1、 1 第第 1212 讲讲 反比例函数反比例函数 反比例函数解析式的确定 (1)确定方法：待定系数法； (2)一般步骤： 设所求的反比例函数解析式为 yk x(k0)； 根据已知条件，得到反比例函数图象上一点 P(a，b)； 将点 P(a，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数 k 的方程； 解方程得待定系数 k 的值； 把 k 的值代入 yk x即可得反比例函数解析式 考点 1： 反比例函数的图像与性质 【例题 1】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)反比例函数 ym x(x0)的 图象经过点 D，点 P 是一次函数 ykx33k(k0)的图象与
2、该反比例函数图象的一个公共点 (1)求反比例函数的解析式； (2)通过计算，说明一次函数 ykx33k(k0)的图象一定经过点 C； (3)对于一次函数 ykx33k(k0)，当 y 随 x 的增大而增大时，确定点 P 横坐标的取值范围(不必写 出过程) 【解析】 ：(1)B(3，1)，C(3，3)，四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC2，BCx 轴 ADx 轴 2 又A(1，0)，D(1，2) D 在反比例函数 ym x的图象上， m122.反比例函数的解析式为 y2 x. (2)当 x3 时，ykx33k3， 一次函数 ykx33k(k0)的图象一定过点 C. (3)设点 P 的横坐
3、标为 a，则2 3a3. 归纳：反比例函数中，y 随 x 的大小变化的情况，应分 x0 与 x0 两种情况讨论，而不能笼统地说成“k 0 时，y 随 x 的增大而增大”双曲线上的点在每个象限内，y 随 x 的变化是一致的运用反比例函数的 性质时，要注意在每一个象限内的要求 考点 2： 反比例函数与一次函数的综合 【例题 2】 如图， 在平面直角坐标系中， 反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB， BC 分别相交于 M，N 两点 (1)若点 M 是 AB 边的中点，求反比例函数 yk x的解析式和点 N 的坐标； (2)若 AM2，求直线 MN 的解析式
4、及OMN 的面积 【点拨】(1)由已知可知点 M 的坐标，求出 k 的值，从而求出点 N 的坐标；(2)确定点 M ，点 N 的坐标，三 角形面积就可求出 【解答】解：(1)点 M 是 AB 边的中点，M(6，3) 反比例函数 yk x经过点 M，3 k 6.k18. 反比例函数的解析式为 y18 x . 当 y6 时，x3，N(3，6) (2)由题意，知 M(6，2)，N(2，6) 设直线 MN 的解析式为 yaxb，则 26ab， 62ab，解得 a1， b8. 3 直线 MN 的解析式为 yx8. SOMNS正方形 OABCSOAMSOCNSBMN3666816. 【变式】 在例 2 中
5、，若OMN 的面积为 10，求点 M，N 的坐标 解：OAOC6，设 M(6，y)，则 N(y，6) BMBN6y. SOMN10， 361 26y2 1 2(6y) 210，即 y216. 又y0，y4，M(6，4)N(4，6) 归纳：1确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可另外将已知点的坐标 或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法 2双曲线 yk x中，根据 k 的几何意义求图形面积常用图形有： S阴影|k| S阴影|k| 2 S阴影|k| 3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线 yx 的轴
6、对称图形，对解答第(2)问提供解题思路 考点 3：反比例函数的实际应用 【例题 3】 (2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如 图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 y()与时间 x(h)之间的函数关系，其中线 段 AB，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度 y 与时间 x(0 x24)的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于 10 时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使 蔬菜避免受到伤害？
7、 【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值 y10 即可 4 【解答】 解：(1)设线段 AB 解析式为 yk1xb(k0)， 线段 AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得 b10， 2k1b14，解得 k12， b10. AB 解析式为 y2x10(0 x5) B 在线段 AB 上，当 x5 时，y20. B 坐标为(5，20) 线段 BC 的解析式为 y20(5x10) 设双曲线 CD 的解析式为 yk 2 x(k 20) C(10，20)，k2200. 双曲线 CD 解析式为 y200 x (10 x24) y 关于 x 的函数解析式为
