第12讲 二次函数(教师版)备战2020年中考考点讲练案

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1、 1 第 12 讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质 3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并会求解二次函数的最值问题 4熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数 2 yaxbxc,配方为 2 2 4 24 bacb ya x aa ,顶点坐标是( 2 b a , 2 4 4 acb a ),对称 轴是a 2 b a ,与y轴交点坐标是(0,c),与x轴交点的横坐标是 2 0axbxc的根,当a0时,抛物线开

2、 口向上,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a0时,抛物线开 口向下,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 2. 解答有关二次函数图象问题时,要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点,解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发,通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系, 再结合对称轴 x a b 2 ,确定 a、b 之间等量关系,判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b24ac 3. 抛物线的平移遵循“左加右减,上加下减”的原则,具体为: (1)上下平移:抛物线 y=a(xh)2

3、+k 向上平移 m(m0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+k+m; 抛物线 y=a(xh)2+k 向下平移 m(m0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+km (2)左右平移:抛物线 y=a(xh)2+k 向左平移 n(n0)个单位,所得抛物线的解析式为 y=a(xh+n)2+k; 抛物线 y=a(xh)2+k 向右平移 n(n0)个单位,所得的抛物线的解析式为 y=a(xhn)2+k. 特别地,要 注意其中的符号处理 【解题策略】 1. (1)二次函数y 2 axbxc(0)的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系: , , 的代数式 决定图象特征 说明

4、 决定抛物线的开口方向 0 开口向上 0 开口向下 决定抛物线与y轴交点 0 与y轴交点在轴上方 2 的位置,交点坐标为 (0, ) 0 抛物线过原点 0 与y轴交点在轴下方 2 b a 决定对称轴的位置,对 称轴为直线 2 b a ab0 对称轴在y轴左侧 ab0 对称轴在y轴右侧 0 对称轴是y轴 2 4bac 决定抛物线与轴交点的 个数 2 4bac0 与轴有两个交点 2 4bac0 与轴有一个交点 2 4bac0 与轴没有交点 (2)二次函数y 2 axbxc(0)的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程 2 axbxc0(0) 的两个根 2. 在探讨动态问题时,首先要对运动过程做一

5、个全面、全程的答案,弄清楚运动过程中的变量和常量,其 次,要分清运动过程中不同的位置关系,找到相邻两种状态的分界点,例如这道题的分界点是 x=2,根据不 同的情况分类讨论,画出图形,然后把图中的线段用含有运动时间 t 或者自变量 x 的代数式表示出来,然后 考虑构建方程、不等式或函数关系式; 3. 解答有关二次函数图象问题时,要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点,解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发,通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系, 再结合对称轴 x a b 2 ,确定 a、b 之间等量关系,判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b

6、24ac 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种: (1)把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等,把各点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性 进行比较大小; (2)当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时,可先求出相应点的纵坐标,然后比较大小; (3)利用“开口向上,抛物线上的点距离对称轴越近,点的纵坐标越小,开口向下,抛物线上的点距离对 称轴越近,点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】 类型一:二次函数的图象及性质 【例 1】( 2019 甘肃省兰州市) (5 分)已知,点 A(1,y1) ,B(2,y2)在抛物线 y(x+1)2 +2 上, 则下列结论正

7、确的是( ) A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 【答案】A 3 【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下,对称轴为直线 x1,顶点坐标(1,2 ) ,根据函数 增减性可以得到,当 x1 时,y 随 x 的增大而减小.因为11 y1 y2 .故选 A. 【点评】比较两个二次函数值大小的方法: (1)直接代入自变量求值法;(2)当自变量在对称轴两侧时,看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断; (3)当自变量在对称轴同侧时,根据函数值的增减性判断 类型二:利用二次函数图象判断 a,b,c 的符号 【例 2】(2019,四川成都,3 分)如图,

8、二次函数cbxaxy 2 的图象经过点 A(1,0) ,B(5,0) ,下 列说法正确的是( ) A.0c B.04 2 acb C.0cba D.图象的对称轴是直线3x 【答案】D 【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。A 选项中,C 表示的是二 次函数cbxax 2 y 与 x 轴的交点,由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴,故 c0. B 选项中,表 示,函数图象与 x 轴有两个交点,所以0,即。C 选项中,令 x 曲-1,可得 y=abc,即 x=1 时函 数的取值。观察图象可知 x1 时 y0,所以 abc0. 最后 D 选项中,根据图象与 x 轴交点可知,

