1、 简单的轴对称图形及利用轴对称进行设计 第16讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、等腰三角形的性质 2、等边三角形的性质 3、线段的垂直平分线的性质及其应用 4、角平分线的性质及其应用 教学目标 1、认识等腰三角形，并能够掌握等腰三角形的性质. 2、掌握线段垂直平分线的性质并会做线段的垂直平分线. 3、掌握角的角平分线的性质并会做角的角平分线. 4、欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计. 教学重点 1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 2、灵活运用线段垂直平分线解决最小距离问题. 教学难点
2、1、利用轴对称进行一些图案设计. 2、灵活运用线段垂直平分线解决最小距离问题. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生在理解轴对称图形的概念和性质的基础上，去认识几种常见的轴对称图形并 掌握相关的性质和应用，也要学会利用轴对称来设计一些简单的图案。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.等腰三角形的性质； 2.中垂线和角平分线的性质； 3.如何设计轴对称图形。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关等腰三角形的常见问题中，要特别注意“三线合一”性质的应用，要让学生通过作图去理解哪三条 线“合一” ，并要掌握等边三角形和等腰三角形的性质的区别和联系；
3、 在中垂线和角平分线相关问题中，要注意性质的应用及尺规作图问题。在这部分开始要让学生注意几何 问题中的辅助线的添加和作用，掌握基本的几何问题解题思路。 1.等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形； 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一” ） ，它们 所在的直线都是等腰三角形的对称轴； 等腰三角形的两个底角相等； 2.等边三角形； 3. 线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线时它的一条对称轴. 轴对称图形 常见的轴对称图形 等腰三角形 线段 角 设计简单的轴对称图案 知识点 1 常见的轴对称图形 二、知识讲解 一、导入 教学过程 垂直于一条线段，
4、并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线（简称中垂线中垂线）. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4. 角的角平分线：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 1. 设计简单的轴对称图案； 2. 尺规作图。 【题干】【题干】等腰三角形一个角等于 100，则它的一个底角是 【答案】【答案】40 【解析】【解析】因为等腰三角形一个角等于 100，所以等腰三角形的顶角一定是 100， 所以等腰三角形的底角=（180-100）2=40 【题干】【题干】如图，将一等边三角形剪去一个角后，1+2= 度 【答案】【答案】2
5、40 【解析】【解析】如图，等边三角形 1+2=360（A+B）=360120=240 故答案为 240 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 2 轴对称图案的设计 【题干】【题干】作图题： （要求保留作图痕迹，不写做法） （1）作ABC 中 BC 边上的垂直平分线 EF（交 AC 于点 E，交 BC 于点 F） ； （2）连结 BE，若 AC=10，AB=6，求ABE 的周长. 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】如图所示， EF 垂直平分 BC，BE=EC，ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC， AB=6，BC=10，ABE 的周长=6+10=16 【题
6、干】【题干】如图：AB=AC，BAC=120，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，求ADC 的度数 例题 4 例题 3 【答案】【答案】60 【解析】【解析】解：在ABC 中，AB=AC，BAC=120 B=C=30 又DE 垂直平分 AB AD=BD B=BAD=30 ADC=60 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师要注意引导学生自主观察发现各种图形的异同之处以及与轴对称图形的联系，要掌 握常见的辅助线的做法，并结合全等三角形解决综合应用问题。 1. 在下列说法中，正确的是（ ） A如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 B如果两个三角形关于某直线成轴对称，那
7、么它们是全等三角形 C等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 D一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 【答案】【答案】B 【解析】【解析】区别轴对称图形和全等图形。选 B。 2. 如图，ABCD，AD=CD，1=70，则2 的度数是（ ） 基础 四 、课堂运用 A20 B35 C40 D70 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：ABCD，ACD=1=70 AD=CD，ACD=CAD=70 2=180-70-70=40 3. 如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G， BC8。求AEG 周长。 【答案