8、y 2x10（0 x5）， 20（5x10）， 200 x （10 x24）. (2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为 20 . (3)把 y10 代入 y200 x 中，解得 x20. 201010. 答：恒温系统最多关闭 10 小时，蔬菜才能避免受到伤害 归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息， 挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题 一、选择题： 1. （2018柳州）已知反比例函数的解析式为 y=，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da=2 【答案】C 5 解析：可得：|a|2
9、0， 解得：a2， 故选：C 2. (2019 安徽)（4 分）已知点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y k x 的图象上，则实数 k 的值为（ ） A3 B 1 3 C3 D 1 3 【答案】A 【解答】解：点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A的坐标为（1，3） ， 把 A（1，3）代入 y k x 得 k133 故选：A 3. （2018德州）给出下列函数：y=3x+2；y=；y=2x 2；y=3x，上述函数中符合条作“当 x1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】：y=3x+2，当 x1 时，函数值 y 随自变
10、量 x 增大而减小，故此选项错误； y=，当 x1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项错误； y=2x 2，当 x1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； y=3x，当 x1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； 故选：B 4. （2018聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对 学生宿舍采取喷洒药物进行消毒在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 5min 的集中药物喷洒，再封闭宿 舍 10min， 然后打开门窗进行通风， 室内每立方米空气中含药量 y （mg/m 3） 与药物在空气中的持续时间 x
11、（min） 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示下面四个 选项中错误的是（ ） 6 A经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/m 3 B室内空气中的含药量不低于 8mg/m 3的持续时间达到了 11min C当室内空气中的含药量不低于 5mg/m 3且持续时间不低于 35 分钟，才能有效杀灭某种传染病毒此次消 毒完全有效 D 当室内空气中的含药量低于 2mg/m 3时， 对人体才是安全的， 所以从室内空气中的含药量达到 2mg/m3开始， 需经过 59min 后，学生才能进入室内 【答案】C 【解答】解：A、正确不符合题
12、意 B、由题意 x=4 时，y=8，室内空气中的含药量不低于 8mg/m 3的持续时间达到了 11min， 正确， 不符合题意； C、y=5 时，x=2.5 或 24，242.5=21.535，故本选项错误，符合题意； D、正确不符合题意， 故选：C 5. （2018遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点 A 在反比例函数 y=（x 0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解析式为（ ） Ay= By= Cy= Dy= 【答案】C 解析：点 B 作 BCx 轴于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D， BOA=90， BOC+AOD=90， 7 AOD+OAD=90，
13、 BOC=OAD， 又BCO=ADO=90， BCOODA， =tan30=， =， ADDO=xy=3， SBCO=BCCO=SAOD=1， SAOD=2， 经过点 B 的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：y= 故选：C 二、填空题： 6. （2018四川宜宾3 分）已知：点 P（m，n）在直线 y=x+2 上，也在双曲线 y=上，则 m 2+n2的值 为 6 【答案】6 【解答】解：点 P（m，n）在直线 y=x+2 上， n+m=2， 点 P（m，n）在双曲线 y=上， mn=1， m 2+n2=（n+m）22mn=4+2=6 故答案为：6 8 7. （2019浙江绍兴5