9、对 称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线, 2 51 x,x3 即为函数对称轴。故选 D。 类型三:二次函数图象的平移 【例 3】 (2019黑龙江哈尔滨3 分)将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所 得到的抛物线为( ) Ay2(x+2)2+3 By2(x2)2+3 Cy2(x2)23 Dy2(x+2)23 【答案】B 【解答】解:将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,得到的抛物线的解析式 4 为 y2(x2)2+3, 故选:B 类型四:确定二次函数的解析式 【例 4】.(2019,山西,3 分)北中环桥是省城太原的一

10、座跨汾河大桥(如图 1) ,它由五个高度不同,跨径 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2 所示,此钢拱(近似看成二次函数 的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点,拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米) , 跨径为 90 米 (即 AB=90 米) , 以最高点 O 为坐标原点, 以平行于 AB 的直线为x轴 简历平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为( ) A. 2 675 26 xy B. 2 675 26 xy C. 2 1350 13 xy D. 2 1350 13 xy 图 1 图 2 【答案】

11、B 【解析】设抛物线的解析式为, 2 axy 将)78,45(B代入得: 675 26 ,4578 2 aa 抛物线解析式为: 2 675 26 xy,故选 B 类型五:二次函数的实际应用 【例 5】 (2019贵州毕节 12 分)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康, 某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价 x(元)与该士特产的日销售量 y(袋)之间的关系如表: x(元) 15 20 30 y(袋) 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,试求: (1)日销售量 y(袋)与销售价

12、 x(元)的函数关系式; (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 多少元?每日销售的最大利润是多少元? 5 【答案】 (1)yx+40 (2)当 x2 时,w 取得最大值,最大值为 225 【解答】解: (1)依题意,根据表格的数据,设日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为 ykx+b 得 ,解得 故日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为:yx+40 (2)依题意,设利润为 w 元,得 w(x10) (x+40)x2+50 x+400 整理得 w(x25)2+225 10 当 x2 时,w 取得最大值,最大值为 2

13、25 故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 25 元,每日销售的最大利润是 225 元 类型六:二次函数与几何图形的综合应用 【例 6】 (2019山东省滨州市 14 分)如图,抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B, C,将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 ,所得直线与 x 轴交于点 D (1)求直线 AD 的函数解析式; (2)如图,若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时,求点 P 的坐标和最大距离; 当点 P 到直线 AD 的距离为时,求 sinPAD 的值 【答案】 (1)yx+4; (2

14、)点 P 的坐标是(6,) ,最大距离是; ,sinPAD 的值是或 6 【解答】解: (1)当 x0 时,y4,则点 A 的坐标为(0,4) , 当 y0 时,0 x2+x+4,解得,x14,x28,则点 B 的坐标为(4,0) ,点 C 的坐标为(8,0) , OAOB4, OBAOAB45 , 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 得到直线 AD, BAD90 , OAD45 , ODA45 , OAOD, 点 D 的坐标为(4,0) , 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b, ,得, 即直线 AD 的函数解析式为 yx+4; (2)作 PNx 轴交直线 AD 于点 N,如右图所

15、示, 设点 P 的坐标为(t,t2+t+4) ,则点 N 的坐标为(t,t+4) , PN(t2+t+4)(t+4)t2+t, PNx 轴, PNy 轴, OADPNH45 , 作 PHAD 于点 H,则PHN90 , PH(t2+t)t(t6)2+, 当 t6 时,PH 取得最大值,此时点 P 的坐标为(6,) , 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时,点 P 的坐标是(6,) ,最大距离是; 当点 P 到直线 AD 的距离为时,如右图所示, 则t, 解得,t12,t210, 7 则 P1的坐标为(2,) ,P2的坐标为(10,) , 当 P1的坐标为(2,) ,则 P1A, sinP1A

