1、 1 第第 0808 讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元二次方程的概念及解法】一元二次方程的概念及解法】 1.一元二次方程的概念:只含有 1 个未知数， 未知数的最高次数是 2， 像这样的整式方程叫一元二次方程 其 一般形式是 ax 2bxc0(a0) 2.一元二次方程的解法: 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x m) 2n(n0)的方程. 配方法：配方法一般适用于解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方 程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是
2、一个非负常数 公式法：求根公式为 xb b 24ac 2a (b 24ac0)，适用于所有的一元二次方程. 因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为 0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每 个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 【考点【考点 2 2 一元二次方程根的情况】一元二次方程根的情况】 1根的判别式：一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的根的情况可由 b24ac 来判定，我们 b24a 将称为 根的判别式 2判别式与根的关系： (1)b 24ac0 方程有两个不相等的实数根； (2)b 24ac0； 【解析
3、】【解析】关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根， =2 24（k1）（2）0， 解得 k ；且 k10，k1 故选：C 5. （2019广西） 扬帆中学有一块长 30m， 宽 20m的矩形空地， 计划在这块空地上划出四分之一的区域种花， 小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 【答案】D 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得 13 【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列
4、方程为（302x） （20 x）2030， 故选：D 6.（2019 河北中考） （2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元， 则平均每次降价的百分率为（ ） A20% B40% C18% D36% 【答案】D 【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1x） 2b 建立方程，求解即可 【解答】解：设降价的百分率为x 根据题意可列方程为 25（1x） 216 解方程得，（舍） 每次降价得百分率为 20% 故选：A 7.（2019 河北中考）小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一 个根是x1他核对时发
5、现所抄的c比原方程的c值小 2则原方程的根的情况是（ ） A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是x1 D有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案 【解答】解：小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一个根是 x1， （1） 24+c0， 解得：c3， 故原方程中c5， 则b 24ac1641540， 则原方程的根的情况是不存在实数根 故选：A 8. （2016 河北中考） ）a，b，c为常数， 且 （ac） 2a2+c2， 则关于 x的方程ax 2+bx+c0 根的情况是 （ ） A有两个
6、相等的实数根 B有两个不相等的实数根 14 C无实数根 D有一根为 0 【答案】B 【分析】利用完全平方的展开式将（ac） 2展开，即可得出 ac0，再结合方程ax 2+bx+c0 根的判别式 b 24ac，即可得出0，由此即可得出结论 【解答】解：（ac） 2a2+c22aca2+c2， ac0 在方程ax 2+bx+c0 中， b 24ac4ac0， 方程ax 2+bx+c0 有两个不相等的实数根 故选：B （二）（二）填空题填空题 1.（2019 江苏南京中考）已知 2+是关于x的方程x 24x+m0 的一个根，则 m 【答案】1 【分析】把x2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的
7、方程即可 【解答】解：把x2+代入方程得（2+） 24（2+ ）+m0， 解得m1 故答案为 1 2. （2019 宁夏中考） 已知一元二次方程3x 2+4xk0有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围 【答案】k 【分析】方程有两个不相等的实数根，则0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围 【解答】解：方程 3x 2+4xk0 有两个不相等的实数根， 0，即 4 243（k）0， 解得k， 故答案为：k 3.（2019威海）一元二次方程 3x 242x 的解是 【答案】x1，x2 【分析】直接利用公式法解方程得出答案 【解答】解：3x 242x 15 3x 2+2x40， 则b 24ac44
8、3（4）520， 故x， 解得：x1，x2 故答案为：x1，x2 4.（2019 河南兰考中考模拟）等腰ABC的一边长为 4，另外两边的长是关于x的方程x 210 x+m0 的两 个实数根，则等腰三角形底边的值是 【答案】4 或 6， 【分析】分为两种情况：腰长为 4，底边为 4，分别求出即可 【解答】解：设底边为a， 分为两种情况：当腰长是 4 时，则a+410， 解得：a6， 即此时底边为 6， 底边为 4，腰长为 1025， 即底边长为 4 或 6， 5. （2019 山东聊城中考模拟）一元二次方程x 22x0 的两根分别为 x1和x2，其中x1x2，则x1 22x 2 2的 值为 【答
