1、 1 第第1616讲讲 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 比例线段】比例线段】 1.比例的相关概念及性质 （1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比 （2）比例中项：如果a b b c，即 b 2ac，我们就把 b 叫做 a，c 的比例中项 （3）比例的性质 性质 1：a b c d adbc(a，b，c，d0) 性质 2：如果a b c d，那么 ab b cd d . 性质 3：如果a b c d m n(bdn0)，则 acm bdn m n(不唯一). 2.黄金分割：如果点 C 把线段 AB 分成两条线段，使AC AB
2、BC AC，那么点 C 叫做线段 AC 的黄金分割点，AC 是 BC 与 AB 的比例中项，AC 与 AB 的比叫做黄金比 【考点【考点 2 2 相似三角形的判定及性质】相似三角形的判定及性质】 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比 2性质： (1)相似三角形的对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 3判定： (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)两直角三角
3、形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 【考点【考点 3 3 位似图形】位似图形】 1相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比 叫做它们的相似比 2相似多边形的性质： (1)相似多边形的对应边成比例； (2)相似多边形的对应角相等； (3)相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 2 3位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或 在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比 4位似图形的性质： (1)在平面直角坐标系中，如
4、果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于 k 或k； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比 5找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即 是位似中心 6画位似图形的步骤： (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点； (3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点 【考点【考点 4 4 相似三角形与几何图形】相似三角形与几何图形】 相似三角形的知识在实际中应用非常广泛， 主要是用来测量、 计算那
5、些不易直接测量的物体的高度或宽度 二、考点分析 【考点【考点 1 1 比例线段】比例线段】 【解题技巧】1.判断比例线段一定是四条线段成比例，但四个数值成比例不一定是四个数，比例中项是三 个数。 2.黄金分割在现实生活中用途很广，要注意它的应用范围和条件，还要注意它的数值。 【例 1】 （2019 青海中考） （2019青海）如图，ADBECF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、 C和点D、E、F已知AB1，BC3，DE1.2，则DF的长为（ ） A3.6 B4.8 C5 D5.2 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解：ADBECF， 3 ，即，
6、EF3.6， DFEF+DE3.6+1.24.8， 故选：B 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 陕西中考）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC6，若点E，F分别在AB，CD上， 且BE2AE，DF2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ） A1 B C2 D4 【答案】B 【分析】由题意可证EGBC，EG2，HFAD，HF2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解 【解答】解：BE2AE，DF2FC， G、H分别是AC的三等分点 ， EGBC ，且BC6 EG2， 同理可得HFAD，HF2 四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为 1 S四边形EHFG
7、212， 故选：C 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 辽宁沈阳中考模拟）已知a 5 b 4 c 3，且 3a2bc20，则 2a4bc 的值为_ 【答案】6 【分析】比例的性质中常见题型，把 a，b，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可 4 【解析】a 5 b 4 c 3 设：a 5 b 4 c 3k a5k,b4k,c3k 又3a2bc20 15k8k+3k20 10k20 k2 2a4bc10k16k3k3k 2a4bc6 故答案为6. 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 北京海淀区中考模拟）如图 1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段， 其中BC