8、】【答案】8 【解析】【解析】解：AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E， AE=BE， AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G， AG=GC， AEG 的周长=AE+EG+GA=BE+EG+GC=BC=8 所以AEG 的周长为 8 1. 下列语句中正确的个数有（ ） 角的对称轴是角的平分线 两个能全等的图形一定能关于某条直线对称 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴 两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧 巩固 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】：应为角的对称轴是角的平分线所在的直线，故本小题错误； 应为两个能全等的图形不一定能关于某条直
9、线对称，故本小题错误； 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确； 应为两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上； 综上所述，正确的只有共 1 个 故选 A 2. 如图，AD 为ABC 的角平分线，AD 的中垂线交 AB 于 E，BC 延长线于 F，求证CAF=B. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：EF 为 AD 中垂线 AF=DF 2+3=4， 又4=1+B 2+3=1+B 1=2 3=B 即CAF=B. 3.已知ABC 中，AB，B，的中垂线分别为l1,l2,l3（如图）.求证l1,l2,l3三线共点. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：设l1,l
10、2交于 O，连 OA，OB，OC.l1为 AB 中垂线 OA=OB,同理 OB=OC OA=OC O 在 AC 中垂线上.即 O 在l3上，l1l2l3共点. 4.如图，AD 为ABC 的高，B=2C，BD=5，BC=20，求 AB. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解： BD=5 BC=20 在 DC 上取 DE=BD=5，连 AE， ADBE，BD=DE AD 为 BE 中垂线 AB=AE B=1=2+C=2C C=2 AE=EC AB=EC 又BD=DE=5 BC=20 EC=10 AB=10 1. 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( ) 拔高 A.等腰三角
11、形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解： 如图 P 为中垂线交点，且在 AB 上，连 PC，则 PA=PB=PC. 1=A 2=B. 1+2=A+B= 2 180 =90 ACB=90 故选 C 2. 如图，ABC 中A=120， AB=AC，AB 的中垂线交 AB 于 D，BC 于 E 则BC BE = . 【答案】【答案】3 1 【解析】【解析】A=120 AB=AC B=C=30 又 DE 为中垂线 AE EA=EB EBA=EAB=30 EAC=90 C=30 AE=BE=2 1 EC BC BE =3 1 3. 如图，ABC 中
12、，AB=AC，AEBC,D 为直线 AE 上任一点.求证 DB+DC2AB. 【答案】【答案】见解析。见解析。 【解析】【解析】证明：延长 BA 至 F，使 BA=AF，连 FD，ADBC,AB=AC FAD=ABC=ACB=DAC. AF=AC FADCAD FD=DC，FD+DBFB DB+DC2AB. 4. 如图，以平行四边形 ABCD 的边 CD 为斜边向内作等腰直角CDE，使 AD=DE=CE，DEC=90，且点 E 在 平行四边形内部，连接 AE、BE，则AEB 的度数是（ ） A、120 B、135 C、150 D、45 【答案】【答案】B 【解析】【解析】四边形 ABCD 是平
13、行四边形， AD=BC，BAD=BCD，BAD+ADC=180， AD=DE=CE， AD=DE=CE=BC， DAE=AED，CBE=CEB， DEC=90， EDC=ECD=45， 设DAE=AED=x，CBE=CEB=y， ADE=180-2x，BCE=180-2y， ADC=180-2x+45=225-2x，BCD=225-2y ，BAD=180-（225-2x）=2x-45， 2x-45=225-2y， x+y=135， AEB=360-135-90=135； 1 等腰三角形的性质； 2 等边三角形的性质； 3 线段的垂直平分线的性质； 4 角平分线的性质； 5 轴对称图案的设计。