9、案】8. 【分析】解方程得出方程的两根，代入计算可得 【解答】解：x 22x0， x（x2）0， x1x2， x10，x22， 则x1 22x 2 202228， 即：x1 22x 2 28. 6.（2019 甘肃兰州中考模拟）如图，RtABC中，AB6，BC8点P从点A出发，以 1 个单位/秒的速度 向B移动，同时，点Q从点B出发，以 2 个单位/秒的速度向点C移动，运动 秒后，PBQ面积为 5 个平方单位 16 【答案】1 【分析】由题意：PAt，BQ2t，则PB6t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题； 【解答】解：由题意：PAt，BQ2t，则PB6t， （6t）2t5， 解得t1
10、 或 5（舍弃） ， 故答案为 1 7. （2019 河北沧州中考模拟） 已知x1，x2是方程x 2 x+0 的两根， 若实数a满足a+x1+x2x1x22018， 则a 【答案】2016 【考点】AB：根与系数的关系菁优网版权所有 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用整体代入的方法得a+2018，然 后解关于a的方程即可 【解答】解：根据题意得x1+x2，x1x2， a+x1+x2x1x22018， a+2018， a2016 故答案为 2016 8.（2019 河北张家口中考模拟） 已知：a、b、c均为非零实数， 关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0（a0） 其
11、中一个实数根为 2 （1）填空：abc，4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“” ， “”或“” ） ； （2）若关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0（a0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的 2 倍，我们 就称这样的方程为“倍根方程” ，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系 （3）若a1 时，设方程的另一根为m（m2） ，在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是 7， 17 求b的取值范围 【答案】 （1）， （2）a=c或 a=c（3）1b2 【分析】 （1）由关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0 有两个实数根，其中一根为 2，根据方程解的知识，可 得 4a+2b+
12、c0，然后设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1，由根与系数的关系可得：x1+2，2x1， 然后分别从若x1为正与若x1为负去分析求解即可求得答案； （2） 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 （a0） 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当 两个根为 2 和 4 时，当两个根为 2 和 1 时，解方程即可得到结论； （3）根据已知条件得到mb2，当m2 时，2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4，当m2 时，m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3，解不等式即可得到结论 【解答】解： （1）关于x的一元二次方程ax 2+bx
13、+c0 有两个实数根，其中一根为 2， 将x2 代入ax 2+bx+c0 得：4a+2b+c0， 设方程ax 2+bx+c0 的另一根为 x1， x1+2，2x1， abc， 若x1为正，则a0，b0，c0（舍去） ； 若x1为负，则a0，c0； 故答案为：， （2） 根据 “倍根方程” 的概念得到一元二次方程ax 2+bx+c0 （a0） 的两个根为 2 和 4 或两个根为 1 和 2 当两个根为 2 和 4 时， 原方程可以改写为a（x2） （x4）0， ax 2+bx+cax26ax+8a， ， a，c之间的关系是， 当两个根为 2 和 1 时， 同理a，c之间的关系是c， 综上所述，a
14、，c之间的关系是c或c； （3）若a1 时，ax 2+bx+c0， 18 mb2， 当m2 时，2 与m之间的和为 7 的整数是 3、4， 4m5， 得 4b25， 7b6； 当m2 时，m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3， 4m3， 当m2 时，m与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1、0、1、2、3， 4m3， 得4b23， 1b2 （三）（三）解答题解答题 1. （2019 北京中考） 关于x的方程x 22x+2m10 有实数根， 且 m为正整数， 求m的值及此时方程的根 【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案 【解答】解：关于x的方程
15、x 22x+2m10 有实数根， b 24ac44（2m1）0， 解得：m1， m为正整数， m1， x 22x+10， 则（x1） 20， 解得：x1x21 2.（2019 河北衡水中考模拟）某县农场小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入 第三年收获期今年收获核桃 2880 千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为 2000 千克求去年和今年两 年核桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年核桃的产量为多少千克？ 【分析】 设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x， 根据题意列出方程， 求出方程的解即可得到结果 【解答】解：设去年和今年两年核桃产量的年平均增长率为x， 根据
