1、 1 第第 1212 讲讲 反比例函数及其应用反比例函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 1.反比例函数的概念：1 1一般地，如果变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以表示成 yk x(k 是常数，且 k 0)的形式，则称 y 是 x 的反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一 切实数。 2.函数图像的性质： 对于反比例函数 yk x(k0)， k0 时， 反比例函数图像经过第一、 三象限(x， y 同号)， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，关于直线 yx 对称；k0 时，反
2、比例函数图像经过第二、四象限 (x，y 异号)，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大关于直线 yx 对称。 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 1.反比例函数表达式的确定的步骤： (1)设所求的反比例函数为 yk x(k0)； (2)根据已知条件列出含 k 的方程； (3)由代入法求待定系数 k 的值； (4)把 k 代入函数表达式 yk x中 2.求表达式的两种途径： (1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出； (2)在已知两个变量 x，y 具有反比例关系 yk x(x0)的前提下，根据一对 x，y 的值，列出一个关于 k 的方 程，求得 k 的值，确定
3、出函数的表达式 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析 其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据 【考点【考点 4 4 反比例函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清 楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 2 【解题技巧】
4、1.对于反比例函数 yk x(k 是常数，且 k0)k 的几何意义： 设 P(x，y)是反比例函数 yk x图像上任一点，过点 P 作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N，则 S 矩形 PNOMPMPN |y|x|xy|k|. 2.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在已知点在图象上，那么点一定满足这 个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上还能利用图象直接 比较函数值或是自变量的大小将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法 【例 1】 （2019 安徽中考）已知点A（1，3）关于x轴的对称点A在反比例函数y的图象上，则实数 k的值为（
5、） A3 B C3 D 【答案】A 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A的坐标为（1，3） ，然后把A的坐标代入y中即 可得到k的值 【解答】解：点A（1，3）关于x轴的对称点A的坐标为（1，3） ， 把A（1，3）代入y得k133 故选：A 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 海南中考）如果反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca2 Da2 【答案】D 【分析】反比例函数y图象在一、三象限，可得k0 【解答】解：反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限， 3 a20， a2 故选：D 【举一反三举一反三 1-2】 （2
6、019 江苏徐州中考）若A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数y的图象上，且x10 x2，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【答案】A 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题 【解答】解：函数y， 该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小， A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数y的图象上，且x10 x2， y1y2， 故选：A 【举一反三举一反三 1-3】 （2019河北石家庄中考模拟）定义新运算：ab=例如：45= ，4（ 5）= 则函数 y=2x（x0）的图象大致是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 根据题意可得 y=
7、2x=， 再根据反比例函数的性质可得函数图象所在 象限和形状，进而得到答案 4 【解答】 ：由题意得：y=2x=， 当 x0 时，反比例函数 y= 在第一象限， 当 x0 时，反比例函数y= 在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D 选项符合， 故选：D 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 吉林中考）已知y是x的反比例函数，并且当x2 时，y6 （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x4 时，求y的值 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）直接利用x4 代入求出答案 【解答】解： （1）y是x的反例函数， 所以，设， 当x2 时，y6 所以，k
8、xy12， 所以，； （2）当x4 时，y3 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型一般地，建立函数模型有两种思路： 一是通过问题提供的信息， 知道变量之间的函数关系， 在这种情况下， 可先设出函数的表达式 yk x(k0)， 再由已知条件确定表达式中 k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过 分析找出变量的关系并确定函数表达式 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳 为“杠杆原理” ，即：阻力阻力臂动力动力
