第08讲 一元二次方程及其应用备战2020中考数学考点举一反三讲练(教师版)

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1、 1 第第 0808 讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元二次方程的概念及解法】一元二次方程的概念及解法】 1.一元二次方程的概念:只含有 1 个未知数, 未知数的最高次数是 2, 像这样的整式方程叫一元二次方程 其 一般形式是 ax 2bxc0(a0) 2.一元二次方程的解法: 直接开平方法:这种方法适合于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如(x m) 2n(n0)的方程. 配方法:配方法一般适用于解二次项系数为 1,一次项系数为偶数的这类一元二次方程,配方的关键是把方 程左边化为含有未知数的完全平方式,右边是

2、一个非负常数 公式法:求根公式为 xb b 24ac 2a (b 24ac0),适用于所有的一元二次方程. 因式分解法:因式分解法的步骤:(1)将方程右边化为 0;(2)将方程左边分解为一次因式的乘积;(3)令每 个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解. 【考点【考点 2 2 一元二次方程根的情况】一元二次方程根的情况】 1根的判别式:一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的根的情况可由 b24ac 来判定,我们 b24a 将称为 根的判别式 2判别式与根的关系: (1)b 24ac0 方程有两个不相等的实数根; (2)b 24ac0; 【解析

3、】【解析】关于 x 的一元二次方程(k1)x 2+2x2=0 有不相等实数根, =2 24(k1)(2)0, 解得 k ;且 k10,k1 故选:C 5. (2019广西) 扬帆中学有一块长 30m, 宽 20m的矩形空地, 计划在这块空地上划出四分之一的区域种花, 小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度设花带的宽度为xm,则可列方程为( ) A (30 x) (20 x)2030 B (302x) (20 x)2030 C30 x+220 x2030 D (302x) (20 x)2030 【答案】D 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得 13 【解答】解:设花带的宽度为xm,则可列

4、方程为(302x) (20 x)2030, 故选:D 6.(2019 河北中考) (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元, 则平均每次降价的百分率为( ) A20% B40% C18% D36% 【答案】D 【分析】设降价得百分率为x,根据降低率的公式a(1x) 2b 建立方程,求解即可 【解答】解:设降价的百分率为x 根据题意可列方程为 25(1x) 216 解方程得,(舍) 每次降价得百分率为 20% 故选:A 7.(2019 河北中考)小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0(a0)时,只抄对了 a1,b4,解出其中一 个根是x1他核对时发

5、现所抄的c比原方程的c值小 2则原方程的根的情况是( ) A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是x1 D有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值,再解方程求出答案 【解答】解:小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0(a0)时,只抄对了 a1,b4,解出其中一个根是 x1, (1) 24+c0, 解得:c3, 故原方程中c5, 则b 24ac1641540, 则原方程的根的情况是不存在实数根 故选:A 8. (2016 河北中考) )a,b,c为常数, 且 (ac) 2a2+c2, 则关于 x的方程ax 2+bx+c0 根的情况是 ( ) A有两个

6、相等的实数根 B有两个不相等的实数根 14 C无实数根 D有一根为 0 【答案】B 【分析】利用完全平方的展开式将(ac) 2展开,即可得出 ac0,再结合方程ax 2+bx+c0 根的判别式 b 24ac,即可得出0,由此即可得出结论 【解答】解:(ac) 2a2+c22aca2+c2, ac0 在方程ax 2+bx+c0 中, b 24ac4ac0, 方程ax 2+bx+c0 有两个不相等的实数根 故选:B (二)(二)填空题填空题 1.(2019 江苏南京中考)已知 2+是关于x的方程x 24x+m0 的一个根,则 m 【答案】1 【分析】把x2+代入方程得到关于m的方程,然后解关于m的

7、方程即可 【解答】解:把x2+代入方程得(2+) 24(2+ )+m0, 解得m1 故答案为 1 2. (2019 宁夏中考) 已知一元二次方程3x 2+4xk0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围 【答案】k 【分析】方程有两个不相等的实数根,则0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围 【解答】解:方程 3x 2+4xk0 有两个不相等的实数根, 0,即 4 243(k)0, 解得k, 故答案为:k 3.(2019威海)一元二次方程 3x 242x 的解是 【答案】x1,x2 【分析】直接利用公式法解方程得出答案 【解答】解:3x 242x 15 3x 2+2x40, 则b 24ac44

