1、 变量之间的关系 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、常量与变量； 2、自变量与因变量； 3、用表格表示变量之间的关系； 4、用关系式表示两变量之间的关系； 5、利用关系式求值； 6、用图像表示两变量之间的关系。 教学目标 1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子； 2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中 的资料尝试对变化趋势进行初步的预测； 3、能根据具体情景，用表格、关系式、图象表示某些变量之间的关系。 教学重点 1、经历探索具体情境中两
2、个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一 步发展符号感； 2、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。 教学难点 1、找问题中的自变量和因变量； 2、根据表格、关系式、图象找自变量和因变量之间的对应关系。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能够理解变量与常量，并能与实际结合举出相应的变量关系的例子。在充分 理解常量与变量的意义的基础上再去学习变量之间关系的三种表示方法，能将三种表示方法进行转换，并 能进行简单的计算。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.变量与常量的意义； 2.两个变量之间的关系； 3.两个变量之间的
3、三种表示方法。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 在学习变量关系时可以从之前知识点引入，让学生理解变量和常量的区别，并能区分自变量和因变量。 然后在学习变量关系的三种表示方法时注意与实际问题的结合，让学生自己动手进行探究作图，充分理解 三种表示方法之间的联系并能够进行分析计算。 要注意表格法、 图象法和关系式法之间的互相转换， 要让学生理解不同的表示方法适用于何种问题情境， 在解题的过程中根据不同的要求能够将变量之间的关系用相应的方法表示出来。 1.自变量、因变量、常量； 2.常见的变量关系： （1）速度、路程、时间关系； （2）面积、周长计算； （3）单价、总价、数量
4、关系。 变量之间的关系 变量与常量 自变量、因变量 常量 两个变量之间的 表示 表格法 图象法 关系式法 知识点 1 变量的意义 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1.表格法； 2.图象法； 3.关系式法； 4.三种表示方法间的转换。 【题干】【题干】 在ABC 中， 它的底边是 a， 底边上的高是 h， 则三角形面积 S=ah， 当 a 为定长时， 在此式中 （ ） A.S，h 是变量，a 是常量 B.S，h，a 是变量，是常量 C.S，h 是变量，S 是常量 D.S 是变量，a，h 是常量 【题干】【题干】 某城市自来水收费实行阶梯水价， 收费标准如下表所示， 用户 5 月份交水费 45
5、元， 则所用水为 方 月用水量 不超过 12 方部分 超过12方不超过18吨部分 超过 18 方部分 收费标准 （元/方） 2 2.5 3 【题干】【题干】心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间有如下关系： （其中 0 x30） 提出概念所用时间 （x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 （y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念
6、几分钟时，学生的接受能力最强； 例题 3 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 2 变量间关系的表示 （4）从表中可知，当时间 x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间 x 在什么范围内，学生的接 受能力逐步降低？ 【题干】【题干】一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从 0 时到 12 时的水深情况，结合图象回答下列问 题： （1）如图描述了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ （2）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？ （3）图中 A 点表示的是什么？ （4）在什么时间范围内，水深在增加？什么时间范围内，水深在减少？ 【题干】【题干】如图正方形 ABC
7、D 的边长为 4cmP 为 DC 上的点，当点 P 从 C 向 D 移动时，四边形 APCB 的面积 发生了变化 （1）设线段 CP 长为 x，则APD 的面积 y 可以表示为 ； （2）这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （3）当线段 CP 从 1cm 增加到 3cm 时，APD 的面积减小了多少？ 【教学建议】【教学建议】 四 、课堂运用 例题 5 例题 4 在学习过程中可以多结合具体问题情境，引导学生主动探索变量间的关系，帮助学生建立完整的知识 体系，并要设计难易适中的练习题帮助学生加深理解。 1. 设路程 s，速度 v，时间 t，在关系式 s=vt 中，说法正确的是（ ） A.当