9、臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别 是 1200N和 0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ） AF BF CF DF 【答案】B 5 【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式 【解答】 解： 阻力阻力臂动力动力臂 小伟欲用撬棍撬动一块石头， 已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m， 动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：12000.5Fl， 则F 故选：B 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 浙江温州中考）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米） 的对应数
10、据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ） 近视眼镜的度 数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x （米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 Ay By Cy Dy 【答案】A 【分析】直接利用已知数据可得xy100，进而得出答案 【解答】解：由表格中数据可得：xy100， 故y关于x的函数表达式为：y 故选：A 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 河北中考）长为 300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2， 当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均 为 2
11、v（m/s） ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置O开始行进的时间为t（s） ，排头与O 的距离为S头（m） （1）当v2 时，解答： 求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围） ； 当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m） ，求S 6 甲与t的函数关系式（不写t的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s） ，求T与v的函数关系式（不写v的取值范围） ，并写出队伍在此 过程中行进的路程 【分析】 （1）排头与O的距离为S头（m） 等于排头行走的路程+队伍的长 300，而排头行进的时间也是t （s） ，速度是 2m/s，可以
12、求出S头与t的函数关系式； 甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程 中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去 甲从排尾赶到排头的时间） ，于是可以求S甲与t的函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为T（s） ，是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以 根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程队伍速度 返回时间 【解答】解： （1）排尾从位置O开始行进的时间为t（s） ，则排头也离开原排头t（s） ， S头2t+300 甲从排尾赶到
13、排头的时间为 300（2vv）300v3002150 s，此时S头2t+300600 m 甲返回时间为： （t150）s S甲S头S甲回2150+3004（t150）4t+1200； 因此，S头与t的函数关系式为S头2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为 600m，在甲从排头返回到 排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲4t+1200 （2）Tt追及+t返回+， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v（T150）v（150）400150v； 因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为（400150v）m 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 浙江杭州中考）方方
14、驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为 480 千米， 设小汽车的行驶时间为t（单位：小时） ，行驶速度为v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时 （1）求v关于t的函数表达式； 7 （2）方方上午 8 点驾驶小汽车从A地出发 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围 方方能否在当天 11 点 30 分前到达B地？说明理由 【分析】 （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）8 点至 12 点 48 分时间长为小时，8 点至 14 点时间长为 6
15、小时，将它们分别代入v关于t的函 数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； 8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于 120 千米/时，从而 得答案 【解答】解： （1）vt480，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时， v关于t的函数表达式为：v， （0t4） （2）8 点至 12 点 48 分时间长为小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时 将t6 代入v得v80；将t代入v得v100 小汽车行驶速度v的范围为：80v100 方方不能在当天 11 点 30 分前到达B地理由如下： 8 点至 11 点 30 分时间长为小时，将t代入v得v12
