1、 1 第第1616讲讲 相似三角形及其应用相似三角形及其应用 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 比例线段】比例线段】 1.比例的相关概念及性质 （1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比 （2）比例中项：如果a b b c，即 b 2ac，我们就把 b 叫做 a，c 的比例中项 （3）比例的性质 性质 1：a b c d adbc(a，b，c，d0) 性质 2：如果a b c d，那么 ab b cd d . 性质 3：如果a b c d m n(bdn0)，则 acm bdn m n(不唯一). 2.黄金分割：如果点 C 把线段 AB 分成两条线段，使AC AB
2、BC AC，那么点 C 叫做线段 AC 的黄金分割点，AC 是 BC 与 AB 的比例中项，AC 与 AB 的比叫做黄金比 【考点【考点 2 2 相似三角形的判定及性质】相似三角形的判定及性质】 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比 2性质： (1)相似三角形的对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 3判定： (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)两直角三角
3、形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 【考点【考点 3 3 位似图形】位似图形】 1相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比 叫做它们的相似比 2相似多边形的性质： (1)相似多边形的对应边成比例； (2)相似多边形的对应角相等； (3)相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 2 3位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或 在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比 4位似图形的性质： (1)在平面直角坐标系中，如
4、果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于 k 或k； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比 5找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即 是位似中心 6画位似图形的步骤： (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点； (3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点 【考点【考点 4 4 相似三角形与几何图形】相似三角形与几何图形】 相似三角形的知识在实际中应用非常广泛， 主要是用来测量、 计算那
5、些不易直接测量的物体的高度或宽度 二、考点分析 【考点【考点 1 1 比例线段】比例线段】 【解题技巧】1.判断比例线段一定是四条线段成比例，但四个数值成比例不一定是四个数，比例中项是三 个数。 2.黄金分割在现实生活中用途很广，要注意它的应用范围和条件，还要注意它的数值。 【例 1】 （2019 青海中考） （2019青海）如图，ADBECF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、 C和点D、E、F已知AB1，BC3，DE1.2，则DF的长为（ ） A3.6 B4.8 C5 D5.2 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 陕西中考）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC6，若点E，
6、F分别在AB，CD上， 且BE2AE，DF2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ） 3 A1 B C2 D4 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 辽宁沈阳中考模拟）已知a 5 b 4 c 3，且 3a2bc20，则 2a4bc 的值为_ 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 北京海淀区中考模拟）如图 1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段， 其中BC是较小的一段，如果BCABAC 2，那么称线段 AB被点C黄金分割为了增加美感，黄金分割经常 被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域如图 2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿 与内金水
7、桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割已知太和殿到内金水桥的距离 约为 100 丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取 2.2） 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 山东淄博中考模拟）已知，点C和点D是线段AB的黄金分割点，且线段AB长是方 程x 24x10 的根，求线段 CD的长 【考点【考点 2 2 相似三角形的判定及性质】相似三角形的判定及性质】 【解题技巧】1.判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定(1)或再找夹边成比例用判定(2)； (3)条件中若有两边对应成比例，
8、可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例 2.应注意相似三角形的对应边成比例，若已知ABCDEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写 正确，才能得到正确的答案如：AB BC DE EF，此式正确那么想一想，哪种情况是错误的呢？可以举例说明 【例 2】 （2019 河北中考） （2019 安徽中考）如图，在 RtABC中，ACB90，AC6，BC12，点D在 4 边BC上，点E在线段AD上，EFAC于点F，EGEF交AB于点G若EFEG，则CD的长为（ ） A3
9、.6 B4 C4.8 D5 【举一反三举一反三 2-1】 （2016 河北中考）如图，ABC中，A78，AB4，AC6将ABC沿图示中的虚线 剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-2】 （2016 河南开封中考模拟） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知OA12 厘米，OB6 厘米 点 P从点O开始沿OA边向点A以 1 厘米/秒的速度移动； 点Q从点B开始沿BO边向点O以 1 厘米/秒的速度移 动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6） ，那么，当t为何值时，POQ与AOB相 似？ 5 【举一反三举一反三 2-3】(2019 石家
10、庄二十八中中考模拟)如图，点 B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧，AC 90，BDBE，ADBC. (1)求证：ACADCE； (2)若 AD3，CE5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQDP，交直线 BE 于点 Q.若点 P 与 A，B 两 点不重合，求DP PQ的值 【举一反三举一反三 2-4】(2017 株洲中考)如图所示，正方形 ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上， EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF. (1)求证：DAEDCF； (2)求证：ABGCFG. 【考点【考点 3 3 位似图形】位似图形】 【解题技巧】1.
