1、专题专题 22 22 三角形中位线定理应用问题三角形中位线定理应用问题 1 1三角形中位线的定义：三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2 2三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.3.对三角形中位线的深刻理解对三角形中位线的深刻理解 (1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. (2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长 的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. (3)三角形的中位线不同于三角形的中线. 【例题【例题 1 1】(202
2、0(2020福建福建) )如图，面积为 1 的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF 的面积是( ) A1 B1 2 C1 3 D1 4 【答案】D 【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 1 2 1 4 DE= 1 2AC，DF= 1 2BC，EF= 1 2AB， = = = 1 2， DEFABC， = ( ) 2(1 2) 2=1 4， 等边三角形ABC的面积为 1， DEF的面积是1 4. 【对点练习】【对点练习】(2019 内蒙古赤峰)如图，菱形ABCD周长为 20，对角线AC、B
3、D相交于点O，E是CD的中点， 则OE的长是( ) A2.5 B3 C4 D5 【答案】A 【解析】四边形ABCD为菱形， CDBC5，且O为BD的中点， E为CD的中点， OE为BCD的中位线， OECB2.5。 【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。 【例题【例题 2 2】 (2020(2020临沂临沂) )如图， 在ABC中，D、E为边AB的三等分点，EFDGAC，H为AF与DG的交点 若 AC6，则DH 【解析】1 【分析】 由三等分点的定义与平行线的性质得出BEDEAD，BFGFCG，AHHF，DH是AEF的中位线， 易证BEFBAC，得 = ，解得 EF2，则DH=
4、1 2EF1 【解析】D、E为边AB的三等分点，EFDGAC， BEDEAD，BFGFCG，AHHF， AB3BE，DH是AEF的中位线， DH= 1 2EF， EFAC， BEFBAC， = ，即 6 = 3， 解得：EF2， DH= 1 2EF= 1 2 21， 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 广西梧州广西梧州) )如图，已知在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的 中点，且FG2cm，则BC的长度是 cm 【答案】8 【解析】利用三角形中位线定理求得FGDE，DEBC 如图，ADE中，F、G分别是AD、AE的中点， DE2FG4cm， D，E分别是
5、AB，AC的中点， DE是ABC的中位线， BC2DE8cm 【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。 【例题【例题 3 3】(2020(2020 湖南岳阳模拟湖南岳阳模拟) )D、E 分别是不等边三角形 ABC(即 ABBCAC)的边 AB、AC 的中点O 是 ABC 所在平面上的动点，连接 OB、OC，点 G、F 分别是 OB、OC 的中点，顺次连接点 D、G、F、E如图，当 点 O 在ABC 的内部时，求证：四边形 DGFE 是平行四边形. 【答案】见解析。 【解析】证明：D、E 分别是 AB、AC 边的中点， DEBC，且 DE= BC， 同理，GFBC，且 GF= BC
6、， DEGF 且 DE=GF， 四边形 DEFG 是平行四边形。 【对点练习】【对点练习】如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 中点，CE 交 BA 延长线于点 F。求证：ABAF。 【答案】见解析。 【解析】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC AD=BC E 是 AD 的中点，DE=AE。 AE= 2 1 AD= 2 1 BC AE 是三角形 BCF 的中位线。 E 是 FC 的中点，A 是 FB 中点 FA=AB。 【点拨】本题证明方法多，利用全等三角形判定定理和性质定理，结合平行四边形特点也可以解决问题。 一、选择题一、选择题 1(2020(2020内江内江) )
7、如图，在ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED15，则SABC( ) A30 B25 C22.5 D20 【答案】D 【解析】先根据三角形中位线的性质，证得：DEBC，DE= 1 2BC，进而得出ADEABC，又由相似三角形 面积的比等于相似比的平方即可求得答案 D、E分别是AB、AC边上的中点， DEBC，DE= 1 2BC， ADEABC， = ( ) 2=1 4， SADE：S四边形BCED1：3， 即SADE：151：3， SADE5， SABC5+1520 2(2020(2020辽阳辽阳) )如图，在ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点
8、，连接ME并 延长，交BC的延长线于点D若BC4，则CD的长为 【答案】2 【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MN= 1 2BC2，MNBC，依据MNEDCE(AAS)，即可得到 CD MN2 M，N分别是AB和AC的中点， MN是ABC的中位线， MN= 1 2BC2，MNBC， NMED，MNEDCE， 点E是CN的中点， NECE， MNEDCE(AAS)， CDMN2 3(2020(2020泰安泰安) )如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC1，点M为 线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( ) A2 +1 B2 + 1 2 C22
9、+1 D22 1 2 【答案】B 【解析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为 1 的B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时， OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论 如图， 点C为坐标平面内一点，BC1， C在B的圆上，且半径为 1， 取ODOA2，连接CD， AMCM，ODOA， OM是ACD的中位线， OM= 1 2CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， OBOD2，BOD90， BD22， CD22 +1， OM= 1 2CD= 2 + 1 2，即 OM的最大值为2 + 1 2. 4 4(2019
10、(2019 辽宁抚顺辽宁抚顺) )如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积为 4，则ABC的面 积为( ) A8 B12 C14 D16 【答案】D 【解析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DEBC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 解：在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， DEBC，DEBC， ADEABC， ， ， ADE的面积为 4， ABC的面积为：16。 5(2019 湖北襄阳)如图，AD是O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P， 下列结论错误的是( ) AAP2OP BCD2OP COBAC DAC平分OB 【
11、答案】A 【解析】AD为直径， ACD90， 四边形OBCD为平行四边形， CDOB，CDOB， 在 RtACD中，sinA， A30， 在 RtAOP中，APOP，所以A选项的结论错误； OPCD，CDAC， OPAC，所以C选项的结论正确； APCP， OP为ACD的中位线， CD2OP，所以B选项的结论正确； OB2OP， AC平分OB，所以D选项的结论正确 二、填空题二、填空题 6(2020 铜仁市模拟)如图，ACB=9O，D 为 AB 中点，连接 DC 并延长到点 E，使 CE= CD，过点 B 作 BF DE 交 AE 的延长线于点 F若 BF=10，则 AB 的长为 【答案】8
12、【解析】先根据点 D 是 AB 的中点，BFDE 可知 DE 是ABF 的中位线，故可得出 DE 的长， 根据 CE= CD 可得出 CD 的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论 点 D 是 AB 的中点，BFDE， DE 是ABF 的中位线 BF=10， DE= BF=5 CE= CD， CD=5，解得 CD=4 ABC 是直角三角形， AB=2CD=8 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是 解答此题的关键 三、解答题三、解答题 7.如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 的延长线与 CD 的延长线相交于点 F (1)求证：ABEDFE； (2)试连结 BD、AF，判断四边形 ABDF 的形状，并证明你的结论 【答案】见解析。 【解析】(1) 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCF。 1=2，3=4 。E 是 AD 的中点， AE=DE。 ABE DFE(AAS)。 (2)四边形 ABDF 是平行四边形。证明如下： ABE DFE，AB=DF。 又 ABCF四边形 ABDF 是平行四边形。