8、是较小的一段，如果BCABAC 2，那么称线段 AB被点C黄金分割为了增加美感，黄金分割经常 被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域如图 2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿 与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割已知太和殿到内金水桥的距离 约为 100 丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取 2.2） 【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可 【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈， 由题意可得，x 2100（100 x） 解得，（舍去） 则x50+502.260， 答：太和门到太和殿的距离为 60 丈 【举一反三举一反三 1-4】 （20
9、19 山东淄博中考模拟）已知，点C和点D是线段AB的黄金分割点，且线段AB长是方 5 程x 24x10 的根，求线段 CD的长 【分析】设ACBC，ADBD，根据黄金分割的定义先计算出AC，BD，再利用CDAC+BDAB进行计算 【解答】解：设ACBC，ADBD， 线段AB长是方程x 24x10 的根， AB2+， （负值已舍去） 根据题意得ACAB（2+）， 同理可得，BDAB， 则CDAC+BDAB2（2+）1 即线段CD的长为 1 【考点【考点 2 2 相似三角形的判定及性质】相似三角形的判定及性质】 【解题技巧】1.判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的
10、判定(1)； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定(1)或再找夹边成比例用判定(2)； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例 2.应注意相似三角形的对应边成比例，若已知ABCDEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写 正确，才能得到正确的答案如：AB BC DE EF，此式正确那么想一想，哪种情况是错误的呢？可以举例说明 【例 2】 （2019 河北中考） （2019 安徽中考）如图，在 RtABC中，ACB90，
11、AC6，BC12，点D在 边BC上，点E在线段AD上，EFAC于点F，EGEF交AB于点G若EFEG，则CD的长为（ ） A3.6 B4 C4.8 D5 【答案】B 【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决 6 【解答】解：作DHEG交AB于点H，则AEGADH， ， EFAC，C90， EFAC90， EFCD， AEFADC， ， ， EGEF， DHCD， 设DHx，则CDx， BC12，AC6， BD12x， EFAC，EFEG，DHEG， EGACDH， BDHBCA， ， 即， 解得，x4， CD4， 故选：B 【举一反三举一反三 2-1】 （201
12、6 河北中考）如图，ABC中，A78，AB4，AC6将ABC沿图示中的虚线 剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） 7 A B C D 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误 故选：C 【举一反三举一反三 2-2】 （2016 河南开封中考模拟） 如图， 在平面直角
13、坐标系中， 已知OA12 厘米，OB6 厘米 点 P从点O开始沿OA边向点A以 1 厘米/秒的速度移动； 点Q从点B开始沿BO边向点O以 1 厘米/秒的速度移 动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6） ，那么，当t为何值时，POQ与AOB相 似？ 【分析】本题要分OPQOAB和OPQOBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求 出t的值 【解答】解：若POQAOB时，即， 整理得：122tt， 解得：t4 若POQBOA时，即， 整理得：6t2t， 8 解得：t2 0t6， t4 和t2 均符合题意， 当t4 或t2 时，POQ与AOB相似 【举一反三举一反三 2-
14、3】(2019 石家庄二十八中中考模拟)如图，点 B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧，AC 90，BDBE，ADBC. (1)求证：ACADCE； (2)若 AD3，CE5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQDP，交直线 BE 于点 Q.若点 P 与 A，B 两 点不重合，求DP PQ的值 【分析】(1)证ADBCBE (2)过点 Q 作 QHBC 于点 H. 则ADPHPQ，BHQBCE，可以证明对应线段成比例AD HP AP HQ， BH BC QH EC，然后列方程确定 DP PQ的值。 【解答】解：(1)AC90，DBBE， ADBABD90，ABDEB
15、C90. ADBEBC. 又 ADBC，ADBCBE(ASA)， ABCE.ACBCABADCE； (2)过点 Q 作 QHBC 于点 H. 则ADPHPQ，BHQBCE， AD HP AP HQ， BH BC QH EC. 设 APx，QHy，则有BH 3 y 5， BH3y 5 ，PH3y 5 5x， 3 3y 5 5x x y，即(x5)(3y5x)0. 又点 P 不与 A，B 重合， x5，即 x50. 9 3y5x0，即 3y5x. DP PQ x y 3 5. 【举一反三举一反三 2-4】(2017 株洲中考)如图所示，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边
16、 EF 上， EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF. (1)求证：DAEDCF； (2)求证：ABGCFG. 【分析】(1)由正方形 ABCD 与等腰直角三角形 DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证； (2)由第(1)问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAGBCF，再由对顶角相等，利用两对 角对应角相等的三角形相似即可得证 【解答】证明：(1)正方形 ABCD，等腰直角三角形 EDF， ADCEDF90， ADCD，DEDF， ADEADFADFCDF， ADECDF， 在ADE 和CDF 中， DEDF， ADECDF DADC， ， ADECDF； (2)