8、 s 一定时，v 是常量，t 是变量 B.当 v 一定时，t 是常量，s 是变量 C.当 t 一定时，t 是常量，s，v 是变量 D.当 t 一定时，s 是常量，v 是变量 2. 某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y与向上攀登的高度 xkm 的几组 对应值如表： 向上攀登的高度 x/km 0.5 1.0 1.5 2.0 气温 y/ 2.0 1.0 4.0 7.0 若每向上攀登 1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.3km 时，登山队所在 位置的气温约为_ 3.李小勇的爸爸让他去商店买瓶酱油，下图近似地描述了李小勇和家之间的距离与他离家后
9、的时间之间的 关系，则 (1)李小勇去买瓶酱油共花了_min，其中在路上行走了_min，他走路的平均速度是_； (2)李小勇在买酱油的过程中有_次停顿，其中第_次是因为买酱油付钱而停顿的； (3)李小勇在途中另一处停顿的原因是_.(只要写得合理都对) 4. 如图,圆柱的底面半径为 2cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化. 基础 (1)在这个变化过程中,自变量是_,因变量是_. (2)如果圆柱的高为 x(cm),圆柱的体积 V(cm 3)与 x 的关系式为_. (3)当圆柱的高由 2cm 变化到 4cm 时,圆柱的体积由_cm 3变化到_cm3. (4)当圆柱的高每增加 1cm
10、 时,它的体积增加_cm 3. 1. 笔记本每本 a 元，买 3 本笔记本共支出 y 元，在这个问题中： a 是常量时，y 是变量； a 是变量时，y 是常量； a 是变量时，y 也是变量； a，y 可以都是常量或都是变量 上述判断正确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 在某次实验中，测得两个变量 m 和 v 之间的 4 组对应数据如下表：则 m 与 v 之间的关系最接近于下列各 关系式中的（ ） m 1 2 3 4 v 0.01 2.9 8.03 15.1 A.v=2m2 B.v=m 21 C.v=3m3 D.v=m+1 3. 下列各图均是用有一定规律的点组成的
11、图案， 用 S 表示第n个图案中点的总数， 则 S_。 （用含n 的式子表示） 巩固 4. 如图，圆柱的高是 5 cm，当圆柱的底面半径由小变大时，圆柱的体积也随之发生变化。 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆柱底面半径为 r(cm)， 体积为 V(cm3)， 则 V 与 r 之间有什么关系？ (3)当底面半径为 2 cm 时，圆柱体体积是多少？ (4)当圆柱体的体积为 500 cm2 时，底面半径是多少？ (5)圆柱体的体积随底面半径的增大怎样变化？ 1.根据如图所示的程序图计算代数式的值,若输入的 x 的值为 32,则输出的 y 值为（ ）. A.2 7 B.
12、4 9 C. 2 1 D. 2 9 2. 如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中剪去一个边长为 1 的小 正方形 CEFG，动点 P 从点 A 出发，沿 ADEFGB 的路 线绕多边形的边匀速运动到点 B 时停止（不含点 A 和点 B） ， 则ABP 的面积 S 随着时间 t 变化的函数图象大致是（ ） A B C D 3. 将长为 30cm，宽为 10cm 的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，粘合部分的宽为 3cm。 拔高 (1)求五张白纸粘合的长度 (2)设 x 张白纸粘合的总长度为 ycm,写出 y 与 x 之间的关系式 (3)求出当 x=20 时，y 的值 4. 小明用的练习
13、本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买。已知俩商店的标价都是每本 1 元，但甲商店 的优惠条件是购买 10 本以上，从第 11 本开始标价的 70%卖；乙商店的优惠条件是从第 1 本开始就按标价的 85%卖。 （1）小明要买 20 本时，到哪个商店购买比较省钱？ （2）写出甲、乙商店中，付款 y（元）与购买本数 x（本） （x 大于 10）的关系式 （3）小明现有 24 元钱，最多可以买多少本练习本？ 1自变量、因变量及常量的认识； 2.两个变量关系的三种表示方法：表格法、关系式法、图象法。 3.利用变量关系的相关计算问题。 1. 当前，雾霾严重，治理雾霾方法之一是将已生产的 PM2.5 吸纳
14、降解，研究表明：雾霾的程度随城市中心 区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（ ） A.雾霾程度 B.PM2.5 C.雾霾 D.城市中心区立体绿化面积 2. 下表所列为某商店薄利多销的情况。某商品原价为 560 元，随着不同幅度的降价，日销量(单位为件)发 生相应的变化(如表): 降价(元) 5 10 15 20 25 30 35 基础 扩展延伸 课堂小结 日销量(件) 780 810 840 870 900 930 960 这个表反映了_个变量之间的关系，_是自变量，_是因变量。 从表中可以看出每降价 5 元， 日销量增加_件， 从而可以估计降价之前的日销量为_件， 如果售价为
