1、 1 第第 2626 讲讲 图形的对称图形的对称 1轴对称与轴对称图形 (1)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线 叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点 (2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 ，这条直 线就是它的对称轴 注意：轴对称图形是一个图形，轴对称是针对两个图形；轴对称图形的对称轴可能不止一条，轴对称的两 个图形只有一条对称轴 2图形轴对称的性质 (1)轴对称性质：成轴对称的两个图形全等，对应边和对应角分别相等；如果两个图形关于某条对称轴对称， 那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平
2、分线； (2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段，对应角 相等 (3)常见轴对称图形 线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、正多边形、圆等 3中心对称 (1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与原图形重合，那么就说这两个图形关于这个 点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点； (2)性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；成中心对称 的两个图形全等 4中心对称图形 (1)定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原
3、来的图形重合，那么这个图形 叫做对称中心，这个点就是它的中心对称图形； (2)常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、边数为偶数的正多边形、圆等 5中心对称与轴对称的区别与联系 区别：中心对称有一个对称中心点，图形绕一点旋转 180，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条 对称轴直线，图形沿直线翻折，翻折后与另一个图形重合 2 联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就 是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形 6图形的折叠 (1)折叠部分的图形折叠前后，关于折痕成轴对称，且两图形全等； (2)折叠前后对应点的连线段被折痕垂直
4、平分 考点 1： 图形的对称 【例题 1】（2018苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A B C D 【答案】B 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 故选：B 归纳：判断一个图形是否为轴对称图形的方法是：能否找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两 旁的部分能完全重合 考点 2：轴对称与中心对称的应用 【例题 2】（2019广西北部湾8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A（2，
5、1） 、B（1，2） 、C（3，3）. （1）将ABC 向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1; （2）请画出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2; （3）请写出 A1、A2的坐标. 3 【答案】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3）A1（2，3），A2（-2，-1） 【解析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键 归纳：1 1边数为奇数的正多
6、边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称 图形，又是轴对称图形2 2两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是 轴对称图形，但一定不是中心对称图形 考点 3： 图形的折叠问题研究 【例题 3】如图所示，直线 l1与两坐标轴的交点坐标分别是 A(3，0)，B(0，4)，O 是平面直角坐标系原点 (1)求直线 l1的函数解析式； (2)若将 AO 沿直线 AC 折叠，使点 O 落在斜边 AB 上，且与 AD 重合 求点 C 的坐标； 4 求直线 AC，直线 l1和 y 轴所围图形的面积 【解析】 ：(1)设直线 l1的函数解析式为 ykxb.
7、A(3，0)，B(0，4)在直线 l1上， 3kb0， b4， 解得 k4 3， b4. 直线 l1的函数解析式为 y4 3x4. (2)A(3，0)，B(0，4)， OA3，OB4. AOB90，AB5. 由折叠性质可得，ADAO3，CDCO，ADCAOC90. 设 OCx，则 CDx，BC4x. ADC90，BDC90. 在RtBDC 中，BDABAD532，CDx，BC4x， 2 2x2(4x)2，解得 x3 2. C(0，3 2) 由图可知，直线 AC，直线 l1和 y 轴所围图形是ABC， SABC1 2BCOA 1 2(4 3 2)3 15 4 ， 直线 AC，直线 l1和 y 轴
8、所围图形的面积为15 4 . 归纳：1 1对折实际上就是轴对称2 2解决剪纸问题的实质是按折叠的顺序反向作轴对称图形即可3 3还 可以通过实际操作进行验证 5 一、选择题： 1. （2018天津）如图，将一个三角形纸片 ABC 沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕 为 BD，则下列结论一定正确的是（ ） AAD=BD BAE=AC CED+EB=DB DAE+CB=AB 【答案】D 【解答】解：BDE 由BDC 翻折而成， BE=BC AE+BE=AB， AE+CB=AB， 故 D 正确， 故选：D 2. 如图，ABC 与ABC关于直线 MN 对称，P 为 MN