8、3(4)520, 故x, 解得:x1,x2 故答案为:x1,x2 4.(2019 河南兰考中考模拟)等腰ABC的一边长为 4,另外两边的长是关于x的方程x 210 x+m0 的两 个实数根,则等腰三角形底边的值是 【答案】4 或 6, 【分析】分为两种情况:腰长为 4,底边为 4,分别求出即可 【解答】解:设底边为a, 分为两种情况:当腰长是 4 时,则a+410, 解得:a6, 即此时底边为 6, 底边为 4,腰长为 1025, 即底边长为 4 或 6, 5. (2019 山东聊城中考模拟)一元二次方程x 22x0 的两根分别为 x1和x2,其中x1x2,则x1 22x 2 2的 值为 【答

9、案】8. 【分析】解方程得出方程的两根,代入计算可得 【解答】解:x 22x0, x(x2)0, x1x2, x10,x22, 则x1 22x 2 202228, 即:x1 22x 2 28. 6.(2019 甘肃兰州中考模拟)如图,RtABC中,AB6,BC8点P从点A出发,以 1 个单位/秒的速度 向B移动,同时,点Q从点B出发,以 2 个单位/秒的速度向点C移动,运动 秒后,PBQ面积为 5 个平方单位 16 【答案】1 【分析】由题意:PAt,BQ2t,则PB6t,利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题; 【解答】解:由题意:PAt,BQ2t,则PB6t, (6t)2t5, 解得t1

10、 或 5(舍弃) , 故答案为 1 7. (2019 河北沧州中考模拟) 已知x1,x2是方程x 2 x+0 的两根, 若实数a满足a+x1+x2x1x22018, 则a 【答案】2016 【考点】AB:根与系数的关系菁优网版权所有 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2,x1x2,再利用整体代入的方法得a+2018,然 后解关于a的方程即可 【解答】解:根据题意得x1+x2,x1x2, a+x1+x2x1x22018, a+2018, a2016 故答案为 2016 8.(2019 河北张家口中考模拟) 已知:a、b、c均为非零实数, 关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0(a0) 其

11、中一个实数根为 2 (1)填空:abc,4a+2b+c 0,a 0,c 0(填“” , “”或“” ) ; (2)若关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0(a0)的两个实数根,满足一个根为另一个根的 2 倍,我们 就称这样的方程为“倍根方程” ,若原方程是倍根方程,则求a、c之间的关系 (3)若a1 时,设方程的另一根为m(m2) ,在两根之间(不包含两根)的所有整数的绝对值之和是 7, 17 求b的取值范围 【答案】 (1), (2)a=c或 a=c(3)1b2 【分析】 (1)由关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0 有两个实数根,其中一根为 2,根据方程解的知识,可 得 4a+2b+

12、c0,然后设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1,由根与系数的关系可得:x1+2,2x1, 然后分别从若x1为正与若x1为负去分析求解即可求得答案; (2) 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 (a0) 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当 两个根为 2 和 4 时,当两个根为 2 和 1 时,解方程即可得到结论; (3)根据已知条件得到mb2,当m2 时,2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4,当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3,解不等式即可得到结论 【解答】解: (1)关于x的一元二次方程ax 2+bx

13、+c0 有两个实数根,其中一根为 2, 将x2 代入ax 2+bx+c0 得:4a+2b+c0, 设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1, x1+2,2x1, abc, 若x1为正,则a0,b0,c0(舍去) ; 若x1为负,则a0,c0; 故答案为:, (2) 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 (a0) 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当两个根为 2 和 4 时, 原方程可以改写为a(x2) (x4)0, ax 2+bx+cax26ax+8a, , a,c之间的关系是, 当两个根为 2 和 1 时, 同理a,c之间的关系是c, 综上所述,a

14、,c之间的关系是c或c; (3)若a1 时,ax 2+bx+c0, 18 mb2, 当m2 时,2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4, 4m5, 得 4b25, 7b6; 当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3, 4m3, 当m2 时,m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3, 4m3, 得4b23, 1b2 (三)(三)解答题解答题 1. (2019 北京中考) 关于x的方程x 22x+2m10 有实数根, 且 m为正整数, 求m的值及此时方程的根 【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案 【解答】解:关于x的方程

15、x 22x+2m10 有实数根, b 24ac44(2m1)0, 解得:m1, m为正整数, m1, x 22x+10, 则(x1) 20, 解得:x1x21 2.(2019 河北衡水中考模拟)某县农场小刘承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质核桃,今年已进入 第三年收获期今年收获核桃 2880 千克,已知小刘第一年收获的核桃重量为 2000 千克求去年和今年两 年核桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年核桃的产量为多少千克? 【分析】 设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x, 根据题意列出方程, 求出方程的解即可得到结果 【解答】解:设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x, 根据