17、延长 BA，交 ED 于点 M. ADECDF，EADFCD， 即EAMMADBCDBCF. MADBCD90，EAMBCF. EAMBAG，BAGBCF. AGBCGF，ABGCFG. 【考点【考点 3 3 位似图形】位似图形】 【解题技巧】1.位似图形的判断： 两个图形必须是相似形； 对应点的连线都经过同一点； 10 对应边平行 2.位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于k或k 【例 3】 （2019 吉林中考）在某一时刻，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的影 长为 90m，则这栋楼的
18、高度为 m 【答案】54 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论 【解答】解：设这栋楼的高度为hm， 在某一时刻，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 60m， ，解得h54（m） 故答案为：54 【举一反三举一反三 3-1】 （2017 河北中考）若ABC的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与 其对应角B的度数相比（ ） A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变 【答案】D 【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形 对应角相等解答 【解答】解：ABC的每条边长
19、增加各自的 10%得ABC， ABC与ABC的三边对应成比例， ABCABC， BB 故选：D 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 河北衡水中考模拟） 已知： ABC在直角坐标平面内， 三个顶点的坐标分别为A（0， 3） 、B（3，4） 、C（2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC向下平移 4 个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是 ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为 2：1，点C2的坐标 是 11 【答案】 （1） （2，2） （2） （1，0） 【分析】 （1）将ABC向下平移 4
20、个单位长度得到的A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可； （2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为 2：1，如图所示， 找出所求点坐标即可 【解答】解： （1）如图所示，画出ABC向下平移 4 个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是（2，2） ； （2）如图所示，以B为位似中心，画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为 2：1，点C2的坐标 是（1，0） ， 故答案为： （1） （2，2） ； （2） （1，0） 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 河北衡水中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形
21、ADEF的边 OA、AD分别在x轴上，OA2，AD3， 则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是 【答案】 （4，0）或（2，） 【分析】直接利用位似图形的性质结合比例式得出位似中心的坐标即可 【解答】解：连接FC并延长交x轴于点M， 12 由题意可得：MOCMAF， 则， ， 解得：MO4， 故M点的坐标为： （4，0） 连接DC，OE，交点为N， 可得CNOEND， 则， 解得：AN， 故N点坐标为： （2，） ， 综上所述：正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是（4，0）或（2，） 故答案为： （4，0）或（2，） 【考点【考点 4 4 相似三角形与几何图形】相似三角形与
22、几何图形】 【解题技巧】1.首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键， 添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形” 2.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造 相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方 法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 【例 4】 （2019 广东中考）如图，正方形ABCD的边长为 4，延长C
23、B至E使EB2，以EB为边在上方作正方 形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结 论：ANHGNF；AFNHFG；FN2NK；SAFN：SADM1：4其中正确的结论有（ ） 13 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 由正方形的性质得到FGBE2， FGB90，AD4，AH2， BAD90， 求得HANFGN， AHFG，根据全等三角形的定理定理得到ANHGNF（AAS） ，故正确；根据全等三角形的性质得到 AHNHFG， 推出AFHAHF， 得到AFNHFG， 故错误； 根据全等三角形的性质得到AN