9、 上任一点（P 不与 AA共线） ，下列结论中错误 的是（ ） AAAP 是等腰三角形 BMN 垂直平分 AA，CC CABC 与ABC面积相等 D直线 AB、AB的交点不一定在 MN 上 【答案】D 【解答】解：ABC 与ABC关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任意一点， AAP 是等腰三角形，MN 垂直平分 AA，CC，这两个三角形的面积相等，A、B、C 选项正确； 直线 AB，AB关于直线 MN 对称，因此交点一定在 MN 上D 错误； 6 故选：D 3. （2018新疆）如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边 上
10、的中点，则 MP+PN 的最小值是（ ） A B1 C D2 【答案】B 【解答】解：如图， 作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值为 MN 的长 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， M是 AD 的中点， 又N 是 BC 边上的中点， AMBN，AM=BN， 四边形 ABNM是平行四边形， MN=AB=1， MP+NP=MN=1，即 MP+NP 的最小值为 1， 故选：B 4. （2018 年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A 在第一象限，点 B，C 的坐标分 别为（2，1），（6，
11、1），BAC=90，AB=AC，直线 AB 交 y 轴于点 P，若ABC 与ABC关于点 P 成中心对称，则点 A的坐标为（ ） 7 A（4，5） B（5，4） C（3，4） D（4，3） 【答案】A 【解答】解：点 B，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC， ABC 是等腰直角三角形， A（4，3）， 设直线 AB 解析式为 y=kx+b，则 ， 解得， 直线 AB 解析式为 y=x1， 令 x=0，则 y=1， P（0，1）， 又点 A 与点 A关于点 P 成中心对称， 点 P 为 AA的中点， 设 A（m，n），则=0， =1， m=4，n=5， A（4，5）
12、， 故选：A 5. （2019 浙江丽水 3 分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开 8 铺平后得到图，其中 FM，GN 是折痕若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等，则的值是（ ） A 52 2 B21 C D 2 2 【答案】A 【解答】解：连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，如图： 由折叠可知点 P、H、F、M 四点共线，且 PHMF， 设正方形 ABCD 的边长为 2a， 则正方形 ABCD 的面积为 4a 2， 若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等 由折叠可知正方形 EFGH 的面积 1 5 正方形 AB
13、CD 的面积 2 4 5 a， 正方形 EFGH 的边长 GF 2 4 5 a 2 5 5 a HF2GF 2 10 5 a MFPH 2 10 2 5 2 aa 510 5 a 510 5 a a 2 5 5 a 52 2 9 故选：A 二、填空题： 6. （2019山东省滨州市 13 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处， 过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G， 连接 CG 若 AB6， AD10， 则四边形 CEFG 的面积是 . 【答案】 【解答】矩形 ABCD 中，AB6，AD10，BCBF， BA
14、F90，ADBCBF10， AF8， DF2， 设 EFx，则 CEx，DE6x， FDE90， 2 2+（6x）2x2， 解得，x， CE， 四边形 CEFG 的面积是：CEDF2 7. （2018武汉）如图，在O 中，点 C 在优弧上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D若O 的 半径为，AB=4，则 BC 的长是 . 【答案】3 【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图， D 为 AB 的中点， 10 ODAB， AD=BD=AB=2， 在 RtOBD 中，OD=1， 将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D 弧 AC
15、和弧 CD 所在的圆为等圆， =， AC=DC， AE=DE=1， 易得四边形 ODEF 为正方形， OF=EF=1， 在 RtOCF 中，CF=2， CE=CF+EF=2+1=3， 而 BE=BD+DE=2+1=3， BC=3 8. （2018湖北十堰3 分）如图，RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=6，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为 【答案】 【解答】解：作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E，交 BC 于 D，则 AD=AD， 此时 AD+DE 的值最小，就是 AE 的长； RtABC
