1、 第 1 页 / 共 22 页 第第 26 讲：讲：Y=sin(wx+b)的图像与性质的图像与性质 一、课程标准 1.了解 yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出 yAsin(x)的图象，观察参数 A、 对函数图象变化的影响 2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、基础知识回顾 1. yAsin(x)的有关概念 yAsin(x )(A0， 0)，xR 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1 T 2 _x_ _ 2. 用五点法画 yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x 0 2 3
2、 2 2 x _0_ 2 _ 3 2 _2_ yAsin(x ) 0 A 0 A 0 3. 函数 ysinx 的图像经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图像的步骤如下： 第 2 页 / 共 22 页 4、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式常见的结论有： (1)若 yAsin(x)为偶函数，则有 k 2(kZ)；若为奇函数，则有 k(kZ) (2)若 yAcos(x)为偶函数，则有 k(kZ)；若为奇函数，则有 k 2(kZ) (3)若 yA
3、tan(x)为奇函数，则有 k(kZ) 三、自主热身、归纳总结 1. 函数 f(x)Asin(x)(A0，0，| 2 )的部分图像如图所示，则 f 11 24 的值为( ) 第 1 题图 A. 6 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 【答案】D 【解析】 由图像可得 A 2，最小正周期 T4 7 12 3 ， 则 2 T 2.又 f 11 24 2sin 7 6 2， 得 3 ， 则 f(x) 2sin 2x 3 ， f 11 24 2sin 11 12 3 2sin5 4 1.故选 D. 2. 将函数f(x)sin(2x) 2 2 的图像向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图像
4、， 若f(x)， 第 3 页 / 共 22 页 g(x)的图像都经过点 P 0， 3 2 ，则 的值可以是( ) A. 5 3 B. 5 6 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 P 0， 3 2 在 f(x)的图像上， f(0)sin 3 2 . 2 ， 2 ， 3 ， f(x)sin 2x 3 . g(x)sin 2（x） 3 .g(0) 3 2 ， sin 3 2 3 2 .验证 5 6时，sin 3 2 sin 3 5 3 sin 4 3 3 2 成立故选 B. 3、(2019 安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期为 4，且xR，有 f(x)f
5、 3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ，0 B. 3，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 【答案】A 【解析】由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 1 2. 因为 f(x)f 3 恒成立，所以 f(x)maxf 3 ， 即1 2 3 22k(kZ)， 由| 2，得 3，故 f(x)sin 1 2x 3 . 令1 2x 3k(kZ)，得 x2k 2 3 (kZ)， 故 f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ，0 (kZ)， 当 k0 时，f(x)图象的对称中心为 2 3 ，0 。 4、 （江苏宿迁开学调研）有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线si
6、nyx的图象变为sin(2) 4 yx 的图 第 4 页 / 共 22 页 象的是( ) A横坐标变为原来的 1 2 ，再向左平移 4 B横坐标变为原来的 1 2 ，再向左平移 8 C向左平移 4 ，再将横坐标变为原来的 1 2 D向左平移 8 ，再将横坐标变为原来的 1 2 【答案】BC 【解析】Asinyx横坐标变为原来的 1 2 ， 再向左平移 4 ， 得s i n 2 () s i n ( 2) 42 yxx ， 故A不正确； Bsinyx横坐标变为原来的 1 2 ，再向左平移 8 ，得sin2()sin(2) 84 yxx ，故B正确； Csinyx向左平移 4 ，再将横坐标变为原来
