1、 1 第第 1919 讲讲 平行四边形平行四边形( (含多边形含多边形) ) 1平行四边形 (1)性质： 平行四边形两组对边分别_相等_； 平行四边形对角相等，邻角_互补_； 平行四边形对角线互相_平分_； 平行四边形是_中心_对称图形 (2)判定方法： 定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别_相等_的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形； 两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形 2多边形及其性质 (1)多边形： 内角和定理：n 边形的内角和等于 (n2)180 ； 外角和定理：n 边形的外角和为 360；
2、 对角线：过 n 边形的一个顶点可引 n3 条对角线，n 边形共有 n（n3） 2 条对角线 (2)正多边形： 正多边形各边相等，各内角相等，各外角相等； 正 n 边形的每一个内角为（n2）180 n (n3)，每一个外角为360 n ； 对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，正 n 边形有_n_条对称轴；当 n 是奇数时，是轴对称图形， 不是中心对称图形；当 n 是偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形. 考点 1：多边形内角和计算 2 【例题 1】在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为 600. (1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； (2)是否存在符合题意的其
3、他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由 【解析】 ：(1)设这个外角的度数是 x.由题意，得 (52)180(180 x)x600.解得 x120. 故这个外角的度数是 120. (2)存在设这个多边形的边数为 n，这个外角的度数是 x.由题意，得 (n2)180(180 x)x600. 整理，得 x57090n. 0 x180，即 057090n180. 解得 41 3n6 1 3. 又n 为正整数，n5 或 n6. 当 n6 时，x30. 故这个多边形的边数是 6，这个外角的度数为 30. 归纳：本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为 180及凸多边形的一个内
4、角是小于平角的角 考点 2：平行四边形的性质与判定 【例题 2】(2017大庆)如图，以BC为底边的等腰ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EGBC， DEAC，延长GE至点F，使得BEBF. (1)求证：四边形BDEF为平行四边形； (2)当C45，BD2 时，求D，F两点间的距离 【解析】(1)证明：ABC是等腰三角形， ABCC. EGBC，DEAC， AEGABCC，四边形CDEG是平行四边形， DEGCAEG. BEBF， FBEFAEG， FDEG， 3 BFDE. 又EGBC，即FEBD， 四边形BDEF为平行四边形； (2)解：C45， ABCBFEBEF45， B
5、DE，BEF均是等腰直角三角形， BFBE 2 2 BD 2. 过点F作FMBD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示 则BFM是等腰直角三角形 FMBM 2 2 BF1， DM3. 在 RtDFM中，由勾股定理得DF 1 232 10. 即D，F两点间的距离为 10. 考点 3： 关于平行四边形的综合探究问题 【例题 3】(2018 四川省眉山市 15 分 ) 如图，在四边形 ABCD 中，ACBD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且 MB=MN. （1）求证：BN 平分ABE； （2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边
6、形时，求线段 BC 的长； （3）如图，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：MFNBDC. 【答案】 （1）证明：AB=AC, ABC=ACB, 又M 为 BC 中点， 4 AMBC， 在 RtABM 中， ABC+MAB=90, ACBD， 在 RtCBE 中， ACB+EBC=90, MAB=EBC, 又MB=MN，AMBC， NBM 为等腰直角三角形， MBN=MNB=45, EBC+NBE=45,MAB+ABN=MNB=45, MAB=EBC, NBE=ABN, BN 平分ABE. （2）解：四边形 DNBC 为平行四边形， 设 BM=CM=MN=a，则 DN=BC=2
7、a， 在ABN 和DBN 中， ABNDBN 中（SAS） ， AN=DN=2a， 在 RtABM 中， BD=1，AB=AC=BD， AB=1， AM 2+BM2=AB2 ， （2a+a） 2+a2=1， 解得：a= . BC=2a= . （3）解证明：MB=MN，M 为 BC 中点， MN=MB= BC， 又F 是 AB 的中点，AB=AC=BD， 5 在 RtABM 中， MF=AF=BF= AB= BD， MAB=FMN, 由（1）知MAB=EBC, FMN=EBC, 又 , MFNBDC. 一、选择题： 1. （2018浙江宁波4 分）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边