24、AG1， 根据相似三角形的性质得到AHNAMG，根据平行线的性质得到HAKAMG，根据直角三角形的性质 得到FN2NK；故正确；根据矩形的性质得到DMAG2，根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：四边形EFGB是正方形，EB2， FGBE2，FGB90， 四边形ABCD是正方形，H为AD的中点， AD4，AH2， BAD90， HANFGN，AHFG， ANHGNF， ANHGNF（AAS） ，故正确； AHNHFG， AGFG2AH， AFFGAH， AFHAHF， AFNHFG，故错误； ANHGNF， ANAG1， GMBC4， 2， HANAGM90， 14 AHNGMA， A
25、HNAMG， ADGM， HAKAMG， AHKHAK， AKHK， AKHKNK， FNHN， FN2NK；故正确； 延长FG交DC于M， 四边形ADMG是矩形， DMAG2， SAFNANFG211，SADMADDM424， SAFN：SADM1：4 故正确， 故选：C 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 海南中考）如图，在 RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动 点，过点P作PQAB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，AP的长度为（ ） A B C D 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到
26、QBQD，根 15 据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解答】解：C90，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP， 故选：B 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 辽宁沈阳中考）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE4AE，点F在 DC的延长线上， 连接EF， 过点E作EGEF， 交CB的延长线于点G， 连接GF并延长， 交AC的延长线于点P， 若AB5，CF2，则线段EP的长是 【答案】 【分析】如图，作FHPE于H利用勾股定理求出E
27、F，再证明CEFFEP，可得EF 2ECEP，由此即可 解决问题 【解答】解：如图，作FHPE于H 16 四边形ABCD是正方形，AB5， AC5，ACDFCH45， FHC90，CF2， CHHF， CE4AE， EC4，AE， EH5， 在 RtEFH中，EF 2EH2+FH2（5 ） 2+（ ） 252， GEFGCF90， E，G，F，C四点共圆， EFGECG45， ECFEFP135， CEFFEP， CEFFEP， ， EF 2ECEP， EP 故答案为 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 陕西中考）如图，AC是O的直径，AB是O的一条弦，AP是O的切线作BM AB并与AP
28、交于点M，延长MB交AC于点E，交O于点D，连接AD （1）求证：ABBE； （2）若O的半径R5，AB6，求AD的长 17 【分析】 （1）根据切线的性质得出EAM90，等腰三角形的性质MABAMB，根据等角的余角相等得 出BAEAEB，即可证得ABBE； （2） 证得ABCEAM， 求得CAME，AM， 由DC， 求得DAMD， 即可证得ADAM 【解答】 （1）证明：AP是O的切线， EAM90， BAE+MAB90，AEB+AMB90 又ABBM， MABAMB， BAEAEB， ABBE （2）解：连接BC AC是O的直径， ABC90 在 RtABC中，AC10，AB6， BC8，
29、 BEABBM， EM12， 由（1）知，BAEAEB， ABCEAM CAME， 即， AM 又DC， DAMD 18 ADAM 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 安徽中考）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且 APBBPC135 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h1 2h 2h3 【分析】 （1）利用等式的性质判断出PBCPAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论； （3）先判断出 RtAEPRtCDP，得出，即h32h2，再由P
30、ABPBC，判断出， 即可得出结论 【解答】解： （1）ACB90，ABBC， ABC45PBA+PBC 又APB135， PAB+PBA45 PBCPAB 又APBBPC135， PABPBC （2）PABPBC 19 在 RtABC中，ABAC， PA2PC （3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E， PFh1，PDh2，PEh3， CPB+APB135+135270 APC90， EAP+ACP90， 又ACBACP+PCD90 EAPPCD， RtAEPRtCDP， ，即， h32h2 PABPBC， ， 即：h1 2h 2h3 三、 【达标测试】 （一）选择题（一
31、）选择题 20 1.（2019 浙江杭州中考）如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DEBC，M为BC边上一点（不 与点B，C重合） ，连接AM交DE于点N，则（ ） A B C D 【答案】C 【分析】先证明ADNABM得到，再证明ANEAMC得到，则，从而可对 各选项进行判断 【解答】解：DNBM， ADNABM， ， NEMC， ANEAMC， ， 故选：C 2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于 点H，在边BE上取点M使BMBC，作MNBG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在几何原本中利用 该图解释了（a
