专题22 正方形(学生版) 备战2020中考数学复习点拨(共34讲)

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1、 1 专题专题 22 正方形正方形 1正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2正方形的性质: (1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质; (2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等; (3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角; (4)正方形是轴对称图形,有 4 条对称轴; (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的 小等腰直角三角形; (6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种: 先证它

2、是矩形,再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形,再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4正方形的面积:设正方形边长为 a,对角线长为 b ,S正方形= 2 2 2 b a 【例题【例题 1】(2019 湖南郴州)湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正 方形和两对全等的三角形,如图所示,已知A90 ,BD4,CF6,则正方形 ADOF 的边长是( ) A2 B2 C3 D4 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 2】 (】 (2019四川省凉山州)四川省凉山州)如图,正

3、方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 OC 上一点,连 接 EB过点 A 作 AMBE,垂足为 M,AM 与 BD 相交于点 F求证:OEOF 一、选择题一、选择题 1 ( (2019 内蒙古包头)内蒙古包头)如图,在正方形 ABCD 中,AB1,点 E,F 分别在边 BC 和 CD 上,AEAF, EAF60 ,则 CF 的长是( ) A B C1 D 2 ( (2019 湖南张家界)湖南张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺 时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1,依此方式,绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 O

4、A2019B2019C2019,那么点 A2019的坐标是( ) A (,) B (1,0) C (,) D (0,1) 3. (2019四川省广安市)四川省广安市) 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ( ) 专题典型训练题 专题典型训练题 3 ( )A 6 1 ( )B 3 1 ( )C 5 1 ()D 4 1 4. (2019贵州省铜仁市)贵州省铜仁市) 如图, 正方形 ABCD 中, AB6, E 为 AB 的中点, 将ADE 沿 DE 翻折得到FDE, 延长 EF 交 BC 于 G,FHBC,垂足为 H,连接 BF、DG以下结论:BFED;D

5、FGDCG; FHBEAD;tanGEB;SBFG2.6;其中正确的个数是( ) A2 B3 C4 D5 5 (2019 黑龙江省绥化)黑龙江省绥化)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上的两个动点,P 是正方形四边上 的任意一点,且 AB4,EF2,设 AEx当PEF 是等腰三角形时,下列关于 P 点个数的说法中,一定 正确的是( ) 当 x0(即 E、A 两点重合)时,P 点有 6 个 当 0 x4 22 时,P 点最多有 9 个 当 P 点有 8 个时,x2 22 当PEF 是等边三角形时,P 点有 4 个 A B C D 二、填空题二、填空题 6 ( (2019 湖南

6、邵阳)湖南邵阳)公元 3 世纪初,中国古代数学家赵爽注周髀算经时,创造了“赵爽弦图”如图, 1 2 4 设勾 a=6,弦 c=10,则小正方形 ABCD 的面积是 . 7 ( (2019 湖南张家界)湖南张家界)如图:正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别为 BC,CD 边的中点, 连接 AE,BF 交于点 P,连接 PD,则 tanAPD 8.(2019湖北省随州市湖北省随州市)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 a,E 为 CD 边上一点(不与端点重合),将 ADE 沿 AE 对折至AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG,CF给出下列判断: EAG=45 ; 若

7、DE= a,则 AGCF; 若 E 为 CD 的中点,则GFC 的面积为a2; 若 CF=FG,则 DE=(-1)a; BGDE+AFGE=a2 其中正确的是_(写出所有正确判断的序号) 9 ( (2019 福建)福建)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合,E、F 分别是 AD、BA 的延长与O 的交点,则图中阴影部分的面积是 (结果保留 ) 5 10.(2019四川省凉山州)四川省凉山州)如图,正方形 ABCD 中,AB12,AEAB,点 P 在 BC 上运动(不与 B、C 重合) ,过点 P 作 PQEP,交 CD 于点 Q,则 CQ 的最大值为 11.

8、 (2019广东广州广东广州)如图,正方形 ABCD 的边长为 a,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A,B 重合) ,DAM 45 ,点 F 在射线 AM 上,且 AFBE,CF 与 AD 相交于点 G,连接 EC,EF,EG,则下列结论: ECF45 ; AEG 的周长为(1+)a; BE2+DG2EG2;EAF 的面积的最大值a2 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 12.(2019 广西贺州)广西贺州)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是 CD 的中点,AF 平分BAE 交 BC 于点 F, 将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ABG,则 CF 的长为 13

9、 ( (2019山东青岛山东青岛)如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 CD 的中点,将正方形纸片折叠,点 B 落在线段 6 AE 上的点 G 处,折痕为 AF若 AD4cm,则 CF 的长为 cm 14.(2019 江苏镇江)江苏镇江)将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置(如图) ,使得 点 D 落在对角线 CF 上,EF 与 AD 相交于点 H,则 HD (结果保留根号) 15 ( (2019 辽宁抚顺)辽宁抚顺)如图,在 2 6 的网格中,每个小正方形的边长都是 1 个单位长度,网格中小正方形的 顶点叫格点,点 A,B,C 在格点上,连接

10、AB,BC,则 tanABC 三、解答题三、解答题 16 ( (2019 湖南湘西州)湖南湘西州)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD,AD 上,且 AF CE (1)求证:ABFCBE; (2)若 AB4,AF1,求四边形 BEDF 的面积 17. (2019 海南海南)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A,D 不重合), 第 10 题图 H G F E D CB A 7 射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. (1)求证:PDEQCE; (2)过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F,连接 AF,

11、当 PBPQ 时,求证:四边形 AFEP 是平行四边形;请判断四边 形 AFEP 是否为菱形,并说明理由. 18 ( (2019 湖南株洲)湖南株洲)如图所示,已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点,连 接 CE、DG (1)求证:DOGCOE; (2)若 DGBD,正方形 ABCD 的边长为 2,线段 AD 与线段 OG 相交于点 M,AM 1 2 ,求正方形 OEFG 的边长 19.(2019湖北省仙桃市)湖北省仙桃市)如图,E,F 分别是正方形 ABCD 的边 CB,DC 延长线上的点,且 BECF,过 点 E 作 EGBF,交正方形外角的平分线

12、 CG 于点 G,连接 GF求证: (1)AEBF; (2)四边形 BEGF 是平行四边形 8 20 ( (2019山东泰安山东泰安)如图,四边形 ABCD 是正方形,EFC 是等腰直角三角形,点 E 在 AB 上,且CEF 90 ,FGAD,垂足为点 C (1)试判断 AG 与 FG 是否相等?并给出证明; (2)若点 H 为 CF 的中点,GH 与 DH 垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由 21 ( (2019 湖北襄阳)湖北襄阳) (1)证明推断:如图(1) ,在正方形 ABCD 中,点 E,Q 分别在边 BC,AB 上,DQ AE 于点 O,点 G,F 分别在边 CD,AB 上,GFAE 求证:DQAE; 推断:的值为 ; (2)类比探究:如图(2) ,在矩形 ABCD 中,k(k 为常数) 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,得到四边形 FEPG,EP 交 CD 于点 H,连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的 数量关系,并说明理由; (3)拓展应用:在(2)的条件下,连接 CP,当 k时,若 tanCGP,GF2,求 CP 的长 9

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