14、 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 都在曲线 y（常数是0，x0）上，若顶点 D 的坐标为（5，3） ，则直线 BD 的函数表达式是 yx 【答案】y 3 5 x 【解答】解：D（5，3） ， A（ 3 k ，3） ，C（5， 5 k ） ， B（ 3 k ， 5 k ） ， 设直线 BD 的解析式为 ymx+n， 把 D（5，3） ，B（ 3 k ， 5 k ）代入得，解得， 直线 BD 的解析式为 y 3 5 x 故答案为 y 3 5 x 8. （2018安顺）如图，已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，与 y=的图象相交于 A（2， m） 、 B （1
15、， n） 两点， 连接 OA、 OB， 给出下列结论： k1k20； m+n=0； SAOP=SBOQ； 不等式 k1x+b 的解集是 x2 或 0 x1，其中正确的结论的序号是 【答案】 9 【解答】解：由图象知，k10，k20， k1k20，故错误； 把 A（2，m）、B（1，n）代入 y=中得2m=n， m+n=0，故正确； 把 A（2，m）、B（1，n）代入 y=k1x+b 得， ， 2m=n， y=mxm， 已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点， P（1，0），Q（0，m）， OP=1，OQ=m， SAOP=m，SBOQ=m， SAOP=SBOQ；故正确；
16、 由图象知不等式 k1x+b的解集是 x2 或 0 x1，故正确； 故答案为： 9. （2019贵州毕节5 分）如图，在平面直角坐标中，一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A.B 两点正方形 ABCD 的顶点 C.D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y k x （k0）的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是 10 【答案】3 【解答】解：过点 D 作 DEx 轴，过点 C 作 CFy 轴， ABAD， BAODAE， ABAD，BOADEA， ABODAE（AAS） ， AEBO，DEOA， 易求 A（1
17、，0） ，B（0，4） ， D（5，1） ， 顶点 D 在反比例函数 y k x 上， k5， y 5 x ， 易证CBFBAO（AAS） ， CF4，BF1， C（4，5） ， C 向左移动 n 个单位后为（4n，5） ， 5（4n）5， n3， 故答案为 3； 三、解答题： 10. 甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满 200 减 100”的促销方式，即购买商品的总金额满 200 元但不足 400 元，少付 100 元；满 400 元但不足 600 元，少付 200 元乙商场按顾客购买商品的总金额 11 打 6 折促销 (1)若顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付多少钱？
18、 (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x(400 x600)元，优惠后得到商家的优惠率为 p(p 优惠金额 购买商品的总金额)，写出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情况； (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是 x(200 x400)元，你认为选择哪 家商场购买商品花钱较少？请说明理由 【解析】 ：(1)510200310(元) (2)p200 x (400 x600)；p 随 x 的增大而减小 (3)购 x 元(200 x400)在甲商场的优惠额是 100 元，乙商场的优惠额是 x0.6x0.4x.当 0.4x100， 即 200 x
19、250 时，选甲商场优惠； 当 0.4x100，即 x250 时，选甲、乙商场一样优惠； 当 0.4x100，即 250 x400 时，选乙商场优惠 11. （2018菏泽）如图，已知点 D 在反比例函数 y=的图象上，过点 D 作 DBy 轴，垂足为 B（0，3）， 直线 y=kx+b 经过点 A（5，0），与 y 轴交于点 C，且 BD=OC，OC：OA=2：5 （1）求反比例函数 y=和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）直接写出关于 x 的不等式kx+b 的解集 【分析】（1）由 OC、OA、BD 之间的关系结合点 A、B 的坐标可得出点 C、D 的坐标，由点 D 的坐标利用反
