1、正方形存在性问题巩固练习正方形存在性问题巩固练习(基础基础) 1 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD24 厘米，AB8 厘米，BC30 厘米，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以每秒 1 厘米的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以每秒 3 厘米的速度 运动，P，Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动设运动时间为 t 秒 (1)当 t 在什么时间范围时，CQPD？ (2)存在某一时刻 t，使四边形 APQB 是正方形吗？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由 【解答】(1)当 6t10 时，CQPD；(2)不
2、存在 【解析】(1)CQ3t，24t， 由 CQPD 有 3t24t，解得 t6 又P、Q 点的运动时间只能是 30310(s)， 6t10，即当 6t10 时，CQPD (2)若四边形是正方形，则 APAB 且 BQAB， 1t8 且 303t8， 显然无解，即不存在 t 的值使得四边形 APQB 是正方形 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB16cm，AD6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每秒 3cm 的速度向 B 移动，一直达到 B 止，点 Q 以每秒 2cm 的速度向 D 移动 (1)P、Q 两点出发后多少秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2？ (2)是
3、否存在某一时刻，使 PBCQ 为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由 【解答】(1)P、Q 两点出发后 4 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2；(2)不存在 【解析】(1)设 P、Q 两点出发 t 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2 由矩形 ABCD 得BC90，ABCD， 所以四边形 PBCQ 为直角梯形， 故 S梯形PBCQ(CQ+PB)BC又 S梯形PBCQ36， 所以(2t+163t)636，解得 t4(秒)； (2)不存在因为要使四边形 PBCQ 为正方形，则 PBBCCQ6， 所以 P 点运动的时间为秒，Q 点运动的时间是 3 秒， P、Q 的时间不一
4、样，所以不存在该时刻 3 如 图 ， 正 比 例 函 数y ax与 反 比 例 函 数(x 0) 的 图 象 交 于 点 (1)求这两个函数的表达式； (2)如图 1，若AMB90，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点 A、B求四边形 OAMB 的面积 (3)如图 2，点 P 是反比例函数(x0)的图象上一点，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F， PF 交直线 OM 于点 H，过作 x 轴的垂线，垂足为 G 设点 P 的横坐标为 m， 当时， 是否存在点 P， 使得四边形 PEGH 为正方形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx，；(2)6；
5、(3)P(，) 【解析】(1)将点分别代入 yax 与得： ， 解得：a1，k6 这两个函数的表达式分别为：yx， (2)如图，过点 M 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D 则MCAMDB90，AMCBMD90AMD，MCMD， AMCBMD， S四边形OCMDS四边形OAMB6 (3)设 P 点坐标为(x，)，则 PEHGGE，OEx， MOE45， OGGH， OEOG+GH， x， 解得 x， P 点坐标为(，) 4 如图， 在平面直角坐标系中 RtAOBRtCDA， 且 A(1， 0)， B(0， 2)抛物线 yax2+ax2 经过点 C (1)求抛物线的解析式； (2)
6、在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点 P、 Q， 使四边形 ABPQ 为正方形？若存在， 求点 P、 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx2+ x2；(2)P(2，1)、Q(1，1) 【解析】(1)由 RtAOBRtCDA，得 OD2+13，CD1 C 点坐标为(3，1)， 抛物线经过点 C， 1a(3)2+a(3)2， a， 抛物线的解析式为 yx2+ x2； (2)在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形 以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ，过 P 作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证PBEAQG BAO， PEAGB