16、D; 当 P2的坐标为(10,) ,则 P2A, sinP2AD; 由上可得,sinPAD 的值是或 【真题检测】 1. (2019浙江衢州3 分)二次函数 y=(x-1)2+3 图象的顶点坐标是( ) A. (1,3) B. (1,-3) C. (-1,3) D. (-1,-3) 【答案】 A 【解析】二次函数 y=a(x-h)2+k 的性质,y=(x-1)2+3, 二次函数图像顶点坐标为:(1,3).故答案为:A. 2. (2019山东省济宁市 3 分) 将抛物线 yx26x+5 向上平移两个单位长度, 再向右平移一个单位长度后, 得到的抛物线解析式是( ) Ay(x4)26 By(x1)

17、23 Cy(x2)22 Dy(x4)22 【答案】D 【解答】解:yx26x+5(x3)24,即抛物线的顶点坐标为(3,4) , 把点(3,4)向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为(4,2) 所以平移后得到的抛物线解析式为 y(x4)22故选:D 8 3. (2019广西河池3 分) 如图, 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1, 则下列结论中, 错误的是 ( ) Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 【答案】C 【解答】解:A.由抛物线的开口向下知 a0,与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,可得 c0,因此 ac0,故 本选项正确,不

18、符合题意; B.由抛物线与 x 轴有两个交点,可得 b24ac0,故本选项正确,不符合题意; C.由对称轴为 x 2 b a 1,得 2ab,即 2a+b0,故本选项错误,符合题意; D.由对称轴为 x1 及抛物线过(3,0) ,可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是(1,0) ,所以 ab+c0, 故本选项正确,不符合题意 故选:C 4. (2019山东省德州市 4 分) 在下列函数图象上任取不同两点 P1(x1, y1) 、 P2(x2, y2) , 一定能使 21 21 yy xx 0 成立的是( ) Ay3x1(x0) Byx2+2x1(x0) Cy 3 x (x0) Dyx24x1(x

19、0) 【答案】D 【解答】解:A.k30 y 随 x 的增大而增大,即当 x1x2时,必有 y1y2 当 x0 时, 21 21 yy xx 0, 故 A 选项不符合; B.对称轴为直线 x1, 9 当 0 x1 时 y 随 x 的增大而增大,当 x1 时 y 随 x 的增大而减小, 当 0 x1 时:当 x1x2时,必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0, 故 B 选项不符合; C.当 x0 时,y 随 x 的增大而增大, 即当 x1x2时,必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0, 故 C 选项不符合; D.对称轴为直线 x2, 当 x0 时 y 随 x 的增大而减小,

20、即当 x1x2时,必有 y1y2 此时 21 21 yy xx 0, 故 D 选项符合; 故选:D 5. (2019江苏连云港3 分)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD,其中C120 若新 建墙 BC 与 CD 总长为 12m,则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是( ) A18m2 B18 3m2 C24 3m2 D 45 3 2 m2 【答案】C 【解答】解:如图,过点 C 作 CEAB 于 E, 则四边形 ADCE 为矩形,CDAEx,DCECEB90 , 10 则BCEBCDDCE30 ,BC12x, 在 RtCBE 中,CEB90 , BE 1 2 BC6 1 2 x

21、, ADCE3BE63 3 2 x,ABAE+BEx+6 1 2 x 1 2 x+6, 梯形 ABCD 面积 S 1 2 (CD+AB)CE 1 2 (x+ 1 2 x+6)(63 3 2 x) 3 3 8 x2+33x+183 3 3 88 (x4)2+243, 当 x4 时,S最大243 即 CD 长为 4m 时,使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 243m2; 故选:C 6. (2019甘肃武威4 分)将二次函数 yx24x+5 化成 ya(xh)2+k 的形式为 y(x2)2+1 【答案】y(x2)2+1 【解答】解:yx24x+5x24x+4+1(x2)2+1, 所以,y(x2)2

22、+1 故答案为:y(x2)2+1 7. (2019湖北天门3 分)矩形的周长等于 40,则此矩形面积的最大值是 100 【答案】100 【解答】解:设矩形的宽为 x,则长为(20 x) , Sx(20 x)x2+20 x(x10)2+100, 当 x10 时,S 最大值为 100 故答案为 100 11 8. (2019四川省凉山州5 分)当 0 x3 时,直线 ya 与抛物线 y(x1)23 有交点,则 a 的取值范围 是 3a1 【答案】3a1 【解答】解: 法一:ya 与抛物线 y(x1)23 有交点 则有 a(x1)23,整理得 x22x2a0 b24ac4+4(2+a)0 解得 a3