14、1. 下列说法正确的是 A轴对称图形的对称轴只有一条 B对称轴上的点没有对称点 C角的对称轴是它的角平分线 D线段的两个端点关于它的垂直平分线对称 【答案】【答案】D 【解析】【解析】A 错例如：圆有无数条对称轴， B 错对称轴上的点有对称点是它本身， C 错因为角的平分线是一条射线，而对称轴是直线， 故选 D. 2. 如图，在ABC 中，C=90，AD 平分BAC，AB=5，CD=2，则ABD 的面积是 。 【答案答案】5 【解析解析】SABD=1 2 5 2=5 基础 扩展延伸 课堂小结 3. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DEAB，过点 E 作 E
15、FDE，交 BC 的延长线 于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 【答案答案】 （1）30； （2）4 【解析解析】解： （1）解：ABC 是等边三角形， ABACB60， ABDE， EDCB60，CEDA60， EFDE， FED90， FEC30， ECDFFEC， F30； （2）由（1）可知：EDC 是等边三角形， CD2， ED2， 在 RtFED 中，F30， DF2ED4. 4.已知：如图，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D，BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CD求证：BD=DE 【答案答案】见解析。 BD=DE 1. 如图，ABC
16、=50，AD 垂直平分线段 BC 于点 D，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，连结 EC，则AEC 的 度数是 【答案答案】115 【解析解析】解：根据角平分线可得EBD=25， 根据中垂线的性质可得 BE=CE，即C=EBD=25， 则AEC=C+EDC=25+90=115. 2. 已知ABC 是等边三角形，ADC=120，AD=3，BD=5，则边 CD 的长为 【答案答案】2 【解析解析】解：延长 AD 到点 E，使 DE=CD，连接 CE ADC=120 CDE=60 【解析解析】证明：ABC 为等边三角形，BD 是 AC 边的中线， BDAC，BD 平分ABC，DBE=ABC
17、=30 CD=CE， CDE=E ACB=60，且ACB 为CDE 的外角， CDE+E=60 CDE=E=30， DBE=DEB=30， 巩固 CDE 是等边三角形 DCE=60，CD=CE ACB=60 BCD=ACE BC=AC BCDACE BD=AE BD=5，AD=3 DE=2 CD=2 故答案为：2 3. 如图，已知等边ABC 中，BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P，则APE 的度数是 度 【答案答案】60 【解析解析】等边ABC， ABD=C，AB=BC， 在ABD 与BCE 中， ABBC ABDC BDCE ， ABDBCE（SAS） ， BAD=CBE， ABE+E
18、BC=60， ABE+BAD=60， APE=ABE+BAD=60， APE=60 1. 如图， 已知ABC 三个内角的平分线交于点 O， 延长 BA 到点 D， 使 AD=AO， 连接 DO， 若 BD=BC， ABC=54， 则BCA 的度数为 【答案答案】42 【解析解析】ABC 三个内角的平分线交于点 O， ABO=CBO，BAO=CAO，BCO=ACO， AD=A0， D=AOD， BAO=2D， 设D=， 则BAO=2，BAC=4， 在DBO 与CBO 中， BDBC DBOCBO BOBO DBOCBO， BOC=D=， BCA=2， 54+4+2=180， =21， BCA=4
19、2 拔高 2. 如图，过边长为 1 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时， 连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ） A B C D 不能确定 【答案答案】B 【解析解析】解：过 P 作 PMBC，交 AC 于 M； APM 是等边三角形； 又PEAM， AE=EM； （等边三角形三线合一） PMCQ， PMD=QCD，MPD=Q； 又PA=PM=CQ， PMDQCD； CD=DM； DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选 B 3. 从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等
20、腰三角形纸片的底角 等于 度 【答案答案】72或 【解析解析】解： （1）如图（1） ， AB=AC，AD=BD=BC， ABC=C=BDC，A=ABD， BDC=2A， ABC=2A， A+ABC+C=180， 5A=180， A=36 底角C=2A=72， （2）如图（2） AD=BD，BC=CD，设A=，则ABD=， 1=2=2， C=3， 7=180， =； 即C=（360）=， 原等腰三角形纸片的底角为 72或 4. 如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1到 A2，使得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一 点 D，延长 A1A2到 A3，使得 A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为_. 【答案答案】 【解析解析】在ABA1中，B=20，AB=A1B， BA1A=80， A1A2=A1C，BA1A 是A1A2C 的外角， CA2A1=40； 同理可得， DA3A2=20，EA4A3=10， An= 故答案为： 教学反思