7、O2，BEQGAO1， P 点坐标为(2，1)，Q 点坐标为(1，1) 由(1)抛物线 yx2+ x2， 当 x2 时，y1；当 x1 时，y1 P、Q 在抛物线上 故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点 P(2，1)、Q(1，1)，使四边形 ABPQ 是正方形 5 已知：t1，t2是方程 t2+2t240 的两个实数根，且 t1t2，抛物线 yx2+bx+c 的图象经过点 A(t1， 0)，B(0，t2) (1)求这个抛物线的解析式； (2)设点 P(x，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ 是以 OA 为对角线的平行四边形，求平 行四边形 OPAQ 的面积 S 与 x 之间的
8、函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)在(2)的条件下，当平行四边形 OPAQ 的面积为 24 时，是否存在这样的点 P，使平行四边形 OPAQ 为正方 形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 【解答】(1)yx2+ x+4；(2)S4(x+)2+25(6x1)；(3)不存在 【解析】(1)t2+2t240，(t+6)(t4)0，t16，t24 t1t2，A(6，0)，B(0，4) 抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点 ，解得， yx2+x+4 (2)点 P(x，y)在抛物线上，位于第三象限， y0，即y0 又S2SAPO2|OA|y|OA|y|6|y|， S6y
9、 6(x2+x+4) 4(x2+7x+6) 4(x+)2+25 令 y0 时，x2+x+40， 解得 x16，x21 抛物线与 x 轴的交点坐标为(6，0)，(1，0)， x 的取值范围为6x1 (3)当 S24 时，得 244(x+)2+25， 解得：x13，x24 代入解析式得：y14，y24 点 P 的坐标为(3，4)，(4，4) 当点 P 为(3，4)时，满足 POPA，此时，平行四边形 OPAQ 是菱形 当点 P 为(4，4)时，不满足 POPA，此时，平行四边形 OPAQ 不是菱形 而要使平行四边形 OPAQ 为正方形，那么，一定有 OAPQ，AOPQ， 此时，点 P 的坐标为(3
10、，3)，而(3，3)不在抛物线 yx2+x+4 上， 故不存在这样的点 P，使四边形 OPAQ 为正方形 6 如图，抛物线 yax2+bx+5 过点(1，2)、(4，5)，交 y 轴于点 B，直线 AB 经过抛物线顶点 A，交 x 轴 于点 C，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)点 Q 在平面内，在第一象限内是否存在点 P，使以 A，B，P，Q 为顶点的四边形是正方形？若存在，直 接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx24x+5；(2)P(6，3)或(4，7) 【解析】(1)抛物线 yax2+bx+5 过点(1，2)、(4，5)， ，解得， 抛物线解析式
11、为 yx24x+5； (2)在 yx24x+5 中，令 x0 可得 y5， B(0，5)， yx24x+5(x2)2+1， A(2，1)， ， 设直线 AB 解析式为 ykx+n，则有，解得， 直线 AB 解析式为 y2x+5， 当 PAAB 时，如图， 可设直线 PA 解析式为 yx+m，把 A(2，1)代入可得 1+m1，解得 m0， 直线 PA 解析式为 yx， 可设点 P 坐标为(x，x)， ， 四边形 PABQ 为正方形， PAAB，即，解得 x2 或 x6 点 P 在第一象限内， x2 不符合题意，舍去，故 x6，此时 P 点坐标为(6，3)； 当 PBAB 时，如图 2， 可设直
12、线 PB 解析式为 yx+s，把 B(0，5)代入可得 s5， 直线 PB 解析式为 yx+5， 可设 P 点坐标为(x，x+5)， ， 同理可得，解得 x4(舍去)或 x4，此时 P 点坐标为(4，7)； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为(6，3)或(4，7) 7 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是动点且纵坐标为 6，点 B 是线段 OA 上一动点，过点 B 作直线 MN x 轴，设 MN 分别交射线 OA 与 x 轴所成的两个角的平分线于点 E、F (1)求证：EBBF； (2)当为何值时，四边形 AEOF 是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点 A、B，使四边形 AEOF 为正