16、题意得,2000(1+x) 22880, 解这个方程得(1+x) 21.44, 19 开方得:1+x1.2, 解得:x10.2,x22.2(舍去) , x20%,2880 (1+20%)3456, 答:明年核桃的产量为 3456 千克 3.(2019 辽宁辽阳中考模拟)构建模型:生活中的实际问题,往往需要构建相应的数学模型来解决,这就 是模型的思想譬如:某校要举办足球赛,若有 5 个球队参加比赛,每个队都要和其他各队比赛一场,则 该校一共要安排多少场比赛?为解决上述问题,我们构建如下数学模型: (1)如图,在平面内画出 5 个点(任意 3 个点都不共线) ,其中每个点各代表一个足球队,两个队之

17、间 比赛一场就用一条线段把他们连接起来,其中连接线段的条数就是安排比赛的场数由于每个队都要与其 他各队比赛一场,即每个点与另外 4 个点都可连成一条线段,这样总共可连成线段是 54 条,如果不考虑 线段端点的顺序,那么连成线段只有条,所以该校一共要安排10 场比赛 (2)根据图回答:若学校有 6 个足球队参加比赛,则该校一共要安排 15 场比赛; (3)根据以上规律,若学校有n个足球队参加比赛,则该校一共要安排 场比赛; 问题解决: (4)小凡今年参加了学校新组建的合唱队,老师让所有人每两人相互握手,认识彼此(每两人之间不重复 握手) ,小凡发现所有人握手次数总和为 36 次,求合唱队有多少人

18、?(写出求解过程) 【分析】 (2) (3)根据阅读材料计算; (4)根据题意列出一元二次方程,解方程即可 【解答】解: (2)有 6 个班级的足球队参加比赛,学校一共要安排比赛的场数是:15, 故答案为:15; (3)n个班级的足球队参加比赛,学校一共要安排场比赛, 故答案为:; 20 (4)设合唱队有x人,则36, 整理得,x 2x720, 解得,x19,x28(舍去) 答:合唱队有 9 人 4.(2019广州)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业, 据统计,目前广东 5G基站的数量约 1.5 万座,计划到 2020 年底,全省 5G基站数是目前

19、的 4 倍,到 2022 年底,全省 5G基站数量将达到 17.34 万座 (1)计划到 2020 年底,全省 5G基站的数量是多少万座? (2)按照计划,求 2020 年底到 2022 年底,全省 5G基站数量的年平均增长率 【分析】 (1)2020 年全省 5G基站的数量目前广东 5G基站的数量4,即可求出结论; (2)设 2020 年底到 2022 年底,全省 5G基站数量的年平均增长率为x,根据 2020 年底及 2022 年底全省 5G基站数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论 【解答】解: (1)1.546(万座) 答:计划到 2020 年底,全省 5G基站的

20、数量是 6 万座 (2)设 2020 年底到 2022 年底,全省 5G基站数量的年平均增长率为x, 依题意,得:6(1+x) 217.34, 解得:x10.770%,x22.7(舍去) 答:2020 年底到 2022 年底,全省 5G基站数量的年平均增长率为 70% 5.(2019 山东烟台中考模拟)把一边长为 40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子 (纸板的厚度忽略不计) 如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一 个无盖的长方形盒子 (1)要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm 2,那么剪掉的正方形的边长为多少? (2)折成的长方形盒子

21、的侧面积为 600cm 2,那么剪掉的正方形的边长为多少? 【分析】 (1)利用已知图形利用边长与面积之间的关系得出解析式即可; (2)利用长方体盒子的侧面积为: (402x)x4 得出即可 21 【解答】解: (1)设减掉的正方形边长为xcm,根据题意得出: (402x) (402x)484, 解得:x19,x231(不合题意舍去) , 答:剪掉的正方形边长为 9cm; (2)设剪掉的正方形的边长为xcm,此时折成的长方体盒子的侧面积为 600cm 2, 依题意,得:4(402x)x600 整理,得:x 220 x+750 解得:x15,x215 经检验,均符合题意 答;剪掉的正方形的边长为

22、 5cm或 15cm 6.(2019 河北唐山中考模拟)已知关于x的一元二次方程tx 26x+m+40 有两个实数根 x1、x2 (1)当tm1 时,若x1x2,求x1、x2; (2)当m1 时,求t的取值范围; (3)当t1 时,若x1、x2满足 3|x1|x2+4,求m的值 【分析】 (1)当tm1 时,方程变形为x 26x+50,利用因式分解法解方程即可; (2)当m1 时,方程变形为tx 26x+50,利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 t0 且(6) 24t50,然后求出两个不等式的公共部分即可; (3)当t1 时,方程变形为x 26x+m+40,利用判别式的意义得到 m5,根

