1、 1 第 08 讲 一元二次方程 【考点导引】 1.理解一元二次方程的概念 2掌握一元二次方程的解法 3了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能 简单应用 4会列一元二次方程解决实际问题. 【难点突破】 1. 配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是是掌握配方的要点是等式两边同时加上一次项系数一半的 平方先把5 移到等号的右边，然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方，再将方程左边写成完全平 方式的形式即可 2. 一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，当 b24ac0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 b2 4ac0 时，一元二次方程
2、有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，一元二次方程没有实数根；当 b24ac0 时，一元二次方程有实数根，以上结论反过来也成立 3. 一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法，熟练掌握 12 c x x a ， 12 b xx a ，可 以方便快捷的解题。利用根与系数的关系求代数式的值时，往往需要对代数式进行变形，变形为含有 x1+x2， x1 x2的代数式，然后利用根与系数的关系，确定求出代数式的值，注意整体思想的运用. 4. 对于一元二次方程的实际应用增长（或降低）率问题，设基数为 a，平均增长（或降低）率为 x，增 长（或降低）的次数为 n，增长（或降低）后的量为 b，
3、则表达式为 a(1 x)nb用一元二次方程解决实际 问题时，得出的结果既要考虑本身是否有意义，还要考虑是否符合实际情况，通常需要把与实际不符的答 案去掉，得到问题的唯一答案 增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的 一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长 率”等等弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数 增长率问题；类似的还有平均降低率问 题，注意区分“增”与“减” 【解题策略】 1.化归与转化思想，一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用
4、了“转 化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断 地把“未知”转化为“已知” 2 2. 对系数特点采用不同方法的最优化解题策略，养成先观察后动笔的解题习惯一般情况下：(1)首先看能 否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配 方法 【典例精析】 类型一：一元二次方程的有关概念 【例 1】（2018扬州）若 m 是方程 2x23x1=0 的一个根，则 6m29m+2015 的值为 2018 【答案】2018 【解答】解：由题意可知：2m23m1=0， 2m23m=1 原式=3（2
5、m23m）+2015=2018 故答案为：2018 类型二：一元二次方程的解法 【例 2】 （2019湖南怀化4 分）一元二次方程 x2+2x+10 的解是（ ） Ax11，x21 Bx1x21 Cx1x21 Dx11，x22 【答案】C 【解答】解：x2+2x+10， （x+1）20， 则 x+10， 解得 x1x21， 故选：C 类型三：一元二次方程根的判别式的应用 【例 3】 （2019山东省聊城市3 分）若关于 x 的一元二次方程（k2）x22kx+k6 有实数根，则 k 的取值 范围为（ ） Ak0 B k0 且 k2 Ck Dk且 k2 【答案】D 【解答】解： （k2）x22kx
6、+k60， 关于 x 的一元二次方程（k2）x22kx+k6 有实数根， ， 3 解得：k且 k2 故选：D 类型四：一元二次方程根与系数的关系 【例 4】 （2019四川省广安市10 分）已知关于x的一元二次方程04)4( 2 kxkx. （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为 1 x、 2 x，满足 4 311 21 xx ，求k的值； （3）若RtABC的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 1 x、 2 x，求RtABC的内切圆半径. 【解析】 （1）证明：0)4(16816)4( 222 kkkkk 无论k为任何实数时，此方程总有两个
7、实数根. （2）由题意得：4 21 kxx，kxx4 21 ， 4 311 21 xx ， 4 3 21 21 xx xx ，即 4 3 4 4 k k ， 解得：2k； （3）解方程得：4 1 x，kx 2 ， 根据题意得： 222 54 k，即3k， 设直角三角形ABC的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(rr， 直角三角形ABC的内切圆半径=1 2 543 ； 4 3 5 r r r 类型五：用一元二次方程解实际问题 【例 5】 (2019湖北宜昌10 分)HW 公司 2018 年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共 2800 万块，生产了 2800 万部
8、手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的 2 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片 4 产量的和还多 400 万块这些“QL”芯片解决了该公司 2018 年生产的全部手机所需芯片的 10% (1)求 2018 年甲类芯片的产量； (2)HW 公司计划 2020 年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片从 2019 年起逐年扩大“QL”芯片的 产量，2019 年、2020 年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数 m%，乙类芯片的 产量平均每年增长的百分数比 m%小 1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018 年到 2020 年，丙类芯 片三年的总产量达到 1.44 亿块
9、这样，2020 年的 HW 公司的手机产量比 2018 年全年的手机产量多 10%， 求丙类芯片 2020 年的产量及 m 的值 【答案】(1) 2018 年甲类芯片的产量为 400 万块；(2) 丙类芯片 2020 年的产量为 8000 万块，m400 【解答】解：(1)设 2018 年甲类芯片的产量为 x 万块， 由题意得：x+2x+（x+2x）+4002800，解得：x400， 答：2018 年甲类芯片的产量为 400 万块； (2)2018 年万块丙类芯片的产量为 3x+4001600 万块， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为 y 万块， 则 1600+1600+y+1600+2y14
10、400，解得：y3200， 丙类芯片 2020 年的产量为 1600+2 32008000 万块， 2018 年 HW 公司手机产量为 2800 10%28000 万部， 400(1+m%)2+2 400(1+m%1)2+800028000 (1+10%)， 设 m%t，化简得：3t2+2t560， 解得：t4，或 t（舍去） ， t4，m%4，m400； 答：丙类芯片 2020 年的产量为 8000 万块，m400 【例 6】 （2019 广西贺州 8 分）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发 展了养殖业后，到 2018 年，家庭年人均纯收入达到了