7、的 1 2 ，得sin(2) 4 yx ，故C正确； Dsinyx向左平移 8 ，再将横坐标变为原来的 1 2 ，得sin(2) 8 yx ，故D不正确 5、(2018 苏北四市期末） 若函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的图像与直线 ym 的三个相邻交点的横 坐标分别是 6 ， 3 ，2 3 ，则实数 的值为_ 【答案】 、. 4 【解析】 、由题意得函数 f(x)的最小正周期 T2 3 6 2 ，从而 4. 6、(2018 镇江期末） 函数 y3sin 2x 4 的图像两相邻对称轴的距离为_ 【答案】 、 2 【解析】 、由题知函数最小正周期 T2 2 .图像两相邻对称轴间的距离是最
8、小正周期的一半即 2 . 7、 （2020 江苏镇江期中考试）设函数 sin, ,f xAxA 为参数，且0,0,0A 的 部分图象如图所示，则的值为_ 第 5 页 / 共 22 页 【答案】 3 【解析】由图象可得 f x最小正周期： 47 3126 T ，即 2 ，2， 又 77 sin 126 fAA ， 73 2 62 k ，kZ，2 3 k ，kZ， 又0， 3 ，本题正确结果： 3 8、 （2020 江苏扬州高邮上学期开学考试）在平面直角坐标系xOy中，将函数 sin 2 3 yx 的图像向右 平移0 2 个单位长度若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_ 【答案】 6 【解析】
9、函数 sin 2 3 yx 的图像向右平移 0 2 个单位得 sin 22 3 yx ，因为过 坐标原点，所以 -2()0 36226 k kkZ 9、(一题两空)已知函数 f(x)2sin(x) 0，| 2 一部分图象如图所示，则 _，函数 f(x) 的单调递增区间为_ 第 6 页 / 共 22 页 【答案】2 5 12 k， 12k (kZ Z) 【解析】由图象知T 2 3 6 2 ，则周期T，即2 ，则2，f(x)2sin(2x)由五 点对应法得 2 6 2k，又| 2 ，所以 3 ，则f(x)2sin 2x 3 .令 2k 2 2x 3 2k 2 ，kZ Z， 得5 12 kxk 12
10、， kZ Z， 即函数的单调递增区间为 5 12 k， 12k ， kZ Z. 四、例题选讲 考点一、函数 yAsin(x)的图像及其变换 例 1 已知函数 y2sin 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像； (3)说明 y2sin 2x 3 的图像可由 ysinx 的图像经过怎样的变换而得到 【解析】 (1)y2sin 2x 3 的振幅 A2，周期 T2 2 ，初相 3 . (2)令 X2x 3 ，则 y2sin 2x 3 2sinX. 列表如下： x 6 12 3 7 12 5 6 第 7 页 / 共 22 页 X 0 2 3 2 2 y
11、sinX 0 1 0 1 0 y2sin(2x 3 ) 0 2 0 2 0 描点画出图像，如图所示： (3)(方法 1)把 ysinx 的图像上所有的点向左平移 3 个单位长度，得到 ysin x 3 的图像；再把 y sin x 3 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 3 的图像；最后把 y sin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin 2x 3 的图像 (方法 2)将 ysinx 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x 的图像；再 将ysin2x的图像向左平移 6
12、 个单位长度， 得到ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图像； 再将ysin 2x 3 的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y2sin 2x 3 的图像 变式 1、 (1)(2019 漳州八校联考)若函数 f(x)cos 2x 6 ， 为了得到函数 g(x)sin 2x 的图象， 则只需将 f(x) 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 (2)已知函数 f(x)4cos x sin x 6 a 的最大值为 2. 求 a 的值及 f(x)的最小正周期； 画出 f(x)在0，上的图象
13、 第 8 页 / 共 22 页 【解析】(1)函数 f(x)cos 2x 6 sin 22x 6 sin 2x 3 ，为了得到函数 g(x)sin 2x 的图象，则只需 将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度即可故选 A. (2)f(x)4cos xsin x 6 a 4cos x 3 2 sin x1 2cos x a 3sin 2x2cos2xa 3sin 2xcos 2x1a 2sin 2x 6 1a 的最大值为 2， 所以 a1，最小正周期 T2 2 . 由知 f(x)2sin 2x 6 ，列表： x 0 6 5 12 2 3 11 12 2x 6 6 2 3 2 2 13 6 f(