23、, 0 x3,对称轴 x1 y(31)231 a1 法二:由题意可知, 抛物线的 顶点为(1,3) ,而 0 x3 抛物线 y 的取值为3y1 ya,则直线 y 与 x 轴平行, 要使直线 ya 与抛物线 y(x1)23 有交点, 抛物线 y 的取值为3y1,即为 a 的取值范围, 3a1,故答案为:3a1 9. 在平面直角坐标系中,抛物线 yx2的图象如图所示已知 A 点坐标为(1,1) ,过点 A 作 AA1x 轴交 抛物线于点 A1,过点 A1作 A1A2OA 交抛物线于点 A2,过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3,过点 A3作 A3A4OA 交抛物线于点 A4,依次进行下去

24、,则点 A2019的坐标为 (1010,10102) 【答案】 (1010,10102) 12 【解答】解:A 点坐标为(1,1) , 直线 OA 为 yx,A1(1,1) , A1A2OA, 直线 A1A2为 yx+2, 解 2 2yx yx 得 1 1 x y 或 2 4 x y , A2(2,4) , A3(2,4) , A3A4OA, 直线 A3A4为 yx+6, 解 2 6yx yx 得 2 4 x y 或 3 9 x y , A4(3,9) , A5(3,9) , A2019(1010,10102) , 故答案为(1010,10102) 10. (2019湖北省鄂州市10 分)“互

25、联网+”时代上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤,其成本 为每条 40 元,当售价为每条 80 元时,每月可销售 100 条为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施据 市场调查反映:销售单价每降 1 元,则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元(x 为正整数) ,每月 的销售量为 y 条 (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2) 设该网店每月获得的利润为 w 元, 当销售单价降低多少元时, 每月获得的利润最大, 最大利润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不 低于 4220 元,且让消费者得到最大的实惠,该

26、如何确定休闲裤的销售单价? 【答案】 (1)y5x+500; (2)当降价 10 元时,每月获得最大利润为 4500 元; (3)当销售单价定为 66 元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠 【解答】解: (1)由题意可得:y100+5(80 x)整理得 y5x+500; 13 (2)由题意,得: w(x40) (5x+500) 5x2+700 x20000 5(x70)2+4500 a50w 有最大值 即当 x70 时,w最大值4500 应降价 807010(元) 答:当降价 10 元时,每月获得最大利润为 4500 元; (3)由题意,得: 5(x70)2+45004220+200

27、解之,得:x166,x2 74, 抛物线开口向下,对称轴为直线 x70, 当 66x74 时,符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠,故 x66 当销售单价定为 66 元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠 11. (2019湖北省咸宁市12 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 yx+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交 于点 B,抛物线 yx2+bx+c 经过 A,B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C (1)求该抛物线的解析式; (2)若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点,当ABD2BAC 时,求点 D 的坐标; (3)已知 E,F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点,

28、当 B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标 14 【答案】 (1) (2)点 D 的坐标为(2,3) (3)E 点的坐标为(2,1)或(,)或()或()或 () 【解答】解: (1)在中,令 y0,得 x4,令 x0,得 y2 A(4,0) ,B(0,2) 把 A(4,0) ,B(0,2) ,代入,得 ,解得 抛物线得解析式为 (2)如图,过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E,过点 D 作 BE 得垂线,垂足为 F BEx 轴,BACABE ABD2BAC,ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为(x,) ,则 BFx,DF tanDBE,tanBAC ,即 15 解得 x10(舍去) ,x22 当 x2 时,3 点 D 的坐标为(2,3) (3) 当 BO 为边时,OBEF,OBEF 设 E(m,) ,F(m,) EF|()()|2 解得 m12, 当 BO 为对角线时,OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB,直线 OF交抛物线于点 F()和() 求得直线 EF 解析式为或 直线 EF 与 AB 的交点为 E,点 E 的横坐标为或 E 点的坐标为 (2, 1) 或 (,) 或 () 或 () 或 ()

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