16、中，BAC=90，AB=3，AC=6， BC=9， 11 SABC=ABAC=BCAF， 3=9AF， AF=2， AA=2AF=4， AFD=DEC=90，ADF=CDE， A=C， AEA=BAC=90， AEABAC， ， ， AE=， 即 AD+DE 的最小值是； 故答案为： 9. （2018乌鲁木齐）如图，在 RtABC 中，C=90，BC=2，AC=2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置，BD 交 AB 于点 F若ABF 为直角三角形， 则 AE 的长为 【答案】3 或 12 【解答】解：C=90，BC=2，AC
17、=2， tanB=， B=30， AB=2AC=4， 点 D 是 BC 的中点，沿 DE 所在直线把BDE 翻折到BDE 的位置，BD 交 AB 于点 F DB=DC=，EB=EB，DBE=B=30， 设 AE=x，则 BE=4x，EB=4x， 当AFB=90时， 在 RtBDF 中，cosB=， BF=cos30=， EF=（4x）=x， 在 RtBEF 中，EBF=30， EB=2EF， 即 4x=2（x），解得 x=3，此时 AE 为 3； 当FBA=90时，作 EHAB于 H，连接 AD，如图， DC=DB，AD=AD， RtADBRtADC， AB=AC=2， ABE=ABF+EBF
18、=90+30=120， EBH=60， 在 RtEHB中，BH=BE=（4x），EH=BH=（4x）， 在 RtAEH 中，EH 2+AH2=AE2， （4x） 2+ （4x）+2 2=x2，解得 x= ，此时 AE 为 综上所述，AE 的长为 3 或 故答案为 3 或 13 三、解答题： 10. （2018湖北荆州8 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 MN，将纸片展平； 再一次折叠，使点 D 落到 MN 上的点 F 处，折痕 AP 交 MN 于 E；延长 PF 交 AB 于 G求证： （1）AFGAFP； （2）APG 为等边三角形 【解答】证明： （1）
19、由折叠可得：M、N 分别为 AD.BC 的中点， DCMNAB， F 为 PG 的中点，即 PF=GF， 由折叠可得：PFA=D=90，1=2， 在AFP 和AFG 中， ， AFPAFG（SAS） ； （2）AFPAFG， AP=AG， AFPG， 2=3， 1=2， 1=2=3=30， 2+3=60，即PAG=60， APG 为等边三角形 11. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，BAC=30，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边BDE，连接 AD， CD （1）求证：ADECDB； 14 （2）若 BC=3，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值
20、 【分析】 （1）只要证明DEB 是等边三角形，再根据 SAS 即可证明； （2）如图，作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H则点 H 即为符合条件的点 【解答】 （1）证明：在 RtABC 中，BAC=30，E 为 AB 边的中点， BC=EA，ABC=60 DEB 为等边三角形， DB=DE，DEB=DBE=60， DEA=120，DBC=120， DEA=DBC ADECDB （2）解：如图，作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H 则点 H 即为符合条件的点 由作图可知：EH=HE，AE=AE，EAC=BAC=30 EAE=60，
21、EAE为等边三角形， 1 2 EEEAAB ， AEB=90， 在 RtABC 中，BAC=30，3BC， 32AB，3AEAE ， 22 22 2 333BEABAE， BH+EH 的最小值为 3 15 12. 实验探究： (1)如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 A 落 在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.请你观察图 1，猜想MBN 的度数是多少， 并证明你的结论； (2)将图 1 中的三角形纸片 BMN 剪下，如图 2，折叠该纸片，探究 MN 与 BM 的数量关系，写出折叠方
22、案，并 结合方案证明你的结论 图 1 图 2 【解析】 ：(1)猜想：MBN30. 证明：连接 AN. 直线 EF 是 AB 的垂直平分线，NANB. 由折叠可知，BNAB，ABBNAN. ABN 是等边三角形 ABN60.MBNABM1 2ABN30. (2)结论：MN1 2BM. 折纸方案：如图 2，折叠BMN，使得点 N 落在 BM 上点 O 处，折痕为 MP，连接 OP. 证明：由折叠可知，MOPMNP， 由(1)可知，MBN30，OMN60. MNOM，OMPNMP1 2OMN30B，MOPMNP90. BOPMOP90. 16 又OPOP， MOPBOP(AAS) MOBO1 2B
23、M.MN 1 2BM. 13. 如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是射线 CB 上的一个动点，把DCE 沿 DE 折叠，点 C 的对 应点为 C. (1)若点 C刚好落在对角线 BD 上时，BC4； (2)若点 C刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时，求 CE 的长； (3)若点 C刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时，直接写出 CE 的长 【解析】 ：(2)如图，连接 CC. 点 C在 AB 的垂直平分线上， 点 C在 DC 的垂直平分线上 CCDCDC， DCC 是等边三角形 CDECDE1 2CDC30. DE2CE. 设 CEx，则 DE2x，由勾股定理，得(2x) 2x262. 解得 x2 3，即 CE 的长为 2 3. (3)CE 的长为 93 5或 93 5.
