1、 二次函数综合 第12讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 教学目标 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型 教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题 教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、 归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1
2、. 二次函数中平行四边形的存在性问题； 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题； 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数综合 二次函数与平行四边形 二次函数与等腰三角形 二次函数与相似三角形 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。 平行四边形动点问题一
3、般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两 种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距 离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。 处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点 间距离公式硬算） 常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第
4、一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等. 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与平行四边形 知识点 2 二次函数与等腰三角形 知识点 3 二次函数与相似三角形 三、例题精析 【题干】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD 4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE
5、 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成 为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 图 1 备用图 【题干】【题干】如图 1，抛物线 yax 2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2) （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交； （3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三
6、角形时，求圆心 P 的纵坐标 1 (,) 16 a 例题 1 例题 2 图 1 【题干】【题干】如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC， 求ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标 图 1 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题
7、入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生 做针对性的练习。 例题 3 四 、课堂运用 基础 1.如图 1，已知抛物线 yx 2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式； （2）求 tanABO 的值； （3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物 线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标 图 1 2.如图 1，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设
8、点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 图 1 3.如图 1，已知抛物线（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如
9、果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角 2 11 (1) 444 b yxbx 形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 1.如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以 A 为 顶点的抛物线 yax 2bxc 过点 C 动点 P 从点 A 出发， 沿线段 AB 向点 B 运动， 同时动点 Q 从点 C 出发， 沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为
10、 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值 图 1 2.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存
11、在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 巩固 在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 3.如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E， 且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由
12、 图 1 1.将抛物线 c1：沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示 （1）请直接写出抛物线 c2的表达式； （2）现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右 依次为 A、B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左 到右依次为 D、E 当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值； 在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 1 (2)()yxxm m 2 33yx 拔高 图 1 2.如
13、下图,抛物线 2 1 2 yxmxn 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.已 知 A（-1,0）,C(0,2). （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出 P 点的 坐标；如果不存在,请说明理由； 3.如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶 点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点
14、P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标 , 图 1 1.二次函数与平行四边形的处理方法 2.二次函数与等腰三角形的处理方法 3.二次函数与相似三角形的处理方法 1. 如图，抛物线 yax 2bx3 过点 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为 2，点 P(m，n)是线段 AD 上的动点. （1）求直线 AD 及抛物线的解析式； （2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ （3）在平面内是否
15、存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以 P、Q、D、R 四点为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由. 课堂小结 拓展延伸 基础 2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C （0，6），在 y 轴上有一点 E（0，2），连接 AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不 存在请说明理由 3.在平面直
16、角坐标系 xOy 中，抛物线 y=1 4x 2+bx+c 经过点 A(2，0)，B(8，0) 求抛物线的解析式； 点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连接 BC，设点 P 是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点 D 是否存在点 P ，使线段 PD 的长度最大，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 当PDC 与 COA 相似时，求点 P 的坐标 1.如图，已知抛物线 y= 2 1 x 2- 2 3 x-n(n0)与 x 轴交于点 A,B 两点（A 点在 B 点的左边），与 y 轴交于点 C. （1）如图 1，若ABC 为直角三角形，求 n 的值； （2）如图 1，在（1）的
17、条件下，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的对称轴上，若以 BC 为边，以点 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点的坐标； 2.如图，抛物线 2 11 4 33 yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为 点M，PM交BC于点Q，过点P作/PEAC交x轴于点E，交BC于点F. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角 形.若存在，请直接 写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理
18、由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值. 3.如图，已知抛物线 y=ax 2+bx（a0）过点 A（ ，3）和点 B（3，0）过点 A 作直线 ACx 轴， x y BA C O 巩固 交 y 轴于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三 角形与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； 1.如图，抛物线 yax 26xc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线 yx5 经过点 B，C （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 的直线交直线 B
19、C 于点 M 当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P(不与点 B，C 重合)，作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q，若以 点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标； 连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A(4，0)、B(2，0)，交 y 轴于点 C(0， 6)，在 y 轴上有一点 E(0，2)，连接 AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）
20、抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不 拔高 存在请说明理由 3.如图，已知直线 y=2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点， 过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D （1）若抛物线的解析式为 y=2x 2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？ 若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 A B C D E O x y