16、0 千米/小时，超速了 故方方不能在当天 11 点 30 分前到达B地 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系 （4）两条双曲线之间的关系 2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的 横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解 【例 3】 （2019 重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角 线BDx轴，反比例函数
17、y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点E若点A（2，0） ，D（0，4） ， 则k的值为（ ） 8 A16 B20 C32 D40 【答案】B 【分析】 根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同， 可设B（x， 4） 利用矩形的性质得出E为BD中点， DAB90根据线段中点坐标公式得出E（x，4） 由勾股定理得出AD 2+AB2BD2，列出方程 22+42+（x2）2+42x2，求出 x，得到E点坐标，代入y，利 用待定系数法求出k 【解答】解：BDx轴，D（0，4） ， B、D两点纵坐标相同，都为 4， 可设B（x，4） 矩形ABCD的对角线的交点为E， E为BD中点，DAB90 E（x
18、，4） DAB90， AD 2+AB2BD2， A（2，0） ，D（0，4） ，B（x，4） ， 2 2+42+（x2）2+42x2， 解得x10， E（5，4） 反比例函数y（k0，x0）的图象经过点E， k5420 故选：B 【举一反三举一反三 3-1】 （2019河北沧州中考模拟）如图，AOB为等边三角形，点B的坐标为（2，0） ，过点C （2，0）作直线l交AO于点D，交AB于E，点E在反比例函数0）的图象上，若ADE和DCO 9 （即图中两阴影部分）的面积相等，则k值为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】连接AC，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出ABC是直角三角形，再由
19、SADESDCO，SAEC SADE+SADC，SAOCSDCO+SADC，可得出SAECSAOC，故可得出AE的长，再由中点坐标公式求出E点坐标， 把点E代入反比例函数y即可求出k的值 【解答】解：连接AC 点B的坐标为（2，0） ，AOB为等边三角形， AOOC2， OCAOAC， AOB60， ACO30，B60， BAC90， 点A的坐标为（1，） ， SADESDCO，SAECSADE+SADC，SAOCSDCO+SADC， SAECSAOCAEACCO， 即 AE22， AE1 E点为AB的中点（，） 把E点（，）代入y得，k（） 故选：D 10 【举一反三举一反三 3-2】 （2
20、019深圳）如图，在 RtABC中，ABC90，C（0，3） ，CD3AD，点A在反比例 函数y图象上，且y轴平分ACB，求k 【答案】 【分析】要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD3AD和C（0，3） 可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定 未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值 【解答】解：过A作AEx轴，垂足为E， C（0，3） ， OC3， 可证ADECDO， ， AE1； 又y轴平分ACB，COBD， BOOD， ABC90， ABECOD， 设DEn，则BOOD3n，BE7n， ， 11 n
21、 OE4n A（，1） k 故答案为： 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 河北孝感中考）如图，双曲线y（x0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y （x0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF若OD：OB2：3，则BEF 的面积为 【答案】 【分析】设D（2m，2n） ，根据题意A（3m，0） ，C（0，3n） ，B（3m，3n） ，即可得出 93m3n，k2m2n 4mn，解得mn1，由E（3m，n） ，F（m，3n） ，求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到SBEF BEBFmn 【解答】解：设D（2m，2n） ， OD：OB2：3， A（3m，0） ，
22、C（0，3n） ， B（3m，3n） ， 12 双曲线y（x0）经过矩形OABC的顶点B， 93m3n， mn1， 双曲线y（x0）经过点D， k4mn 双曲线y（x0） ， E（3m，n） ，F（m，3n） ， BE3nnn，BF3mmm， SBEFBEBFmn 故答案为 【举一反三举一反三 3-4】 （2019辽宁大连中考模拟）如图，点P在双曲线y（x0）上，以P为圆心的P与 两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PFPE交x轴于点F，若OFOE6，则k的值 是 【答案】9 【分析】过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据P与两坐标轴都相切可知，PAPB，由APB EPF9
23、0可证BPEAPF，得BEAF，利用OFOE6，求圆的半径，根据kOAPA求解 【解答】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B， P与两坐标轴都相切， PAPB，四边形OAPB为正方形， APBEPF90， BPEAPF， RtBPERtAPF， 13 BEAF， OFOE6， （OA+AF）（BEOB）6， 即 2OA6， 解得OA3， kOAPA339 故答案为：9 【举一反三举一反三 3-5】 （2019兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k0）的图象经过等 边三角形BOC的顶点B，OC2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA （1）求反比例函数y（k0）的表
