1、 锐角三角函数 第1讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.正切 2.正弦、余弦 3.坡度 教学目标 1.掌握锐角三角函数的定义 2.掌握正切、正弦、余弦的计算 教学重点 能熟练掌握锐角三角函数的计算 教学难点 能熟练掌握锐角三角函数的计算 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握正切、正弦、余弦的定义，并能利用其进行一些简单的计算。在 授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，帮助学生形成格式规范的写法。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 复杂图形中的三角函数问题。 2. 坡度的应用问题
2、。 3.正确规范的书写格式。 【知识导图】【知识导图】 锐角三角函数 正切 正弦、余弦 坡度 概述 【教学建议】【教学建议】 本节内容较简单，把定义讲透，加强对复杂图形中的三角函数问题的解题示范。 当锐角 A 的大小确定时，A 的对边与邻边的比也分别是确定的 把A 的对边与邻边的比叫做A 的正 切，记作 tanA，即 tanA= A A 的对边 的邻边 = a b 在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 sinA= = a c 我们把A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 cosA= A 的邻边 斜边 = c b ； 锐
3、角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数 如图所示，我们把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫做 坡比），一般用 i 表示。即 l h i 斜边c 对边a b C B A 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 正切 知识点 2 正弦、余弦 知识点 3 坡度 【题干】若ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则 tan的值是（ ） A 2 2 B 1 2 C 3 2 D1 【答案】【答案】D 【解析】根据图形可知的对边及邻边的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可 解：根据图形可知：ABC 是直角三角形，且 AC=3，BC=3 根据
4、勾股定理得到 AB=32， 则 tan= AC BC =1 故选 D 【题干】【题干】如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，沿 CE 折叠矩形 ABCD，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处， 若 AB=4，BC=5，则 tanAFE 的值为（ ） 三、例题精析 例题 1 例题 2 A 4 3 B 3 5 C 3 4 D 4 5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由四边形 ABCD 是矩形，可得：A=B=D=90，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得： EFC=B=90，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得DCF=AFE，然后在 RtDCF 中，即可求得 答案
5、 解：四边形 ABCD 是矩形， A=B=D=90，CD=AB=4，AD=BC=5， 由题意得：EFC=B=90，CF=BC=5， AFE+DFC=90，DFC+FCD=90， DCF=AFE， 在 RtDCF 中，CF=5，CD=4， DF=3， tanAFE=tanDCF= DF DC = 3 4 故选 C 【题干】【题干】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=6，BD=8，ABD=，则下列结论正确的是（ ） Asin= 4 5 Bcos= 3 5 Ctan= 4 3 Dtan= 3 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据菱形的性质及勾股定理可求得 AB 的长，从而可表示出不同的三角
6、函数从而验证得到正确的那 个选项 例题 3 解：菱形 ABCD 的对角线 AC=6，BD=8， 则 ACBD，且 OA=3，OB=4 在直角ABO 中，根据勾股定理得到：AB=5， 则 sin= 3 5 ，cos= 4 5 ，tan= 3 4 ， 故选 D 【题干】【题干】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的 山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A5m B6m C7m D8m 【答案】【答案】A 【解析】【解析】解：由题知：tan A=0.75，此时坡上株距是 4m，设相邻两树间的坡面距离为 xm 所以满足s
7、inA=0.8= 4 x 解得 x=5 故选 A 【题干】【题干】如图，修建抽水站时，沿着坡度为 i=1：3的斜坡铺设水管，若测得水管 A 处铅垂高度为 6m，则 所铺设水管 AC 的长度为（ ） A8m B10m C12m D18m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】该斜坡的坡度为 i=1：3， 例题 4 例题 5 AB：BC=1：3， AB=6m， BC=63m， 则 AC= 22 ABBC36 10128（m） 故选 C 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重难点放在正切、正弦、余弦的应用上，先把例题讲解清晰， 再给学生做针对性的练习。 1. 三角形在正方形
8、网格纸中的位置如图所示则tan的值是（ ） A 5 3 B 5 4 C 4 3 D 3 4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由图可知 4 3 tan，故选 C. 2.如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cosABC 等于（ ） A. 5 B. 5 5 C. 5 52 D. 10 53 【答案】【答案】C 【解析】【解析】在格点中构造直角三角形，再根据勾股定理即可求得 cosABC= 5 52 ，故选 C. 四 、课堂运用 基础 3.在坡度为 1:2 的斜坡上，某人前进了 100 米，则他所在的位置比原来升高了 米 【答案】【答案】20 5 【解析】【解析】根据坡度为 1:2，可
9、设对边为 x 米，邻边为 2x 米，再根据勾股定理即可列方程求解. 设对边为 x 米，邻边为 2x 米，由题意得 222 100)2(xx 解得520 x 则他所在的位置比原来升高了20 5米 1.在 RtABC 中，A=90，如果把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍，那么所得到的直角三角形中， B 的正切值 （ ） A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.扩大 4 倍 D.大小不变 【答案】【答案】D 【解析】【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍，那么所得到的直角三角形与原三角形相似，则B 的大小 不变，根据三角函数的性质即可判断 把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍， 那么所