14、x)2sin 2x 6 1 2 0 2 0 1 画图如下： 第 9 页 / 共 22 页 变式 2、(2019 苏州三市、苏北四市二调）将函数 y2sin3x 的图像向左平移 12个单位长度得到 yf(x)的图 像，则 f 3 的值为_ 【答案】 、 2 【解析】 、解法 1 由题意可知：yf(x)2sin 3 x 12 2sin 3x 4 ，所以 f 3 2sin 3 3 4 2sin 4 2. 解法 2 根据图像平移前后的关系，f 3 的值应和 y2sin3x 中 x 3 12时 y 值相等，所以 f 3 2sin3 3 12 2. 变式 3、(2019 常州期末） 已知函数 f(x)si
15、n(x)(0，R)是偶函数，点(1，0)是函数 yf(x)图像 的对称中心，则 的最小值为_ 【答案答案】 、 2 【解析】解法 1 令 x 2 k1，k1Z，得 x 2 k1 .因为函数 f(x)sin(x)(0，R) 是偶函数， 则 x 2 k1 0 得 2 k1.因为点(1， 0)是函数 yf(x)图像的对称中心， 所以 f(1)0， 即 sin()0， 故 k2， k2Z， 则 k2k2 2 k1 2 (k2k1).又因为 0， 所以当 k2k11 时，取最小值为 2 . 解法 2 函数 f(x)是偶函数，所以图像关于 x0 对称又(1，0)是函数 f(x)的对称中心，所以T 4 k
16、2T 2k1 4 2 1，得 2k1 2 ，kZ.又 0，所以 min 2 . 第 10 页 / 共 22 页 变式 4、(2019 苏北三市期末）将函数 f(x)sin2x 的图像向右平移 6 个单位长度得到函数 g(x)的图像，则以 函数 f(x)与 g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为_ 【答案答案】 、 3 2 【解析解析】 、平移后的函数 g(x)sin 2x 3 .令 f(x)g(x)，得 sin2xsin 2x 3 . 解法 1 2x 3 2x2k(kZ)， 即 x 3 k 2 (kZ)， 相邻的三个交点为 3 ， 3 2 ， ( 6 ， 3 2 )， 5 6 ，
17、3 2 .故所求面积为 S1 2 3 3 2 . 解法 2 sin2xsin 2x 3 sin2xcos 3 cos2xsin 3 1 2sin2x 3 2 cos2x，即 sin 2x 3 0，则有 2x 3 k(kZ)，x 6 k 2 (kZ)，相邻的三个交点为 3 ， 3 2 ， 6 ， 3 2 ， 5 6 ， 3 2 . 则所求面积 S1 2 3 3 2 . 方法总结：1yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 zx 计算五点 坐标 2由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸 缩后平移” 考点二、求函数 y
18、Asin(x)的解析式 例 2、(2018 苏州暑假测试）设函数 f(x)Asin(x)A0，0， 20，所以T22 ，得1.(4 分) 所以f(x)2sin(x)，将点 3 ，2 代入，得 3 2 2k(kZ Z)，即 6 2k(kZ Z)， 又 2 0)的部分图像如图所示，若 AB5，则 的值为 _ 【答案】 、 3 【解析解析】 、如图，过点 A 作垂直于 x 轴的直线 AM，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 BM，直线 AM 和直线 BM 相 交于点 M，在 RtAMB 中，AM4，BM1 2 2 ，AB5，由勾股定理得 AM 2BM2AB2，所以 16 225， 3， 3. 变式 2
19、、 (1)已知函数 f(x)Asin(x)(A0， 0， 00， 2 2 的图象上的一个最高点和它相邻的一个 最低点的距离为 2 2，且过点 2，1 2 ，则函数 f(x)_. 【答案答案】 、 (1)B (2)sin 2x 6 【解析解析】 、(1)由题图可知 A2，T2 3 2 2 4，故2 4，解得 1 2. 所以 f(x)2sin 1 2x . 把点 2，2 代入可得 2sin 1 2 2 2， 即 sin 4 1， 所以 42k 2(kZ Z)， 解得 2k3 4 (kZ Z) 又 00，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，BM
20、m 2 . (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2 T . (3)求 ，常用方法有以下 2 种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降 区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 考点三、三角函数图象与性质的综合问题 例 3、已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在 2， 上有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是 _ 【答案答案】 、 (2，1) 【解析解析】 、方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转化为 m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x 2sin 2x 6 ，x