8、形的边数为（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】D 【解答】解：正多边形的一个外角等于 40，且外角和为 360， 则这个正多边形的边数是：36040=9 故选：D 2. 在平行四边形 ABCD 中，B=60，那么下列各式中，不能成立的是（ ） AD=60 BA=120 CC+D=180 DC+A=180 【答案】D 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， A=C，B=D， 而B=60， A=C=120，D=60 所以 D 是错误的 故选 D 3. （2018宁波） 如图， 在ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， E 是边 CD 的中点， 连结 OE 若ABC=60，
9、 BAC=80，则1 的度数为（ ） 6 A50 B40 C30 D20 【答案】B 【解答】解：ABC=60，BAC=80， BCA=1806080=40， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点， EO 是DBC 的中位线， EOBC， 1=ACB=40故选：B 4. （2018浙江省台州4 分）如图，在ABCD 中，AB=2，BC=3以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点 Q，再分别以点 P，Q 为圆心，大于PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N，射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长是（ ） A B1 C D 【答案
10、】B 【解答】解：由题意可知 CF 是BCD 的平分线， BCE=DCE 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， DCE=E，BCE=AEC， BE=BC=3， AB=2， AE=BEAB=1， 故选：B 5. （2018陕西3 分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，ADAB，E.F分别是AB边上的点，且EFAB； G、H分别是BC边上的点， 且GHBC； 若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积， 则S1,S2之间的等量关系是 （ ） . A2S13S2. B2S1S2. C S13S2. D3S12S2. 【答案】A 【详解】过点 O 分别作 OMBC，垂足为 M，作 ONAB，垂
11、足为 N， 7 点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， S平行四边形 ABCD=AB2ON， S平行四边形 ABCD=BC2OM， ABON=BCOM， S1=EFON，S2=GHOM，EFAB，GHBC， S1=ABON，S2=BCOM， 2S13S2， 故答案为：2S13S2.故选 A. 二、填空题： 6. （2018湖南省衡阳3 分）如图，ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD，过点 O 作 OMAC，交 AD 于 点 M如果CDM 的周长为 8，那么ABCD 的周长是 【答案】16 【解答】解：ABCD 是平行四边形， OA=OC， OMAC， AM=MC CDM 的周长=
12、AD+CD=8， 平行四边形 ABCD 的周长是 28=16 故答案为 16 7. （2018十堰） 如图， 已知ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 O， 且 AC=8， BD=10， AB=5， 则OCD 的周长为 【答案】14 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， 8 OCD 的周长=5+4+5=14， 故答案为 14 8. （2018株洲市3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BDCD，过点 A 作 AMBD 于点 M，过 点 D 作 DNAB 于点 N，且 DN，在 DB 的延长线上取一点 P，满足AB
13、DMAPPAB，则 AP_. 【答案】6 【解析】分析：根据 BD=CD，AB=CD，可得 BD=BA，再根据 AMBD，DNAB，即可得到 DN=AM=3，依据 ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，即可得到APM 是等腰直角三角形，进而得到 AP=AM=6 详解：BD=CD，AB=CD， BD=BA， 又AMBD，DNAB， DN=AM=3， 又ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP， P=PAM， APM 是等腰直角三角形， AP=AM=6， 故答案为：6 9. （2018无锡）如图，已知XOY=60，点 A 在边 OX 上，OA=2过点 A 作 ACOY 于点 C，以 AC
14、为一边 在XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PDOY 交 OX 于 点 D，作 PEOX 交 OY 于点 E设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 【答案】2a+2b5 【解答】解：过 P 作 PHOY 交于点 H， PDOY，PEOX， 四边形 EODP 是平行四边形，HEP=XOY=60， 9 EP=OD=a， RtHEP 中，EPH=30， EH=EP=a， a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC=OA=1，即 a+2b 的最小值是