15、500 元时，日销量为_ 件。 3. 一辆汽车出发时邮箱内有油 48 升，出发后每行驶 1 km 耗油 0.6 升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程 为x(km).则y与x的关系式为_；这辆汽车行驶 35 km 时，汽车剩油_升；当汽车剩油 12 升时，行驶了_千米. 4. 如图是江津区某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： （1）气温 T（）是不是时间 t（时）的函数 （2）12 时的气温是多少？ （3）什么时候气温最高，最高时多少？什么时候气温最低，最低是多少？ （4）什么时候气温是 4？ 1. 赵先生手中有一张记录他从出生到 24 岁期间的身高情况表（见如表） ： 年龄
16、 x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高 h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法错误的是（ ） A赵先生的身高增长速度总体上先快后慢 B赵先生的身高在 21 岁以后基本不长了 C赵先生的身高从 0 岁到 24 岁平均每年增高 7.1cm D赵先生的身高从 0 岁到 24 岁平均每年增高 5.1cm 2. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A，再走上坡路到达点 B，最后走下坡路到达工作单位， 所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别 保持和去上班时一致，那么他从单
17、位到家门口需要的时间是 分钟。 巩固 3. 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系： 底面半径 x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 y（cm 3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为 2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由 （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响 4.用一根长是 20cm 的细绳围成一
18、个长方形(如图),这个长方形的一边的长为 xcm,它的面积为 ycm 2. (1)写出 y 与 x 之间的关系式,在这个关系式中,哪个是自变量?它的取值应在什么范围内? (2)用表格表示当 x 从 1 变到 9 时(每次增加 1),y 的相应值; (3)从上面的表格中,你能看出什么规律? (4)猜想一下,怎样围法,得到的长方形的面积最大?最大是多少? (5)估计一下,当围成的长方形的面积是 22cm 2时,x 的值应介于哪两个相邻整数之间? 1.1. 如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3 个不同的问题情境： 小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，在原地休息了 4 分，然
19、后以 500 米/分的速度匀速骑回出发 地，设时间为 x 分，离出发地的距离为 y 千米； 有一个容积为 6 升的开口空桶， 小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水， 注 5 分后停止， 等 4 分后， 再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为 x 分，桶内的水量为 y 升； 拔高 矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，动点 P 从点 A 出发，依次沿对角线 AC、边 CD、边 DA 运动至点 A 停止，设点 P 的运动路程为 x，当点 P 与点 A 不重合时，y=SABP；当点 P 与点 A 重合时，y=0 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ） A0 B1 C
20、2 D3 2.按如图方式摆放餐桌和椅子用 x 来表示餐桌的张数，用 y 来表示可坐人数 （1）题中有几个变量？ （2）你能写出两个变量之间的关系吗？ 3. 李老师为了锻炼身体一直坚持步行上下班，已知学校到李老师家总路程为 2000 米，一天，李老师下班 后，以 45 米/分的速度从学校往家走，走到离学校 900 米时，正好遇到一个朋友，停下又聊了半个小时， 之后以 110 米/分的速度走回了家。李老师回家过程中，离家的路程 S（米）与所用时间t（分）之间的关系 如图所示。 （1）求cba、的值； （2）求李老师从学校到家的总时间。 4. 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 1，E 为 CD
21、的中点，P 为正方形边上的一个动点，动点 P 从 A 出发沿 ABCE 运动，最终到达点 E，若点 P 经过的路程 AP=x，APE 的面积记为 y，问当 x 等于何值时，y 的值 等于 3 1 ？ 5.如图 1， 线段 AB=12 厘米， 动点 P 从点 A 出发向点 B 运动， 动点 Q 从点 B 出发向点 A 运动， 两点同时出发， 到达各自的终点后停止运动已知动点 Q 运动的速度是动点 P 运动的速度的 2 倍设两点之间的距离为 s （厘米） ，动点 P 的运动时间为 t（秒） ，图 2 表示 s 与 t 之间的函数关系 （1）求动点 P、Q 运动的速度； （2）图 2 中，a= ，b= ，c= ； （3）当 atc 时，求 s 与 t 之间的函数关系式（即线段 MN 对应的函数关系式）