24、达式； （2）若四边形ACBO的面积是 3，求点A的坐标 【分析】 （1）作BDOC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得OD1，BD，进而求得三角形 BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得k，从而求得反比例函数的表达式； （2）求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标 【解答】解： （1）作BDOC于D， BOC是等边三角形， OBOC2，ODOC1， BD， 14 SOBDODBD， SOBD|k|， |k|， 反比例函数y（k0）的图象在一三象限， k， 反比例函数的表达式为y； （2）SOBCOCBD， SAOC32， SAOCOCyA2，
25、 yA2， 把y2代入y，求得x， 点A的坐标为（，2） 【考点【考点 4 4 反比例函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面： 探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法； 探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标； 探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法； 两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系， 从而写出函数值的大小 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程
26、组求解，若方程组有解则两者有 交点，方程组无解，则两者无交点 15 （2）判断正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 当k1与k2同号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 2 个交点； 当k1与k2异号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 0 个交点 另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。 【例 4】（2019日照） 在同一平面直角坐标系中， 函数ykx+1 （k0） 和y （k0） 的图象大致是 （ ） A B C D 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过
27、象限；再分析出k0 时，一次 函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【解答】解：当k0 时，ykx+1 过一、二、三象限；y过一、三象限； 当k0 时，ykx+1 过一、二、四象象限；y过二、四象限 观察图形可知，只有C选项符合题意 故选：C 【举一反三举一反三 4-1】 （2019深圳） 已知yax 2+bx+c （a0） 的图象如图， 则yax+b和y的图象为 （ ） 16 A B C D 【答案】C 【分析】根据二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象可以得到 a0，b0，c0，由此可以判定yax+b经 过一、二、四象限，双曲线y在二、四象限 【解答】解：根据二次函数yax
28、 2+bx+c（a0）的图象， 可得a0，b0，c0， yax+b过一、二、四象限， 双曲线y在二、四象限， C是正确的 故选：C 【举一反三举一反三 4-2】 （2017 河北中考）如图，若抛物线yx 2+3 与 x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点 的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y（x0）的图象是（ ） 17 A B C D 【答案】D 【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k4，即可得出答案 【解答】解：抛物线yx 2+3，当 y0 时，x； 当x0 时，y3， 则抛物线yx 2+3 与 x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（1，1） ，
29、 （0，1） ， （0，2） ， （1，1） ；共有 4 个， k4； 故选：D 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 山东淄博中考模拟）已知点A，B分别在反比例函数y （x0） ，y（x0） 的图象上且OAOB，则 tanB为（ ） A B C D 【答案】B 【分析】首先设出点A和点B的坐标分别为： （x1，） 、 （x2，） ，设线段OA所在的直线的解析式为： 18 yk1x，线段OB所在的直线的解析式为：yk2x，然后根据OAOB，得到k1k2 （）1，然后 利用正切的定义进行化简求值即可 【解答】解：法一： 设点A的坐标为（x1，） ，点B的坐标为（x2，） ， 设线段OA所在的
30、直线的解析式为：yk1x，线段OB所在的直线的解析式为：yk2x， 则k1，k2， OAOB， k1k2 （）1 整理得： （x1x2） 216， tanB 法二：过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N， AMOBNO90， AOM+PAM90， OAOB， AOM+BON90， AOMBON， AOMOBN， 点A，B分别在反比例函数y（x0） ，y（x0）的图象上， SAOM：SBON1：4， AO：BO1：2， tanB 故选：B 【举一反三举一反三 4-4】 （2018 河北中考）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18 米，与y轴 19 交于点B，与滑道y（x1
31、）交于点A，且AB1 米运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后， 从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米） 与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t1 时h5，M，A的水平距离是vt米 （1）求k，并用t表示h； （2）设v5用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围） ，及y13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距x轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围 【分析】 （1）用待定系数法解题即可