16、题意得，2000（1+x） 22880， 解这个方程得（1+x） 21.44， 19 开方得：1+x1.2， 解得：x10.2，x22.2（舍去） ， x20%，2880 （1+20%）3456， 答：明年核桃的产量为 3456 千克 3.（2019 辽宁辽阳中考模拟）构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就 是模型的思想譬如：某校要举办足球赛，若有 5 个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则 该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图，在平面内画出 5 个点（任意 3 个点都不共线） ，其中每个点各代表一个足球队，两个队之
17、间 比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数由于每个队都要与其 他各队比赛一场，即每个点与另外 4 个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是 54 条，如果不考虑 线段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排10 场比赛 （2）根据图回答：若学校有 6 个足球队参加比赛，则该校一共要安排 15 场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排 场比赛； 问题解决： （4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复 握手） ，小凡发现所有人握手次数总和为 36 次，求合唱队有多少人
18、？（写出求解过程） 【分析】 （2） （3）根据阅读材料计算； （4）根据题意列出一元二次方程，解方程即可 【解答】解： （2）有 6 个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：15， 故答案为：15； （3）n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛， 故答案为：； 20 （4）设合唱队有x人，则36， 整理得，x 2x720， 解得，x19，x28（舍去） 答：合唱队有 9 人 4.（2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业， 据统计，目前广东 5G基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G基站数是目前
19、的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率 【分析】 （1）2020 年全省 5G基站的数量目前广东 5G基站的数量4，即可求出结论； （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率为x，根据 2020 年底及 2022 年底全省 5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）1.546（万座） 答：计划到 2020 年底，全省 5G基站的
20、数量是 6 万座 （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得：6（1+x） 217.34， 解得：x10.770%，x22.7（舍去） 答：2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率为 70% 5.（2019 山东烟台中考模拟）把一边长为 40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子 （纸板的厚度忽略不计） 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一 个无盖的长方形盒子 （1）要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方形盒子
21、的侧面积为 600cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 【分析】 （1）利用已知图形利用边长与面积之间的关系得出解析式即可； （2）利用长方体盒子的侧面积为： （402x）x4 得出即可 21 【解答】解： （1）设减掉的正方形边长为xcm，根据题意得出： （402x） （402x）484， 解得：x19，x231（不合题意舍去） ， 答：剪掉的正方形边长为 9cm； （2）设剪掉的正方形的边长为xcm，此时折成的长方体盒子的侧面积为 600cm 2， 依题意，得：4（402x）x600 整理，得：x 220 x+750 解得：x15，x215 经检验，均符合题意 答；剪掉的正方形的边长为
22、 5cm或 15cm 6.（2019 河北唐山中考模拟）已知关于x的一元二次方程tx 26x+m+40 有两个实数根 x1、x2 （1）当tm1 时，若x1x2，求x1、x2； （2）当m1 时，求t的取值范围； （3）当t1 时，若x1、x2满足 3|x1|x2+4，求m的值 【分析】 （1）当tm1 时，方程变形为x 26x+50，利用因式分解法解方程即可； （2）当m1 时，方程变形为tx 26x+50，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 t0 且（6） 24t50，然后求出两个不等式的公共部分即可； （3）当t1 时，方程变形为x 26x+m+40，利用判别式的意义得到 m5，根
23、据根与系数的关系得到x1+x2 6，x1x2m+4，讨论：当x10 时，3x1x2+4，通过解方程组先求出x1、x2，再计算m的值；当x10 时，3x1x2+4，利用同样方法计算m的值 【解答】解： （1）当tm1 时，方程变形为x 26x+50， （x5） （x1）0， x1x2， x11，x25； （2）当m1 时，方程变形为tx 26x+50， 根据题意得t0 且（6） 24t50， t且t0； （3）当t1 时，方程变形为x 26x+m+40， （6） 24（m+4）0，解得 m5， 22 则x1+x26，x1x2m+4， 当x10 时，3x1x2+4，解得x15，x211，m+455