32、+b） （ab）a 2b2，现以点 F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记 EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ） 21 A B C D 【答案】C 【分析】如图，连接ALGL，PF利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可 【解答】解：如图，连接ALGL，PF 由题意：S矩形AMLDS阴a 2b2，PH ， 点A，L，G在同一直线上，AMGN， AMLGNL， ， ， 整理得a3b， ， 故选：C 3.（2019 重庆中考）如图，ABOCDO，若BO6，DO3，CD2，则AB的长是（ ） A2 B3 C4 D5 2
33、2 【答案】C 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案 【解答】解：ABOCDO， ， BO6，DO3，CD2， ， 解得：AB4 故选：C 4.（2019 河北辽宁沈阳中考） （2019沈阳）已知ABCABC，AD和AD是它们的对应中线，若AD 10，AD6，则ABC与ABC的周长比是（ ） A3：5 B9：25 C5：3 D25：9 【答案】C 【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比 【解答】解：ABCABC，AD和AD是它们的对应中线，AD10，AD6， ABC与ABC的周长比AD：AD10：65：3 故选：C 5.（2019哈尔滨）如图，在ABCD中，点
34、E在对角线BD上，EMAD，交AB于点M，ENAB，交AD于点N， 则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质 【解答】解： 在ABCD中，EMAD 易证四边形AMEN为平行四边形 易证BEMBADEND 23 ，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选：D 6.已知ABCABC，AB8，AB6，则（ ） A2 B C3 D 【答案】B 【分析】直接利用相似三角形的性质求解 【解答】解：ABCABC， 故选：B 7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知AOB和A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且AOB和 A1O
35、B1的周长之比为 1：2，点B的坐标为（1，2） ，则点B1的坐标为（ ） A （2，4） B （1，4） C （1，4） D （4，2） 【答案】A 【分析】过B作BCy轴于C，过B1作B1Dy轴于D，依据AOB和A1OB1相似，且周长之比为 1：2，即 可得到，再根据BOCB1OD，可得OD2OC4，B1D2BC2，进而得出点B1的坐标为（2， 4） 【解答】解：如图，过B作BCy轴于C，过B1作B1Dy轴于D， 点B的坐标为（1，2） ， 24 BC1，OC2， AOB和A1OB1相似，且周长之比为 1：2， ， BCOB1DO90，BOCB1OD， BOCB1OD， OD2OC4，B1
36、D2BC2， 点B1的坐标为（2，4） ， 故选：A （二）（二）填空题填空题 1.（2019 上海中考）在ABC和A1B1C1中，已知CC190，ACA1C13，BC4，B1C12，点D、 D1分别在边AB、A1B1上，且ACDC1A1D1，那么AD的长是 【答案】 【分析】根据勾股定理求得AB5，设ADx，则BD5x，根据全等三角形的性质得出C1D1ADx， A1C1D1A，A1D1C1CDA，即可求得C1D1B1BDC，根据等角的余角相等求得B1C1D1B，即可证 得C1B1DBCD，根据其性质得出2，解得求出AD的长 【解答】解：如图，在ABC和A1B1C1中，CC190，ACA1C1
37、3，BC4，B1C12， AB5， 设ADx，则BD5x， ACDC1A1D1， C1D1ADx，A1C1D1A，A1D1C1CDA， C1D1B1BDC， B90A，B1C1D190A1C1D1， B1C1D1B， C1B1DBCD， ，即2， 解得x， AD的长为， 25 故答案为 2.（2019 青海中考） （2019青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠 杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘 起 10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为 5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm
38、【答案】 【分析】 首先根据题意构造出相似三角形， 然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度 【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AMBN； 易知：ACMBCN； ， 杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为 5：1， ，即AM5BN； 当BN10cm时，AM50cm； 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压 50cm 故答案为：50 3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是 2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线 上的一点，若CE，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则 BG的长为 【答案】 26 【
39、分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证HDG BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题 得以解决 【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H， 正方形ABCD的面积是 2， ABBCCDDA， 又CE，EFCEAB， ， 即：F是CD的中点， AHBE， HFBC， BCFHDF90 BCFHDF （AAS） ， DHBC， AHBE， HFBC，HDGBEG HDGBEG， ， 在 RtABH中，BH， BG， 故答案为： 4.（2019长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78