13、方形？若存在，求点 A 与 B 的坐标；若不存在，说明理由 【解答】(1)见解析；(2)是，见解析；(3)A(0，6)，B(0，3) 【解析】(1)证明：OF 平分 OA 与 x 轴正方向的夹角，如图所示： 13， MNx 轴，12， 23，BOBF， 同理可得 BEBO，BEBF； (2)当的值为时，四边形 AEOF 是矩形理由如下： ，即 BOBA， 而 BEBF， 四边形 AEOF 为平行四边形， MN 分别交射线 OA 与 x 轴所成的两个角的平分线于点 E、F EOF18090，四边形 AEOF 是矩形； (3)存在 四边形 AEOF 是矩形， 当 OAEF 时，四边形 AEOF 为
14、正方形， 而 EFx 轴， OAx 轴，点 A 在 y 轴上， 点 A 的坐标为(0，6)， BOBA，B 点坐标为(0，3) 8 如图，已知二次函数 yax2+c 图象的顶点为点 M(0，9)，且经过点 A(3，0) (1)求此二次函数的关系式； (2)设点 D(x，y)是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点 C 的坐标为(5，0)，四边形 ABCD 是以 AC 为对角线的平行四边形 求平行四边形 ABCD 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 当点 B 在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形 ABCD 的面积； 当平行四边形 ABCD 的面积为 6
15、4 时，请判断平行四边形 ABCD 是否为菱形？ 是否存在点 D，使平行四边形 ABCD 为正方形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx29；(2)(3x0)，40，是菱形；(4)不存在 【解析】(1)由题意得，解得 故二次函数的关系式为 yx29， (2)D(x，y)在二次函数的图象上，且位于第三象限， y0，即y0，y 表示点 D 到 AC 的距离 AC 是平行四边形 ABCD 的对角线， 当 y0 时，x290，得 x3 所以二次函数的图象与 x 轴的另一个交点是(3，0)， 所以，自变量 x 的取值范围是3x0 如图：当点 B 在此二次函数图象的对称轴上
16、时， 过点 D 作 DEAC，垂足为点 E， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，DCEBAO，CEDAOB90， ABOCDE 点 B 在二次函数的图象的对称轴上 OA3， CEOA3， 所以 OE2，所以当 x2 时，y5，S40； 根据题意，当 S64 时，即8x2+7264 解之，得 x11，x21 故所求的点 D 有两个，分别为 D1(1，8)(舍去)，D2(1，8)， 所以平行四边形 ABCD 不是菱形(或者说明点 D 不在第三象限)； 点 D2(1，8)满足 DCDA， 所以平行四边形 ABCD 是菱形 当 ACBD，且 ACBD 时， 平行四边形 ABCD 是正方形，此
17、时点 D 的坐标只能是(1，4) 而坐标为(1，4)的点不在二次函数的图象上， 故不存在这样的点 D，使平行四边形 ABCD 为正方形 9 如图(1)，在平面直角坐标系中，直线 yx+m 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，点 C 为 OB 的中点，作 C 关于直线 AB 的对称点 F，连接 BF 和 OF，OF 交 AC 于点 E，交 AB 于点 M (1)直接写出点 F 的坐标(用 m 表示)； (2)求证：OFAC； (3)如图(2)，若 m2，点 G 的坐标为(，0)，过 G 点的直线 GP：ykx+b(k0)与直线 AB 始终相交于第 一象限； 求 k 的取值范围； 如图(3)，
18、若直线 GP 经过点 M，过点 M 作 GM 的垂线交 FB 的延长线于点 D，在平面内是否存在点 Q， 使四边形 DMGQ 为正方形？如果存在，请求出 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由 【解答】(1)F(m，m)；(2)见解析；(3)0k6，Q(，) 【解析】(1)yx+m，令 x0，则 ym，令 y0，则 xm，则ABO45， 故点 A、B 的坐标分别为：(0，m)、(m，0)，则点 C(m，0)， 如图(1)作点 C 的对称轴 F 交 AB 于点 R，则 CFAB，CRFR， 则RCB45，则 RCRBRF， RBF45，即 FBx 轴， 故点 F(m，m)； (2)OCBFm，OBO
19、A， AOCOBF(HL)， OACFOB， OAC+AOE90， OAC+AOE90， AEO90， OFAC； (3)将点(，0)代入 ykx+b 得：，解得：， 由一次函数图象知：k0， 交点在第一象限，则， 解得：0k6； 存在，理由： 直线 OF 的表达式为：，直线 AB 的表达式为：yx+2， 联立上述两个表达式并解得：x，故点 M()， 直线 GM 所在函数表达式中的 k 值为，则直线 MD 所在直线函数表达式中的 k 值为， 将点 M 坐标和直线 DM 表达式中的 k 值代入一次函数表达式并解得： 直线 DM 的表达式为：yx+4，故点 D(2，1)， 过点 M 作 x 轴的垂线于点 N，作 x 轴的平行线交过点 G 于 y 轴的平行线于点 S， 过点 G 作 y 轴的平行线交过点 Q 与 x 轴的平行线于点 T， 则 MNMH2，GNDH(1)， MNGMHD(HL)， MDMG， 则GTQMSG，则 GTMSGN，TQSGMN， 故点 Q(，)