15、 2； 当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是 5， 2a+2b5 三、解答题： 10. 已知 n 边形的内角和(n2)180. (1)甲同学说，能取 360；而乙同学说，也能取 630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n；若不 对，说明理由； (2)若 n 边形变为(nx)边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定 x. 【解析】 ：(1)甲对，乙不对理由： 360，(n2)180360.解得 n4. 630，(n2)180630.解得 n11 2 . n 为整数，不能取 630. 甲对，乙不对 (2)依题意，得 (n2)180360(nx2)18
16、0. 解得 x2. 11. (2017河北模拟)看图回答问题： 10 (1)内角和为 2 018，佳佳为什么说不可能？ (2)音音求的是几边形的内角和？ 【解析】 ：(1)n 边形的内角和是(n2)180， 内角和一定是 180的倍数 2 0181801138， 内角和为 2 018不可能 (2)设漏加的内角为 x，依题意，得 (n2)1802 018x， x180n2 378. 90 x180，90180n2 378180. 解得 1332 45n14 19 90，且 n 为整数 多边形的边数是 14. 故音音求的是十四边形的内角和 12. 如图，在 ABCD 中，E，F 在对角线 AC 上
17、 (1)若 BE，DF 分别是ABO，CDO 的中线，求证：四边形 BEDF 是平行四边形； (2)若 BE，DF 分别是ABO，CDO 的角平分线，四边形 BEDF 还是平行四边形吗？若 BE，DF 分别是ABO， CDO 的高线时，四边形 BEDF 还是平行四边形吗？ 【点拨】(1)可从对角线互相平分上证明四边形 BEDF 是平行四边形；(2)BE，DF 分别是ABO，CDO 的角 平分线和高线时，可得到BOEDOF，仍有 OEOF，则有四边形 BEDF 是平行四边形 【解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD. BE，DF 分别是ABO，CDO 的中线，
18、 OEOF. 四边形 BEDF 是平行四边形 (2)四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD，ABCD. 11 ABOCDO. BE，DF 分别是ABO，CDO 的角平分线， OBEODF. 又BOEDOF， BOEDOF(ASA) OEOF. 四边形 BEDF 是平行四边形 同理可证得 BE，DF 分别是ABO，CDO 的高线时，仍有四边形 BEDF 是平行四边形 13. 正方形 ABCD 的边长是 5，点 M 是直线 AD 上一点，连接 BM，将线段 BM 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 ME，在直线 AB 上取点 F，使 AFAM，且点 F 与点 E 在 AD 同侧，连接 EF，D
19、F. (1)如图 1，当点 M 在 DA 延长线上时，求证：ADFABM； (2)如图 2，当点 M 在线段 AD 上时，求证：四边形 DFEM 是平行四边形； (3)在(2)的条件下，线段 AM 与线段 AD 有什么数量关系时，四边形 EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最 大值 图 1 图 2 【解析】 ：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， DAFBAM90，ADAB. 在ADF 和ABM 中， AFAM， DAFBAM， ADAB， ADFABM(SAS) (2)证明：延长 BM 交 DF 于 K. ADFABM， DFBM，ABMADF. 12 EMBM，EMDF. ABMAM
20、B90，AMBDMK， ADFDMK90.BKD90. EMB90，EMBBKF90. EMDF. 四边形 EFDM 是平行四边形 (3)设 DMx，则 AMAF5x， S EFDMDMAFx(5x)(x5 2) 225 4 . 10， x5 2时， EFDM 的面积最大，最大面积为 25 4 ， 即当 AM1 2AD 时， EFDM 的面积最大，最大面积为 25 4 . 14. 正方形 ABCD 的边长是 5，点 M 是直线 AD 上一点，连接 BM，将线段 BM 绕点 M 逆时针旋转 90得到线段 ME，在直线 AB 上取点 F，使 AFAM，且点 F 与点 E 在 AD 同侧，连接 EF
21、，DF. (1)如图 1，当点 M 在 DA 延长线上时，求证：ADFABM； (2)如图 2，当点 M 在线段 AD 上时，求证：四边形 DFEM 是平行四边形； (3)在(2)的条件下，线段 AM 与线段 AD 有什么数量关系时，四边形 EFDM 的面积最大？并求出这个面积的最 大值 图 1 图 2 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， DAFBAM90，ADAB. 在ADF 和ABM 中， AFAM， DAFBAM， ADAB， 13 ADFABM(SAS) (2)证明：延长 BM 交 DF 于 K. ADFABM， DFBM，ABMADF. EMBM，EMDF. ABMAMB90，AMBDMK， ADFDMK90.BKD90. EMB90，EMBBKF90. EMDF. 四边形 EFDM 是平行四边形 (3)设 DMx，则 AMAF5x， SEFDMDMAFx(5x)(x5 2) 225 4 . 10， x5 2时，EFDM 的面积最大，最大面积为 25 4 ， 即当 AM1 2AD 时，EFDM 的面积最大，最大面积为 25 4 .