21、2， . 设 2x 6t，则 t 7 6， 13 6 ， 题目条件可转化为m 2sin t，t 7 6， 13 6 有两个不同的实数根 y1m 2和 y2sin t，t 7 6， 13 6 的图象有两个不同交点，如图： 第 14 页 / 共 22 页 由图象观察知，m 2的取值范围是 1，1 2 ， 故 m 的取值范围是(2，1) 变式 1、(2019 无锡期末）已知直线 ya(x2)(a0) 与函数 y |cosx|的图像恰有四个公共点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1x2x30 ) 2 f xAxA，在一个周期内 的图象已知点P( 6
22、0) ，( 2 3)Q ，是图象上的最低点，R是图象上的最高点 （1）求函数( )f x的解析式； （2）记RPO，(QPO ，均为锐角)，求tan(2)的值 解析：解析： （1）因为图象在一个周期内的最低点为( 23)Q ，与 x 轴的交点为( 6 0)P ， 所以34( 26)16AT ， 第 15 页 / 共 22 页 又 2 T ，所以 8 ， 所以 ( )3sin 8 f xx 将点( 23)Q ，代入，得 33sin2 8 ， 所以 2 42 k kZ， 所以 2 4 k kZ， 又 | 2 ，所以 4 ， 所以 ( )3sin 84 f xx （2）点 R 的横坐标 1 286
23、2 RQ xxT ，所以(6 3)R， 又因为，均为锐角，从而 1 tan 4 ， 3 tan 4 ， 所以 22 1 2 2tan84 tan2 15 1tan 1 1 4 ， 所以 83 tan2tan 77154 tan(2) 1tan2 tan8336 1 154 方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用 函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或ya)的交点，即数形之间的转化问题 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考天津卷理数】 已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数， 将 yf x 第 16 页 /
24、共 22 页 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x若 g x的 最小正周期为2，且2 4 g ，则 3 8 f A2 B2 C2 D2 【答案】C 【解析】 ( )f x为奇函数，(0)sin0,= ,0,fAkkkZ0 ； 又 12 ( )sin,2, 1 2 2 g xAxT 2， 又 ( )2 4 g，2A， ( )2sin2f xx， 3 ()2. 8 f故选 C. 2、 【2018 年高考天津理数】将函数sin(2) 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度，所得图象对应的函数 A在区间 35 , 44 上单调递增 B在区间 3 ,
25、 4 上单调递减 C在区间 53 , 42 上单调递增 D在区间 3 ,2 2 上单调递减 【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 sin 2 5 yx 的图象向右平移 10 个单位长度之后的解 析式为 sin 2sin2 105 yxx . 第 17 页 / 共 22 页 则函数的单调递增区间满足 2 22 22 kxkkZ，即 44 kxkkZ， 令1k 可得一个单调递增区间为 3 5 , 44 . 函数的单调递减区间满足： 3 2 22 22 kxkkZ，即 3 44 kxkkZ， 令1k 可得一个单调递减区间为： 5 7 , 44 . 故选 A. 3、 【2017 年高考
26、全国理数】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结论正确的是 A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得 到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 C2 【答案】D 【解析】因
27、为 12 ,C C函数名不同，所以先将 2 C利用诱导公式转化成与 1 C相同的函数名，则 2 22 :sin(2)cos(2)cos(2) 3326 Cyxxx， 则由 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍变 为cos2yx，再将曲线向左平移 12 个单位长度得到 2 C，故选 D. 第 18 页 / 共 22 页 4、 【2017 年高考天津卷理数】设函数 ( )2sin()f xx ，xR，其中0，| | 若 5 ()2 8 f ， ()0 8 f ，且( )f x的最小正周期大于2，则 A 2 3 ， 12 B 2 3 ， 12 C 1 3 ， 24 D 1 3 ， 24 【答