40、 页的部分内容 27 例 2 如图，在ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： 证明：连结ED 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程 结论应用：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F （1）如图，若ABCD为正方形，且AB6，则OF的长为 （2）如图，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则ABCD的面积为 【答案】6 【分析】教材呈现：如图，连结ED根据三角形中位线定理可得DEAC，DEAC，那么DEGACG， 由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明； 结论应用： （1）如图先证明BEFDAF，得出B
41、FDF，那么BFBD，又BOBD，可得OF OBBFBD，由正方形的性质求出BD6，即可求出OF； （2）如图，连接OE由（1）易证2根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF与 OEF的面积比2，同理，CEG与OEG的面积比2，那么CEG的面积+BEF的面积2（OEG 的面积+OEF的面积）21，所以BOC的面积，进而求出ABCD的面积46 【解答】教材呈现： 证明：如图，连结ED 在ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， 28 DEAC，DEAC， DEGACG， 2， 3， ； 结论应用： （1）解：如图 四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
42、ADBC，BEBCAD，BOBD， BEFDAF， ， BFDF， BFBD， BOBD， OFOBBFBDBDBD， 正方形ABCD中，AB6， BD6， OF 故答案为； （2）解：如图，连接OE 由（1）知，BFBD，OFBD， 2 BEF与OEF的高相同， BEF与OEF的面积比2， 同理，CEG与OEG的面积比2， 29 CEG的面积+BEF的面积2（OEG的面积+OEF的面积）21， BOC的面积， ABCD的面积46 故答案为 6 5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y（x0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴 上，ABD是COD关于点D的位似图形，且ABD与C
43、OD的位似比是 1：3，ABD的面积为 1，则k的值 为 【答案】8 【分析】 根据ABD是COD关于点D的位似图形， 且ABD与COD的位似比是 1： 3， 得出， 进而得出假设BDx，AE4x，DO3x，ABy，根据ABD的面积为 1，求出xy2 即可得出答案 【解答】解：过A作AEx轴， ABD是COD关于点D的位似图形， 且ABD与COD的位似是 1：3， ， OEAB， 假设BDx，ABy 30 DO3x，AE4x，CO3y， ABD的面积为 1， xy1， xy2， ABAE4xy8， 即：k4xy8 故答案是：8 6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形
44、OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心 位似比为 2： 3， 点B、E在第一象限， 若点A的坐标为 （1， 0） ， 则点E的坐标是 【答案】 （，） 【分析】由题意可得OA：OD2：3，又由点A的坐标为（1，0） ，即可求得OD的长，又由正方形的性质， 即可求得E点的坐标 【解答】解：正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为 2：3， OA：OD2：3， 点A的坐标为（1，0） ， 即OA1， OD， 四边形ODEF是正方形， DEOD 31 E点的坐标为： （，） 故答案是： （，） 7.（2019 上海黄浦区中考模拟） （2019 秋黄浦区期中）在A
45、BC中，C90，AC4，BC3，D是边 AB上的一点，E是边AC上的一点 （D、E与端点不重合） ， 如果CDE与ABC相似， 那么CD的长是 【答案】或 【分析】分类讨论：当ABCCDE，如图 1，则CEDACB90，DCEA，证明BDAD即可解 决问题；当ABCDCE，如图 2，则CEDACB90，DCEB，接着证明CDAB，利用面积法 可计算出CD；当ABCCED，如图 3，CDEACB90，DCEA，证明CD为斜边上的中 线，则CDDADBAB 【解答】解：ACB90，AC4，BC3， AB5， 当ABCCDE，如图 1，则CEDACB90，DCEA， ADC为等腰三角形， CEAE，
46、 EDBC， BDAD， CDAB， 当ABCDCE，如图 2，则CEDACB90，DCEB， 而BCD+DCE90， B+BCD90， CDAB， CD， 当ABCCED，如图 3，CDEACB90，DCEA， DCDA， A+B90，DCE+BCD90， B+BCD90， 32 DBDC， CDDADBAB， 综上所述，CD的长为或 故答案为或 8.（2019 河北张家口中考模拟） （2019 秋大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADBC， ABC90， 且AB3， 点E是边AB上的动点， 当ADE， BCE， CDE两两相似时， 则AE 【答案】或 1 【分析】分情况讨论：CED90和CDE90，利用角平分线的性质和直角三角形 30 度角的性质分别 可得AE的长 【解答】解：分两种情况： 33 当CED90时，如图 1， 过E作EFCD于F， ADBC，ADBC， AB与CD不平行， 当ADE、BCE、CDE两两相似时， BECCDEADE， ABCED90， BCEDCE， AEEF，EFBE， AEBEAB， 当CDE90时，如图 2， 当ADE、BCE、CDE两两相似时， CEBCEDAED60， BCEDCE30， AB90， BEED2AE， AB3， AE1， 综上，AE的值为或 1 34 故答案为：或 1 （三）（三）
