1、 1 第第 1919 讲讲 点、直线和圆的位置关系及其计算点、直线和圆的位置关系及其计算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 1.点与圆的位置关系(设 r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离) 位置关系,数量(d 与 r) 点在圆内 dr,点在圆上 dr,点在圆外 dr，数量(d 与 r) 2.直线和圆的三种位置关系： 相离：一条直线和圆没有公共点 相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫 切点 相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线 3.判断直线和圆
2、的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d 位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2 公共点的名称,无,切点,交点 数量关系,dr,dr,dr 4.切线的判定： 判定切线的方法有三种：利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心的距离等 于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5. 切线的五个性质： 切线与圆只有一个公共点； 切线到圆心的距离等于圆的半径； 切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.切线长定理： 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫
3、做这点到圆的切线长经圆外一点可以引圆 的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 2 二、考点分析 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 【解题技巧】1判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共 点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径 2利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径
4、，构造直角三角形来解决 3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连 半径，见垂直 【例 1】 （2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA3，则PB （ ） A2 B3 C4 D5 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 重庆中考）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，BC与O交于点 D，连结OD若C50，则AOD的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 上海中考）已知A与B外切，C与A、B都内切，且AB5，AC6，BC7， 那么C的半径长
5、是（ ） A11 B10 C9 D8 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 南京中考）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在O上若P 102，则A+C 3 【举一反三举一反三 1-4】（2019 浙江温州中考） 如图， O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F， 点P在优弧 （） 上，若BAC66，则EPF等于 度 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形 2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这 个内角 3.直角三角形的外接圆与内
6、切圆半径的求法：若 a，b 是RtABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角 形的外接圆半径 Rc 2；(2)直角三角形的内切圆半径 r abc 2 . 【例 2】 （2019 云南中考）如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC 13，CA12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ） A4 B6.25 C7.5 D9 【举一反三举一反三 2-1】 （2019台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图 中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-2】 （2019山东济南
7、模拟）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，AD，AB，BC分别与O相 切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ） 4 A B C D2 【举一反三举一反三 2-3】（2019青海） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章 中提出了 “三斜求积术” ， 三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b， c为三角形三边，S为面积，则S 这是中国古代数学的瑰宝之一 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p（周长的 一半） ，则S （1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，
8、请你用以 5，7，8 为三边构成的三角形，分别验证它 们的面积值； （2）问题探究经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从 或者） ； （3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公 式请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p， S为三角形面积，则Spr 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和 定理，下面就是欧拉发现的一
9、个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其 中外心和内心，则OI 2R22Rr 5 如图 1，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆，I与AB相切分于点F，设O的半径为R，I的半 径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI d，则有d 2R22Rr 下面是该定理的证明过程（部分） ： 延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN DN，DMINAI（同弧所对的圆周角相等） MDIANI，IAIDIMIN， 如图 2，在图 1（隐去MD，AN）的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF DE是O的直径，
10、所以DBE90 I与AB相切于点F，所以AFI90， DBEIFA BADE（同弧所对的圆周角相等） ， AIFEDB， IABDDEIF 任务： （1）观察发现：IMR R+d，IN （用含R，d的代数式表示） ； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由 （3）请观察式子和式子，并利用任务（1） ， （2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩 余部分； （4）应用：若ABC的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则ABC的外心与内心之间的距离为 cm 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 6 1.（2019哈尔滨）如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点
11、C为O上一点，连接AC、BC，若P 50，则ACB的度数为（ ） A60 B75 C70 D65 2.（2019广州）平面内，O的半径为 1，点P到O的距离为 2，过点P可作O的切线条数为（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的 任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF 面积的最小值为（ ） A B C2 D 4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BDOB，连 接AD，如果
12、DAC78，那么ADO等于（ ） A70 B64 C62 D51 5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB2，AD10，C是弧 BD上的一个动点， 连接AC， 过D点作DHAC于H， 连接BH， 在点C移动的过程中，BH的最小值是 （ ） 7 A5 B6 C7 D8 6. （2019 辽宁葫芦岛中考模拟） 设正三角形1的面积为S1， 作1的内切圆， 再作内切圆的内接正三角形， 设为2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形3，4，其面积相应为S3，S4，设S11， TnS1+S2+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？（ ） A B C D2
13、7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是O上的 5 等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得 到一个五角星图形和五边形MNFGH 有下列 3 个结论： AOBE， CGDCOD+CAD， BMMNNE 其 中正确的结论是（ ） A B C D 8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于 点A，再以点B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于B，依次进行得到螺旋线，再顺次连结EA， AB，BC，CD，DE，得到 5 块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5S21， 则S4S3的
14、值为（ ） A B C D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0） ，B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的 B经过原点O，BCx轴于点C，点D为B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值 为 8 2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为ABC的内心，连AI交ABC的外接圆于点D，若AI2CD，点E为 弦AC的中点，连接EI，IC，若IC6，ID5，则IE的长为 3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，AD8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B， F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，
15、那么AE 4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG1，则FG+JH+CD 5.（2019 天津南开区中考模拟）如图，已知AB为O的直径，直线l与O相切于点D，ACl于C，AC交 O于点E，DFAB于F若AE3，CD2，则O的直径为 6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线l的解析式为y 9 x+t若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 7.（2019 四川成都中考模拟）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，点P在AC上，AP2，若 O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是 8.（2019
16、 山东济南中考模拟）图 1 为一锐角是 30的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三 角形对应边互相平行且三处所示宽度相等） 将三角尺移向直径为 4cm的O，它的内 RtABC的斜边AB恰 好等于O的直径，它的外 RtABC的直角边AC恰好与O相切（如图 2） 则边BC的 长 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 甘肃中考）如图，在 RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于 点E （1）求证：AADE； （2）若AD8，DE5，求BC的长 10 2.（2019 广东中考）如图 1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O 于点D
17、，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF是O的切线； （3）如图 2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长 3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC的垂 线，垂足为E，连接OD （1）求证：ADOB； （2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由 4.（2019 辽宁大连中考）如图 1，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，过点A的切线与CD的延长线 相交于点P且APCBCP （1）求证：BAC2ACD； （2）过图 1 中的点D作DEAC，垂足为E（如图 2） ，当BC
18、6，AE2 时，求O的半径 11 5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，APB80，C为O上一点 （）如图，求ACB的大小； （）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D若ABAD，求EAC的大小 6.（2019 云南中考）如图，AB是O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是C上的点， 且DE 2DBDA， 延长AE至F，使得AEEF，设BF10，cosBED （1）求证：DEBDAE； （2）求DA，DE的长； （3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长 7.（2019 浙江杭州中考）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，ODBC于点D，连接OA （1）
19、若BAC60， 求证：ODOA 当OA1 时，求ABC面积的最大值 （2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnOED（m，n是正数） ，若ABC 12 ACB，求证：mn+20 8.（2019 山东济南中考） （2019济南）如图，AB、CD是O的两条直径，过点C的O的切线交AB的延长 线于点E，连接AC、BD （1）求证；ABDCAB； （2）若B是OE的中点，AC12，求O的半径 9.（2019青海）如图，在O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AECD于点E （1）求证：AE是O的切线； （2）若AE2，sinADE，求O的半径 10.（2019呼和浩特）如图，以 RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D，过点D作O的切线 与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H （1）求证：E为BC的中点； （2）若O的面积为 12，两个三角形AHD和BMH的外接圆面积之比为 3，求DEC的内切圆面积S1 和四边形OBED的外接圆面积S2的比 13