11、3600 元 （1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 【答案】 （1）增长率为 20%； （2）2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 【解答】解： （1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x， 依题意，得：2500（1+x）23600， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 5 答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% （2）3600 （1+20%）4
12、320（元） ， 43204200 答：2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 【真题检测】 1. 2019，山西，3 分）一元二次方程014 2 xx配方后可化为（ ） A.3)2( 2 x B.5)2( 2 x C.3)2( 2 x D.5)2( 2 x 【答案】D 【解析】5)2( , 014)44( , 014 222 xxxxx，故选 D 2. （2019河北省2 分）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中 一个根是 x1他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2则原方程的根的情况是（ ） A不存在实数根 B有
13、两个不相等的实数根 C有一个根是 x1 D有两个相等的实数根 【答案】A 【解答】解：小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一个根是 x1， （1）24+c0， 解得：c3， 故原方程中 c5， 则 b24ac164 1 540， 则原方程的根的情况是不存在实数根 3. （2019湖北省咸宁市3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【答案】B 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有实数根， （2）24m0， 解得：m1 6 故选：B 4. （
14、2019 湖北省鄂州市） （3 分）关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的两实数根分别为 x1、x2，且 x1+3x2 5，则 m 的值为（ ） A B C D0 【答案】A 【解答】解：x1+x24， x1+3x2x1+x2+2x24+2x25， x2， 把 x2代入 x24x+m0 得： （）24 +m0， 解得：m， 故选：A 5. （2019湖南衡阳3 分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区 2016 年底有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万人设 2016 年底至 2018 年 底该地区贫困人口的年平均下降率
15、为 x，根据题意列方程得（ ） A9（12x）1 B9（1x）21 C9（1+2x）1 D9（1+x）21 【答案】B 【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意得： 9（1x）21， 故选：B 6. （2019甘肃武威4 分） 关于 x 的一元二次方程 x2+x+10 有两个相等的实数根， 则 m 的取值为 4 【答案】4 【解答】解： 由题意，b24ac（）240 得 m4 故答案为 4 7. （2019湖南邵阳3 分）关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个不相等的实数根，则 m 的最小整数 值是 0 【答案】0 7 【解答】解：a1，b2，c-m， b24ac
16、444 1 (-m)4+4m0， m-1 m 的最小整数值是 0. 故答案为：0 8. (2019，山西，3 分）如图，在一块长 12m，宽 8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两 条道路各与矩形的一条平行） ，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m ，设道路的宽为 x m，则根据题 意，可列方程为 . 【答案】77)8)(12(xx 【解析】由题意可知：77)8)(12(xx，故答案为77)8)(12(xx 9. (2019 甘肃省天水市) （4 分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018
17、年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率为 _（用百分数表示） 【答案】40% 【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为 x， 20000（1+x）2=39200， 解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去）， 该地区居民年人均收入平均增长率为 40%， 故答案为：40% 10. （2019南京8 分）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的 矩形广场长与宽的比为 3： 2 扩充区域的扩建费用每平方米 30 元， 扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖， 铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场
18、的长和宽应分别是多少米？ 8 【答案】扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 【解答】解：设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm， 依题意得：3x2x100+30（3x2x50 40）642000 解得 x130，x230（舍去） 所以 3x90，2x60， 答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 11. （2019湖南衡阳8 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相 同的根，求此时 m 的值 【答案】 （1）k； （2）m 的值为 【
19、解答】解： （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k； （2）k 的最大整数为 2， 方程 x23x+k0 变形为 x23x+20，解得 x11，x22， 一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相同的根， 当 x1 时，m1+1+m30，解得 m； 当 x2 时，4（m1）+2+m30，解得 m1， 而 m10， m 的值为 12. （2019湖南长沙9 分）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教 师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批 公益课受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 9 （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【答案】 （1）增长率为 10%； （2）达到 2.662 万人次 【解答】解： （1）设增长率为 x，根据题意，得 2（1+x）22.42， 解得 x12.1（舍去） ，x20.110% 答：增长率为 10% （2）2.42（1+0.1）2.662（万人） 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次