20、比例函数图象上点的坐标特征可求出 a 值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点 A、C 的坐标利用待定 系数法，即可求出一次函数的表达式； （2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式0 可得出两函数图象无交点，再观 察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式kx+b 的解集 12 解：（1）BD=OC，OC：OA=2：5，点 A（5，0），点 B（0，3）， OA=5，OC=BD=2，OB=3， 又点 C 在 y 轴负半轴，点 D 在第二象限， 点 C 的坐标为（0，2），点 D 的坐标为（2，3） 点 D（2，3）在反比例函数 y=的图象上， a=23=6， 反比例
21、函数的表达式为 y= 将 A（5，0）、B（0，2）代入 y=kx+b， ，解得：， 一次函数的表达式为 y=x2 （2）将 y=x2 代入 y=，整理得： x 22x+6=0， =（2） 24 6=0， 一次函数图象与反比例函数图象无交点 观察图形，可知：当 x0 时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 不等式kx+b 的解集为 x0 12. (2018泰安)如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8，E 是 DC 的中点，反比例函数 ym x的 图象经过点 E，与 AB 交于点 F. (1)若点 B 坐标为(6，0)，求 m 的值及图象经过 A，E 两点的一次函数的解析式
22、； (2)若 AFAE2，求反比例函数的解析式 13 【解析】 ：(1)点 B 坐标为(6，0)，AD3，AB8，E 为 CD 的中点， 点 A(6，8)，E(3，4) 函数图象经过点 E， m3412. 设 AE 的解析式为 ykxb，将点 A，E 坐标代入，得 6kb8， 3kb4，解得 k4 3， b0. 一次函数的解析式为 y4 3x. (2)AD3，DE4， AE AD 2DE25. AFAE2，AF7，BF1. 设点 E 坐标为(a，4)，则点 F 坐标为(a3，1)， E，F 两点在函数 ym x图象上， 4aa3，解得 a1. E(1，4) m144. 反比例函数的解析式为 y
23、4 x. 13. （2018山东青岛8 分）已知反比例函数的图象经过三个点 A（4，3） ，B（2m，y1） ，C（6m，y2） ， 其中 m0 （1）当 y1y2=4 时，求 m 的值； （2）如图，过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点 D，点 P 在 x 轴上，若三角形 PBD 的面积 是 8，请写出点 P 坐标（不需要写解答过程） 14 【分析】 （1）先根据反比例函数的图象经过点 A（4，3） ，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 y= 12 x ， 再由反比例函数图象上点的坐标特征得出 y1= 12 2m = 6 m ， y2= 12 6m = 2 m ，
24、然后根据 y1y2=4 列出方程 6 m 2 m =4，解方程即可求出 m 的值； （2）设 BD 与 x 轴交于点 E根据三角形 PBD 的面积是 8 列出方程 4 m PE=8，求出 PE=4m，再由 E（2m， 0） ，点 P 在 x 轴上，即可求出点 P 的坐标 【解答】解： （1）设反比例函数的解析式为 y= k x ， 反比例函数的图象经过点 A（4，3） ， k=4（3）=12， 反比例函数的解析式为 y= 12 x ， 反比例函数的图象经过点 B（2m，y1） ，C（6m，y2） ， y1= 12 2m = 6 m ，y2= 12 6m = 2 m ， y1y2=4， 6 m
25、2 m =4， m=1； （2）设 BD 与 x 轴交于点 E 点 B（2m， 6 m ） ，C（6m， 2 m ） ，过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点 D， D（2m， 2 m ） ，BD= 6 m 2 m = 4 m 三角形 PBD 的面积是 8， BDPE=8， 15 4 m PE=8， PE=4m， E（2m，0） ，点 P 在 x 轴上， 点 P 坐标为（2m，0）或（6m，0） 14.( 2018保定二模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 B， 反比例函数 yk x(x0)的图象经过 AO 的中点 C，
26、且与 AB 相交于点 D，OB4，AD3. (1)求反比例函数 yk x的解析式； (2)求 cosOAB 的值； (3)求经过 C，D 两点的一次函数解析式 【解析】 ：(1)设点 D 的坐标为(4，m)(m0)，则点 A 的坐标为(4，3m) 点 C 为线段 AO 的中点， 点 C 的坐标为(2，3m 2 ) 点 C，D 均在反比例函数 yk x的图象上， k4m， k23m 2 ，解得 m1， k4. 反比例函数的解析式为 y4 x. (2)m1，点 A 的坐标为(4，4)， OB4，AB4. 16 RtAOB 是等腰直角三角形 cosOABcos45 2 2 . (3)m1， 点 C 的坐标为(2，2)，点 D 的坐标为(4，1) 设经过点 C，D 的一次函数的解析式为 yaxb，则有 22ab， 14ab，解得 a1 2， b3. 经过 C，D 两点的一次函数解析式为 y1 2x3.