23、据根与系数的关系得到x1+x2 6,x1x2m+4,讨论:当x10 时,3x1x2+4,通过解方程组先求出x1、x2,再计算m的值;当x10 时,3x1x2+4,利用同样方法计算m的值 【解答】解: (1)当tm1 时,方程变形为x 26x+50, (x5) (x1)0, x1x2, x11,x25; (2)当m1 时,方程变形为tx 26x+50, 根据题意得t0 且(6) 24t50, t且t0; (3)当t1 时,方程变形为x 26x+m+40, (6) 24(m+4)0,解得 m5, 22 则x1+x26,x1x2m+4, 当x10 时,3x1x2+4,解得x15,x211,m+455

24、,解得m59, 当x10 时,3x1x2+4,解得x1,x2,m+4,解得m, m的值为59 或 7.(2017 河北中考) )某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x0,每件的售价为 18 万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成 反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1n12) ,符合关系式x2n 22kn+9(k+3) (k 为常数) ,且得到了表中的数据 月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 (1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是 12

25、万元; (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年 12 个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m 【分析】 (1)设ya+,将表中相关数据代入可求得a、b,根据 1218(6+) ,则0 可作出 判断; (2)将n1、x120 代入x2n 22kn+9(k+3)可求得 k的值,先由 186+求得x50,根据 50 2n 226n+144 可判断; (3)第m个月的利润Wx(18y)18xx(6+)24(m 213m+47) ,第(m+1)个月的利润为 W 24(m+1) 213(m+1)+4724(m211m+35) ,分情况作差结合 m的范围,由一次

26、函数性质可得 【解答】解: (1)由题意,设ya+, 由表中数据可得:, 解得:, y6+, 23 由题意,若 1218(6+) ,则0, x0, 0, 不可能; (2)将n1、x120 代入x2n 22kn+9(k+3) ,得:12022k+9k+27, 解得:k13, x2n 226n+144, 将n2、x100 代入x2n 226n+144 也符合, k13; 由题意,得:186+, 解得:x50, 502n 226n+144,即 n 213n+470, (13) 241470, 方程无实数根, 不存在; (3)第m个月的利润为W, Wx(18y)18xx(6+) 12(x50) 24(

27、m 213m+47) , 第(m+1)个月的利润为W24(m+1) 213(m+1)+4724(m211m+35) , 若WW,WW48(6m) ,m取最小 1,WW取得最大值 240; 若WW,WW48(m6) ,由m+112 知m取最大 11,WW取得最大值 240; m1 或 11 8.(2019 重庆中考)某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅,50 平方米住宅套数是 80 平方米 住宅套数的 2 倍物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费,该小区全部住宅都人住且每户均按时全 额缴纳物管费 (1)该小区每月可收取物管费 90000 元,问该小区共有多少套 80 平方

28、米的住宅? (2)为建设“资源节约型社会” ,该小区物管公司 5 月初推出活动一: “垃圾分类送礼物” ,50 平方米和 80 24 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动为提离大家的积扱性,6 月份准备把活动一升级为活动二: “拉圾分类抵扣物管费” ,同时终止活动一经调査与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活 动二的住户会大幅增加,这样,6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基 础上将增加 2a%,每户物管费将会减少a%;6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同 户型户数的基础上将增加 6a%,每户物管费将会减

29、少a%这样,参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳的 物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%,求a的值 【分析】 (1)设该小区有x套 80 平方米住宅,则 50 平方米住宅有 2x套,根据物管费 90000 元,可列方程 求解; (2)50 平方米住宅有 50040%200 户参与活动一,80 平方米住宅有 25020%50 户参与活动一;50 平 方米住宅每户所交物管费为 100(1%)元,有 200(1+2a%)户参与活动二;80 平方米住宅每户所交 物管费为 160(1%)元,有 50(1+6a%)户参与活动二根据参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳 的物管费比他们按原方式共缴

30、纳的物管费将减少a%,列出方程求解即可 【解答】 (1)解:设该小区有x套 80 平方米住宅,则 50 平方米住宅有 2x套,由题意得: 2(502x+80 x)90000, 解得 x250 答:该小区共有 250 套 80 平方米的住宅 (2)参与活动一: 50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元,有 50040%200 户参与活动一, 80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元,有 25020%50 户参与活动一; 参与活动二: 50 平方米住宅每户所交物管费为 100(1%)元,有 200(1+2a%)户参与活动二; 80 平方米住宅每户所交物管费为 160(1%)元,有 50(1+6a%)户参与活动二 由题意得 100(1%) 200(1+2a%)+160(1%) 50(1+6a%)200(1+2a%)100+50(1+6a%) 160(1a%) 令ta%,化简得t(2t1)0 25 t10(舍) ,t2, a50 答:a的值为 50

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