28、案】A 【解析】由题意得 1 2 5 2 82 11 8 k k ，其中 12 ,k k Z，所以 21 42 (2 ) 33 kk， 又 2 2T ，所以01，所以 2 3 ， 1 1 2 12 k， 由 得 12 ，故选 A 5、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）若函数 ( )2sin(2)(0) 2 f xx的图象过点(0, 3)，则函数( )f x在 0, 上的单调减区间是 【答案答案】 、 12 7 , 12 （或) 12 7 , 12 ( ） 【解析解析】 、将点)3, 0(代入得： 2 3 sin，因为 2 0 ，所以 3 ，所以) 3 2sin(2)( xxf，由 2 3 2
29、 3 2 2 2kxk得 ： 12 7 12 kxk，Zk， 即 函 数)(xf的 单 调 减 区 间 为 12 7 , 12 kk（Zk） ，所以数)(xf在, 0上的单调减区间是 12 7 , 12 6、 【2020 江苏南京上学期开学考试】函数( )Asin()f xx(A0，0)的部分图象如图所示若函 数( )yf x在区间m，n上的值域为 2 ，2，则 nm 的最小值是_ 第 19 页 / 共 22 页 【答案】3 【解析】由图象知： max2f x，2A，又 2 2628T ， 4 ， 22sin2 2 f ，2k，kZ， 2sin22sin 44 f xxkx ， 当 2f x
30、时， 1 2 44 xk 或 1 5 2 44 xk ， 1 kZ， 1 81xk 或 1 85xk， 1 kZ； 当 2f x 时， 2 2 42 xk ， 2 kZ， 2 82xk ，若nm最小， 则 12 kk，min3nm， 本题正确结果：3 7、 【2018 年高考北京卷理数】设函数 f（x）= cos()(0) 6 x，若 ( )( ) 4 f xf对任意的实数 x 都成立， 则 的最小值为_ 【答案】 2 3 【解析】因为 4 fxf 对任意的实数 x 都成立，所以 4 f 取最大值， 所以 2 2 8 463 kkkkZZ， 因为0，所以当0k 时， 取最小值为 2 3 . 8
31、、 【2018 年高考全国理数】函数 cos 3 6 f xx 在0，的零点个数为_ 第 20 页 / 共 22 页 【答案】3 【解析】 0 x ， 19 3 666 x ，由题可知 3 33 6262 xx， ，或 5 3 62 x ，解 得 4 , 99 x ，或 7 9 ，故有 3 个零点. 9、 【2018 年高考江苏卷】已知函数 sin 2() 22 yx的图象关于直线 3 x 对称，则的值是 _ 【答案】 6 【解析】由题意可得 2 sin1 3 ，所以 2 () 326 kkk Z， 因为 22 ，所以 0,. 6 k 10、 【2017 年高考浙江卷】已知函数 22 sinc
32、os2 3sincos ()( )xxxf xx xR （1）求 2 () 3 f 的值 （2）求( )f x的最小正周期及单调递增区间 【答案】 （1）2； （2）( )f x的最小正周期是；单调递增区间是 2 , 63 kkk Z 【解析】 （1）由 23 sin 32 ， 21 cos 32 ， 22 23131 ()()()2 3() 32222 f 得 2 ()2 3 f （2）由 22 cos2cossinxxx与sin22sin cosxxx得( )cos23sin2f xxx 2sin(2) 6 x 所以( )f x的最小正周期是 第 21 页 / 共 22 页 由正弦函数的性
33、质得 3 222, 262 kxkk Z， 解得 2 , 63 kxkk Z， 所以，( )f x的单调递增区间是 2 , 63 kkk Z 11、 【2017 年高考山东卷理数】设函数 ( )sin()sin() 62 f xxx，其中.已知 ( )0 6 f. （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左 平移 4 个单位，得到函数的图象，求在 3 , 44 上的最小值. 【答案】 （1）； （2）最小值为. 【解析】 （1）因为 ( )sin()sin() 62 f xxx， 所以 3sin() 3 x. 由题设知 ( )0 6 f， 所以 63 k ，kZ. 故，kZ， 03 ( )yf x ( )yg x( )g x 2 3 2 31 ( )sincoscos 22 f xxxx 33 sincos 22 xx 13 3( sincos) 22 xx 62k 第 22 页 / 共 22 页 又， 所以. （2）由（1）得( )3sin 2 3 f xx . 所以( )3sin3sin 4312 g xxx . 因为 3 , 44 x ， 所以 2 , 1233 x ， 所以当 123 x ，即 4 x 时，取得最小值. 03 2 ( )g x 3 2
