1、 1 专题专题 22 正方形正方形 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2正方形的性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； （4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴； （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的 小等腰直角三角形； （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它
2、是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b ，S正方形= 2 2 2 b a 【例题【例题 1】（2019 湖南郴州）湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正 方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90 ，BD4，CF6，则正方形 ADOF 的边长是（ ） A2 B2 C3 D4 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【例题【例题 2】 （】 （2019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，正
3、方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 上一点，连 接 EB过点 A 作 AMBE，垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F求证：OEOF 一、选择题一、选择题 1 （ （2019 内蒙古包头）内蒙古包头）如图，在正方形 ABCD 中，AB1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AEAF， EAF60 ，则 CF 的长是（ ） A B C1 D 2 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺 时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 O
4、A2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 3. （2019四川省广安市）四川省广安市） 把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为 （ ） 专题典型训练题 专题典型训练题 3 ( )A 6 1 ( )B 3 1 ( )C 5 1 ()D 4 1 4. （2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市） 如图， 正方形 ABCD 中， AB6， E 为 AB 的中点， 将ADE 沿 DE 翻折得到FDE， 延长 EF 交 BC 于 G，FHBC，垂足为 H，连接 BF、DG以下结论：BFED；D
5、FGDCG； FHBEAD；tanGEB；SBFG2.6；其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 5 （2019 黑龙江省绥化）黑龙江省绥化）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点，P 是正方形四边上 的任意一点，且 AB4，EF2，设 AEx当PEF 是等腰三角形时，下列关于 P 点个数的说法中，一定 正确的是（ ） 当 x0（即 E、A 两点重合）时，P 点有 6 个 当 0 x4 22 时，P 点最多有 9 个 当 P 点有 8 个时，x2 22 当PEF 是等边三角形时，P 点有 4 个 A B C D 二、填空题二、填空题 6 （ （2019 湖南
6、邵阳）湖南邵阳）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图， 1 2 4 设勾 a=6，弦 c=10，则小正方形 ABCD 的面积是 . 7 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）如图：正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点， 连接 AE，BF 交于点 P，连接 PD，则 tanAPD 8.（2019湖北省随州市湖北省随州市）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 a，E 为 CD 边上一点（不与端点重合），将 ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG，CF给出下列判断： EAG=45 ； 若
7、DE= a，则 AGCF； 若 E 为 CD 的中点，则GFC 的面积为a2； 若 CF=FG，则 DE=（-1）a； BGDE+AFGE=a2 其中正确的是_（写出所有正确判断的序号） 9 （ （2019 福建）福建）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、BA 的延长与O 的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 5 10.（2019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，正方形 ABCD 中，AB12，AEAB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 11.
8、 （2019广东广州广东广州）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM 45 ，点 F 在射线 AM 上，且 AFBE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ECF45 ； AEG 的周长为（1+）a； BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值a2 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 12.（2019 广西贺州）广西贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分BAE 交 BC 于点 F， 将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得ABG，则 CF 的长为 13
9、 （ （2019山东青岛山东青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段 6 AE 上的点 G 处，折痕为 AF若 AD4cm，则 CF 的长为 cm 14.（2019 江苏镇江）江苏镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置（如图） ，使得 点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD （结果保留根号） 15 （ （2019 辽宁抚顺）辽宁抚顺）如图，在 2 6 的网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，网格中小正方形的 顶点叫格点，点 A，B，C 在格点上，连接
10、AB，BC，则 tanABC 三、解答题三、解答题 16 （ （2019 湖南湘西州）湖南湘西州）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，且 AF CE （1）求证：ABFCBE； （2）若 AB4，AF1，求四边形 BEDF 的面积 17. (2019 海南海南)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A,D 不重合), 第 10 题图 H G F E D CB A 7 射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. (1)求证:PDEQCE; (2)过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F,连接 AF,
11、当 PBPQ 时,求证:四边形 AFEP 是平行四边形;请判断四边 形 AFEP 是否为菱形,并说明理由. 18 （ （2019 湖南株洲）湖南株洲）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，连 接 CE、DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM 1 2 ，求正方形 OEFG 的边长 19.（2019湖北省仙桃市）湖北省仙桃市）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BECF，过 点 E 作 EGBF，交正方形外角的平分线
12、 CG 于点 G，连接 GF求证： （1）AEBF； （2）四边形 BEGF 是平行四边形 8 20 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，四边形 ABCD 是正方形，EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且CEF 90 ，FGAD，垂足为点 C （1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明； （2）若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 21 （ （2019 湖北襄阳）湖北襄阳） （1）证明推断：如图（1） ，在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上，DQ AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GFAE 求证：DQAE； 推断：的值为 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形 ABCD 中，k（k 为常数） 将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O试探究 GF 与 AE 之间的 数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k时，若 tanCGP，GF2，求 CP 的长 9