24、，解得m59， 当x10 时，3x1x2+4，解得x1，x2，m+4，解得m， m的值为59 或 7.（2017 河北中考） ）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x0，每件的售价为 18 万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成 反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1n12） ，符合关系式x2n 22kn+9（k+3） （k 为常数） ，且得到了表中的数据 月份n（月） 1 2 成本y（万元/件） 11 12 需求量x（件/月） 120 100 （1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12
25、万元； （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； （3）在这一年 12 个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m 【分析】 （1）设ya+，将表中相关数据代入可求得a、b，根据 1218（6+） ，则0 可作出 判断； （2）将n1、x120 代入x2n 22kn+9（k+3）可求得 k的值，先由 186+求得x50，根据 50 2n 226n+144 可判断； （3）第m个月的利润Wx（18y）18xx（6+）24（m 213m+47） ，第（m+1）个月的利润为 W 24（m+1） 213（m+1）+4724（m211m+35） ，分情况作差结合 m的范围，由一次
26、函数性质可得 【解答】解： （1）由题意，设ya+， 由表中数据可得：， 解得：， y6+， 23 由题意，若 1218（6+） ，则0， x0， 0， 不可能； （2）将n1、x120 代入x2n 22kn+9（k+3） ，得：12022k+9k+27， 解得：k13， x2n 226n+144， 将n2、x100 代入x2n 226n+144 也符合， k13； 由题意，得：186+， 解得：x50， 502n 226n+144，即 n 213n+470， （13） 241470， 方程无实数根， 不存在； （3）第m个月的利润为W， Wx（18y）18xx（6+） 12（x50） 24（
27、m 213m+47） ， 第（m+1）个月的利润为W24（m+1） 213（m+1）+4724（m211m+35） ， 若WW，WW48（6m） ，m取最小 1，WW取得最大值 240； 若WW，WW48（m6） ，由m+112 知m取最大 11，WW取得最大值 240； m1 或 11 8.（2019 重庆中考）某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80 平方米 住宅套数的 2 倍物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全 额缴纳物管费 （1）该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方
28、米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会” ，该小区物管公司 5 月初推出活动一： “垃圾分类送礼物” ，50 平方米和 80 24 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动为提离大家的积扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二： “拉圾分类抵扣物管费” ，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活 动二的住户会大幅增加，这样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基 础上将增加 2a%，每户物管费将会减少a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同 户型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减
29、少a%这样，参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳的 物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值 【分析】 （1）设该小区有x套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x套，根据物管费 90000 元，可列方程 求解； （2）50 平方米住宅有 50040%200 户参与活动一，80 平方米住宅有 25020%50 户参与活动一；50 平 方米住宅每户所交物管费为 100（1%）元，有 200（1+2a%）户参与活动二；80 平方米住宅每户所交 物管费为 160（1%）元，有 50（1+6a%）户参与活动二根据参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳 的物管费比他们按原方式共缴
30、纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可 【解答】 （1）解：设该小区有x套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x套，由题意得： 2（502x+80 x）90000， 解得 x250 答：该小区共有 250 套 80 平方米的住宅 （2）参与活动一： 50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元，有 50040%200 户参与活动一， 80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元，有 25020%50 户参与活动一； 参与活动二： 50 平方米住宅每户所交物管费为 100（1%）元，有 200（1+2a%）户参与活动二； 80 平方米住宅每户所交物管费为 160（1%）元，有 50（1+6a%）户参与活动二 由题意得 100（1%） 200（1+2a%）+160（1%） 50（1+6a%）200（1+2a%）100+50（1+6a%） 160（1a%） 令ta%，化简得t（2t1）0 25 t10（舍） ，t2， a50 答：a的值为 50