10、得到的直角三角形与原来的三角形相似， 则B 的大小不变， 则B 的正切值不变 故选 D 2.在ABC 中，C=90，BC=3，AB=5，则cosA的值是（ ） A 4 5 B 3 5 C 4 3 D 4 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】此题考查直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切的定义和勾股定理的应用；如右图： sin=,cos=,tan=; BCACBC AAA ABABAC 对边邻边对边 斜边斜边邻边 所以 22 25 94ACABBC， 4 cos 5 AC A AB ，所以选 A； 巩固 拔高 1.在 RtABC 中，若各边的长度同时扩大 5 倍，那么锐角 A 的正弦值和余弦值
11、（ ） A.都不变 B.都扩大 5 倍 C.正弦扩大 5 倍、余弦缩小 5 倍 D.不能确定 【答案】【答案】A 【解析】【解析】锐角 A 的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比， 边长同时扩大 5 倍对于锐角 A 的正弦值和余弦值没有影响， 锐角 A 的正弦值和余弦值没有改变 故选 A 2.如图，从山顶 A 望地面 C、D 两点，测得它们的俯角分别是 45和 30，已知 CD=100m，点 C 在 BD 上，则山高 AB 等于 （ ） A100m B503m C502m D50（3+1）m 【答案】【答案】D 【解析】【解析】在两个不同的三角形中利用三角函数就行了. 3.如图，斜坡
12、 AC 的坡度（坡比）为 1:3，AC10 米坡顶有一垂直于水平面的旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14 米试求旗杆 BC 的高度 【答案】【答案】6 米 【解析】【解析】延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD，要求 BC 的高度，就要知道 BE 和 CE 的高度，就要先求出 AE 的长度直角三角形 ACE 中有坡比，由 AC 的长，那么就可求出 AE 的长，然后求出 BE、CE 的高度， BC=BE-CE，即可得出结果 延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD 在 RtAEC 中，AC10， 由坡比为 1:3可知：CAE30 CEACsin30
13、10 2 1 5，AEACcos3010 2 3 35 在 RtABE 中，BE 22 AEAB 2 2 3514 =11 BEBCCE， BCBECE11-56（米） 答：旗杆的高度为 6 米 1正切、正弦、余弦： 如下图所示，在 RtABC 中，C=90， 正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即sinA= Aa c = 的对边 斜边 余弦：锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即cosA= Ab c = 的邻边 斜边 正切：锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即tanA= Aa Ab = 的对边 的邻边 2坡度： 坡面的
14、铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比） 课堂小结 1. （2018 孝感）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8，则 sinA 等于（ ） A 3 5 B 4 5 C 3 4 D 4 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先根据勾股定理求得 BC=6，再由正弦函数的定义求解可得 2. 图，在 RtABC 中，C90，BC4，AC3，则 sinB AC AB ( ) A 3 5 B 4 5 C 3 7 D 3 4 【答案答案】A 【解析解析】由勾股定理，得：AB 22 ACBC 22 345根据正弦的定义，得：sinB AC AB 3 5 3. 如图，A、B、C是小正方
15、形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为（ ） A 1 2 B1 C 3 3 D3 4 3 CB A 拓展延伸 基础 C A B 【答案答案】B 【解析解析】连接BC，则BCAB.在RtABC中，ABBC 22 215 ，tanBAC BC AB 1. 1.ABC 中，C90，AB15，sinA，则 BC 等于（ ） A 45 B 5 C D 【答案答案】B 【解析解析】画出示意图，根据正弦的定义即可求得. 2.如图，在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E，EC1，sinB，求菱形的周长 【答案答案】52 【解析】设 AE5x，AB13x，BE12x，12x113x，x1 A
16、B13，菱形的周长为 52 3.如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，sinA，AC5，求 sinB 及 BC 的长 3 1 5 1 45 1 13 5 5 4 巩固 A B D C E 【答案答案】 【解析解析】提示：根据 sinB，易得 BC. 1.如图， 在 44 的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC 的正 弦值是 【答案答案】 5 5 【解析解析】由勾股定理可得，AB 2324225，BC212225，AC2224220， AB 2BC2AC2，ACB90，sinACBBC AB 5 25 5 5 2.如图，在边长为 1 的小正方
17、形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O， 则tanAOD 【答案答案】2 【解析解析】如图所示，连接 AE、BE，易证 CDBE，AODABE，显然ABE 是直角三角形，tan 3 20 5 3 3 20 A B D C 拔高 AODtanABE 2 2 2 2 AE BE 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，若 EA的延长线 恰好过点 C，则 sinABE 的值为 【答案答案】 10 10 【解析解析】由折叠知BAE=A=90，AE=AE，AB=AB=6，故在 RtABC 中，由勾股定理，得 A C= 22 BABC= 22 610 =8，设 AE=AE=x，则 CE=x+8，DE=10 x，在 RtCDE 中，由勾股定理， 得(x+8) 2=62+(10 x)2，解得 x=2(或由 RtCDERtBCA求得 DE 长，进而得 AE 的长)在 RtABE 中，BE= 22 62 =210所以 sinABE= BE AE = 102 2 = 10 10 E A E D B C A 教学反思