11、位似图形的判断： 两个图形必须是相似形； 对应点的连线都经过同一点； 6 对应边平行 2.位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等 于k或k 【例 3】 （2019 吉林中考）在某一时刻，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的影 长为 90m，则这栋楼的高度为_m 【举一反三举一反三 3-1】 （2017 河北中考）若ABC的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B的度数与 其对应角B的度数相比（ ） A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变 【举一反三举一反三 3-2
12、】 （2019 河北衡水中考模拟） 已知： ABC在直角坐标平面内， 三个顶点的坐标分别为A（0， 3） 、B（3，4） 、C（2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出ABC向下平移 4 个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是_； （2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为 2：1，点C2的坐标 是_ 7 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 河北衡水中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边 OA、AD分别在x轴上，OA2，AD3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是
13、 _ 【考点【考点 4 4 相似三角形与几何图形】相似三角形与几何图形】 【解题技巧】1.首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键， 添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形” 2.三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造 相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方 法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 【例 4】
14、（2019 广东中考）如图，正方形ABCD的边长为 4，延长CB至E使EB2，以EB为边在上方作正方 形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结 论：ANHGNF；AFNHFG；FN2NK；SAFN：SADM1：4其中正确的结论有（ ） 8 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 海南中考）如图，在 RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动 点，过点P作PQAB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，AP的长度为（ ） A B C D 【举一反三举一反三 4
15、-2】 （2019 辽宁沈阳中考）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE4AE，点F在 DC的延长线上， 连接EF， 过点E作EGEF， 交CB的延长线于点G， 连接GF并延长， 交AC的延长线于点P， 若AB5，CF2，则线段EP的长是_ 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 陕西中考）如图，AC是O的直径，AB是O的一条弦，AP是O的切线作BM AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交O于点D，连接AD （1）求证：ABBE； （2）若O的半径R5，AB6，求AD的长 9 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 安徽中考）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P
16、为ABC内部一点，且 APBBPC135 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h1 2h 2h3 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 浙江杭州中考）如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DEBC，M为BC边上一点（不 与点B，C重合） ，连接AM交DE于点N，则（ ） 10 A B C D 2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于 点H，在边BE上取点M使BMBC，作MNBG交CD于点L，交FG于点N
17、，欧几里得在几何原本中利用 该图解释了（a+b） （ab）a 2b2，现以点 F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记 EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ） A B C D 3.（2019 重庆中考）如图，ABOCDO，若BO6，DO3，CD2，则AB的长是（ ） A2 B3 C4 D5 4.（2019 河北辽宁沈阳中考） （2019沈阳）已知ABCABC，AD和AD是它们的对应中线，若AD 10，AD6，则ABC与ABC的周长比是（ ） A3：5 B9：25 C5：3 D25：9 5.（2019哈尔滨）如图，在ABCD中，点E
18、在对角线BD上，EMAD，交AB于点M，ENAB，交AD于点N， 则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 6.已知ABCABC，AB8，AB6，则（ ） 11 A2 B C3 D 7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知AOB和A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且AOB和 A1OB1的周长之比为 1：2，点B的坐标为（1，2） ，则点B1的坐标为（ ） A （2，4） B （1，4） C （1，4） D （4，2） （二）（二）填空题填空题 1.（2019 上海中考）在ABC和A1B1C1中，已知CC190，ACA1C13，BC4，B1C12，点D、 D1分别在边AB、A1B1
