1（1，0） ，且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角 形（阴影部分）的面积分别记为 S1、S2、S3Sn则 Sn可表示为（ ）
5、 A22n B22n 1 C22n 2 D22n 3 一、选择题一、选择题 1.（2019 湖南常德）湖南常德）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其 中的规律可得 70+71+72+72019的结果的个位数字是（ ） 专题典型训练题 专题典型训练题 3 A0 B1 C7 D8 2.（2018 成都）成都）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点） 有 n 盆花，每个图案花盆总数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为（ ） AS=3n BS=3（n1） CS=3n1 DS=3n+1 3.（2019 云南）云
6、南）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是（ ） A.（1）n 1x2n1B.（1）nx2n1 C.（1）n 1x2n1D.（1）nx2n1 4 （ （2019 河南）河南）如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； 在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ） A22019 B C D 5 （ （2019 湖北宜昌）湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45 后得
7、 到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是 （ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 6.（2019 广西贺州）广西贺州）计算+的结果是（ ） 4 A B C D 7(2019云南云南)按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是( ) A 121 ) 1( nn x B12 ) 1( nn x C 121 ) 1( nn x D12 ) 1( nn x 二、填空题二、填空题 8.（2018 云南）云南）观察下列各式： ，设 n 表示正整 数，
8、用关于 n 的等式表示这个规律是 9.（2019 湖南怀化）湖南怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 10.（2019 贵州安顺）贵州安顺）如图，将从 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 11.（2019海南省）海南省）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 12.（2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，（
9、a0） ，按此 规律排列下去，这列数中的第 n 个数是 （n 为正整数） 13 （ （2019 苏州）苏州）如图，点 B1在直线 l：yx 上，点 B1的横坐标为 2，过 B1作 B1A11，交 x 轴于点 A1， 5 以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3C2， 延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3延长 B4C3交 x 轴于点 A4；按照这个规 律进行下去，点n的横坐标为 （结果用含正整数 n 的代数式表示） 14 （2019 黑龙江省绥化）黑龙江省绥化
10、）在平面直角坐标系中，若干个边长为 1 个单位长度的等边三角形，按如图中的规 律 摆 放 点P从 原 点O出 发 ， 以 每 秒1个 单 位 长 度 的 速 度 沿 着 等 边 三 角 形 的 边 “OA1A1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第 n 秒运动到点 Pn（n 为正整数） ，则点 P2019的坐标 是 15. （2019黑龙江省齐齐哈尔市）黑龙江省齐齐哈尔市）如图，直线 l：yx+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交 x 轴于点 B
11、2，过 点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为 S1，阴影A2B1B2的面积 为 S2，阴影A3B2B3的面积为 S3，则 Sn 16.（2019山东泰安）山东泰安）在平面直角坐标系中，直线 l：yx+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，点 A1，A2，A3，A4，在直线 l 上，点 C1，C2，C3，C4，在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是 6 17 （ （2019山东潍坊）山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系 x
12、oy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径 分别为 1，2，3，按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与 x 轴垂直，相邻两直线的间 距为 l，其中 l0与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1在第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2在第一象限内交 于点 P2，半径为 n+1 的圆与 ln在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn的坐标为 （n 为正整数） 三、解答题三、解答题 18 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项，记为 a1，排在第二
13、位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示如：数列 1，3，5，7，为等差数列，其中 a11，a2 3，公差为 d2 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列 5，10，15，的公差 d 为 ，第 5 项是 7 （2）如果一个数列 a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到 a2a1d，a3 a2d，a4a3d，anan1d
14、， 所以 a2a1+d a3a2+d（a1+d）+da1+2d， a4a3+d（a1+2d）+da1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d （3）4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？ 19. （2019四川自贡）四川自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S1+2+22+22017+22018 则 2S2+22+22018+22019 得 2SSS220191 S1+2+22+22017+22018220191 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29 ； （2）3+32+310 ； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n 是正整数，请写出计算过程）