32、； （2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式； （3）求出甲距x轴 1.8 米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过 4.5 米的v乙 【解答】解： （1）由题意，点A（1，18）带入y 得：18 k18 设hat 2，把 t1，h5 代入 a5 h5t 2 （2）v5，AB1 x5t+1 h5t 2，OB18 y5t 2+18 由x5t+1 则t 20 y 当y13 时，13 解得x6 或4 x1 x6 把x6 代入y y3 运动员在与正下方滑道的竖直距离是 13310（米） （3）把y1.8 代入y5t 2+18 得t 2 解得t1.8 或1.8（负值舍去
33、） x10 甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y上 此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8） 由题意：1+1.8v乙（1+51.8）4.5 v乙7.5 【举一反三举一反三 4-5】 （2019 广东中考）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、 B两点，其中点A的坐标为（1，4） ，点B的坐标为（4，n） （1）根据图象，直接写出满足kx+b的x的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点P在线段AB上，且SAOP：SBOP1：2，求点P的坐标 21 【分析】 （1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围； （2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求
34、k2，n，k1，b的值，从而求得解析式； （3）根据三角形面积相等，可得答案 【解答】解： （1）点A的坐标为（1，4） ，点B的坐标为（4，n） 由图象可得：kx+b的x的取值范围是x1 或 0 x4； （2）反比例函数y的图象过点A（1，4） ，B（4，n） k2144，k24n n1 B（4，1） 一次函数ykx+b的图象过点A，点B ， 解得：k1，b3 直线解析式yx+3，反比例函数的解析式为y； （3）设直线AB与y轴的交点为C， C（0，3） ， SAOC31， SAOBSAOC+SBOC31+4， SAOP：SBOP1：2， SAOP， SCOP1， 3xP1， xP， 点P在
35、线段AB上， y+3， P（，） 22 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 云南中考）若点（3，5）在反比例函数y（k0）的图象上，则k（ ） A9 B25 C15 D30 【答案】C 【分析】点在函数的图象上，其纵横坐标一定满足函数的关系式，反之也成立，因此只要将点（3，5）代 入反比例函数y（k0）即可 【解答】解：把点（3，5）的纵横坐标代入反比例函数y得：k3515 故选：C 2.（2019 天津中考）若点A（3，y1） ，B（2，y2） ，C（1，y3）都在反比例函数y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y
36、2y3 Dy3y2y1 【答案】B 【分析】分别计算出自变量为3、2 和 1 对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系 【解答】解：当x3，y14； 当x2，y26； 当x1，y312， 所以y3y1y2 故选：B 3.（2019长春）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3） 、 （3、0） ACB 90，AC2BC，则函数y（k0，x0）的图象经过点B，则k的值为（ ） 23 A B9 C D 【答案】D 【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3） 、 （3、0）可知OAOC3，进而可求出AC，由AC2BC，又可求 BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出
37、点B的坐标，再求出k的值 【解答】解：过点B作BDx轴，垂足为D， A、C的坐标分别是（0，3） 、 （3、0） ， OAOC3， 在 RtAOC中，AC， 又AC2BC， BC， 又ACB90， OACOCA45BCDCBD， CDBD， OD3+ B（，）代入y得：k， 故选：D 4.（2019广西）若点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）在反比例函数y（k0）的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1 24 【答案】C 【分析】k0，y随x值的增大而增大， （1，y1）在第二象限， （2，y2） ， （3，
38、y3）在第四象限，即可解题； 【解答】解：k0， 在每个象限内，y随x值的增大而增大， 当x1 时，y10， 23， y2y3y1 故选：C 5.（2019哈尔滨）点（1，4）在反比例函数y的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A （4，1） B （，1） C （4，1） D （，2） 【答案】A 【分析】将点（1，4）代入y，求出函数解析式即可解题； 【解答】解：将点（1，4）代入y， k4， y， 点（4，1）在函数图象上， 故选：A 6.（2019武汉）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1） 、B（x2，y2）两点在该 图象上，下列命题：过点A作ACx轴，
39、C为垂足，连接OA若ACO的面积为 3，则k6；若x1 0 x2，则y1y2；若x1+x20，则y1+y20，其中真命题个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可 【解答】解：过点A作ACx轴，C为垂足，连接OA ACO的面积为 3， |k|6， 25 反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限， k0， k6，正确，是真命题； 反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限， 在所在的每一个象限y随着x的增大而增大， 若x10 x2，则y10y2，正确，是真命题； 当A、B两点关于原点对称时，x1+x20，则y