19、上，且ACDC1A1D1，那么AD的长是_ 2.（2019 青海中考） （2019青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠 杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘 起 10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为 5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 _cm 3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是 2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线 上的一点，若CE，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则 BG的长为_ 4.（2019长春）教
20、材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 2 如图，在ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： 证明：连结ED 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程 结论应用：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F 12 （1）如图，若ABCD为正方形，且AB6，则OF的长为_ （2）如图，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则ABCD的面积为_ 5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y（x0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴 上，ABD是COD关于点D的位似图形，且ABD与COD的
21、位似比是 1：3，ABD的面积为 1，则k的值 为_ 13 6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心位似比为 2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0） ，则点E的坐标是 _ 14 7.（2019 上海黄浦区中考模拟） （2019 秋黄浦区期中）在ABC中，C90，AC4，BC3，D是边 AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合） ，如果CDE与ABC相似，那么CD的长是 _ 8.（2019 河北张家口中考模拟） （2019 秋大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADBC， AB
22、C90，且AB3，点E是边AB上的动点，当ADE，BCE，CDE两两相似时，则AE _ （三）（三）解答题解答题 1.（2019 河南中考）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接 AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当60时，的值是_，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是_ （2）类比探究 如图 2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明 理由 （3）解决问题 当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线
23、上 15 时的值 2.（2019 湖北黄石中考）如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是O上的两点，CECB， BCDCAE，延长AE交BC的延长线于点F （1）求证：CD是O的切线； （2）求证：CECF； （3）若BD1，CD，求弦AC的长 16 3.（2019 江苏南京中考）如图，在 RtABC中，C90，AC3，BC4求作菱形DEFG，使点D在 边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上 小明的作法 1如图，在边AC上取一点D，过点D作DGAB交BC于点G 2以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E 3在EB上截取EFED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形 （
24、1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形 （2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索，直接写出 菱形的个数及对应的CD的长的取值范围 17 4.（2019 河辽宁大连北中考）阅读下面材料，完成（1）（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，ABC中，BAC90，点D、E在BC上，ADAB，ABkBD （其中k1）ABCACB+BAE，EAC的平分线与BC相交于点F，BGAF，垂足为G，探究线段 BG与AC的数量关系，并证明同学们经过思考后，交流了自已的想法： 小明： “通过观察和度量，发现BAE与DAC相等 ” 小伟： “通过构造全等三角形，经过进
25、一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系 ” 老师： “保留原题条件，延长图 1 中的BG，与AC相交于点H（如图 2） ，可以求出的值 ” （1）求证：BAEDAC； （2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示） ，并证明； （3）直接写出的值（用含k的代数式表示） 5.（2019 上海中考）已知：如图，AB、AC是O的两条弦，且ABAC，D是AO延长线上一点，联结BD并 延长交O于点E，联结CD并延长交O于点F 18 （1）求证：BDCD； （2）如果AB 2AOAD，求证：四边形 ABDC是菱形 6.（2019宁夏）如图，在ABC中，A90，AB3，AC4，点M，Q分别是边
26、AB，BC上的动点（点M 不与A，B重合） ，且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x （1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值 19 7.（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0） ，B（3，0） ，C（3，8） ，以线段BC为直径作 圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接OD （1）求证：直线OD是E的切线； （2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG； 当 tanACF时，求所有F点的坐标_（直接写出） ； 求的最大值 8.（2019 江西中考）在图 1，2，3 中，已知ABCD，ABC120，点E为线段BC上的动点，连接AE， 以AE为边向上作菱形AEFG，且EAG120 20 （1）如图 1，当点E与点B重合时，CEF_； （2）如图 2，连接AF 填空：FAD_EAB（填“” ， “， “” ） ； 求证：点F在ABC的平分线上； （3）如图 3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值