40、1+y20，正确，是真命题， 真命题有 3 个， 故选：D 7.（2019广州）若点A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系是（ ） Ay3y2y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy1y2y3 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论 【解答】解：点A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数y的图象上， y16，y23，y32， 又623， y1y3y2 故选：C 8.（2019 河北中考）如图，函数y的图象所在坐标系的原点是（ ） A点M B点N C
41、点P D点Q 【答案】A 26 【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解； 【解答】解：由已知可知函数y关于y轴对称， 所以点M是原点； 故选：A （二）（二）填空题填空题 1.（2019 陕西中考）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A（0，4） ，B（6，0） ，若一个反比例函数的图象经 过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 【答案】 （，4） 【分析】根据矩形的性质求得C（6，4） ，由D是矩形AOBC的对称中心，求得D（3，2） ，设反比例函数的 解析式为y，代入D点的坐标，即可求得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得M 点的坐标 【解答】解：A（0，4） ，B
42、（6，0） ， C（6，4） ， D是矩形AOBC的对称中心， D（3，2） ， 设反比例函数的解析式为y， k326， 反比例函数的解析式为y， 把y4 代入得 4，解得x， 故M的坐标为（，4） 27 故答案为（，4） 2.（2019南通）如图，过点C（3，4）的直线y2x+b交x轴于点A，ABC90，ABCB，曲线y（x 0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 【答案】4 【分析】作CDx轴于D，BFx轴于F，过B作BECD于E，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得 A的坐标，通过证得EBCFBA，得出CEAF，BEBF，设B（m，） ，则 4m1，
43、m3，求 得k4，得到反比例函数的解析式y，把x1 代入求得函数值 4，则a404 【解答】解：作CDx轴于D，BFx轴于F，过B作BECD于E， 过点C（3，4）的直线y2x+b交x轴于点A， 423+b，解得b2， 直线为y2x2， 令y0，则求得x1， A（1，0） ， BFx轴于F，过B作BECD于E， BEx轴， ABEBAF， ABC90， ABE+EBC90， BAF+ABF90， EBCABF， 在EBC和FBA中 28 EBCFBA（AAS） ， CEAF，BEBF， 设B（m，） ， 4m1，m3， 4（m3）m1， 解得m4，k4， 反比例函数的解析式为y， 把x1 代入
44、得y4， a404， a的值为 4 故答案为 4 3.（2019日照）如图，已知动点A在函数的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长 CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别 交x轴、y轴于点M、N，当NF4EM时，图中阴影部分的面积等于 【答案】2.5 29 【分析】作DFy轴于点D，EGx轴于G，得到GEMDNF，于是得到4，设GMt，则DF 4t，然后根据AEFGME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解 【解答】解：作DFy轴于点D，EGx轴于G， GEMDNF， NF4EM， 4， 设GMt，则DF4t， A
45、（4t，） ， 由ACAF，AEAB， AF4t，AE，EG， AEFGME， AF：EGAE：GM， 即 4t：t，即 4t 2 ， t 2 ， 图中阴影部分的面积+2+2.5， 故答案为：2.5 4.（2019沈阳）如图，正比例函数y1k1x的图象与反比例函数y2（x0）的图象相交于点A（， 2） ，点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3，连接OB，AB，则AOB的面积是 30 【答案】2 【分析】把点A（，2）代入y1k1x和y2（x0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出 反比例函数的解析式，过点B作BDx轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角 形的面
46、积公式即可求出AOB的面积 【解答】 解：（1） 正比例函数y1k1x的图象与反比例函数y2（x0） 的图象相交于点A（， 2） ， 2k1，2， k12，k26， 正比例函数为y2x，反比例函数为：y， 点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是 3， y2， B（3，2） ， D（1，2） ， BD312 SAOBSABD+SOBD2（22）+222， 故答案为 2 5.（2019新疆）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y2x与反比例函数y的图象交 于A（a，4） ，B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y交于P，Q两点（P点在第二象限） ，若以 31 点A，B，P，Q为顶点的四
47、边形面积为 24，则点P的坐标是 【答案】P（4，2）或P（1，8） 【分析】先将y4 代入正比例函数y2x，可得出x2，求得点A（2，4） ，再根据点A与B关于原 点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为 顶点的四边形应该是平行四边形，那么POB的面积就应该是四边形面积的四分之一即 6可根据双曲线的 解析式设出P点的坐标，然后表示出POB的面积，由于POB的面积为 6，由此可得出关于P点横坐标的 方程，即可求出P点的坐标 【解答】解：点A在正比例函数y2x上， 把y4 代入正比例函数y2x， 解得x2，点A（2，4） ， 点A与B关于原点对称， B点坐标为（2，4） ， 把点A（2，4）代入反比例函数y，得k8， 反比例函数为y， 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， OPOQ，OAOB， 四边形AQBP是平行四边形， SPOBS平行四边形AQBP246， 设
