1、1第 30讲 概率命题点 近 8年的命题形式 考查方向频率与概率 2014(T11选)，2012(T6 选)近 7年考查 2次，均为选择题考查形式为：(1)根据频率与概率的关系判断正误；(2)结合大量重复实验的频率分布折线图估计概率.概率的计算与应用2018(T21(2)解)，2017(T21(2)解)，2016(T23解)，2015(T13 选)，2013(T17填)，2012(T16 填)，2011(T21解)考查形式有：(1)与代数、几何高 频 考 点知识结合求概率；(2)与游戏结合求概率.命题点 1 频率与概率1(2012河北 T62分)掷一枚质地均匀的硬币 10次，下列说法正确的是(
2、B)A每 2次必有 1次正面向上B可能有 5次正面向上C必有 5次正面向上D不可能有 10次正面向上2(2014河北 T113分)某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( D)A在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C暗箱中有 1个红球和 2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是 4命题点 2 概率的计算与应用3(2015河北 T132分)将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上
3、一面的点数，与点数 3相差 2的概率是(B)A. B. C. D.12 13 15 164(2013河北 T173分)如图，A 是正方体小木块(质地均匀)的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则 A与桌面接触的概率是 1225(2012河北 T163分)在 12的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 346(2016河北 T239分)如图 1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字 1，2，3，4.图 1 图 2如图 2，正方形 ABCD顶点处各有一个圈跳圈游戏的规则
4、为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长如：若从圈 A起跳，第一次掷得 3，就顺时针连续跳 3个边长，落到圈 D；若第二次掷得 2，就从 D开始顺时针连续跳 2个边长，落到圈 B；设游戏者从圈 A起跳(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 A的概率 P1；(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A的概率 P2，并指出她与嘉嘉落回到圈 A的可能性一样吗？解：(1)掷一次骰子有 4种等可能结果，只有掷得 4时才会落回到圈 A，P 1 .14(2)列表如下：第 1次 第 2次 ) 1 2 3 41 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
5、2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3)4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4)所有等可能的情况共有 16种，当两次掷得的数字和为 4的倍数，即(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)时，才可落回到圈 A，共有 4种情况P 2 .416 14而 P1 ，她与嘉嘉落回到圈 A的可能性一样14重难点 概率的计算与应用(2018河北考试说明)如图，放在平面直角坐标系中的正方形 ABCD的边长为 4.现做如下实验：转盘被划分成 4个相同的小扇形，并分别标上数字 1，2，3，4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为
6、直角坐标系中点 M的坐标(第一次作横坐标，第二次作纵坐标)，指针如果指向分界线上，那么认为指向左侧扇形的数字(1)请你用树状图或列表的方法，求点 M落在正方形 ABCD面上(含内部与边界)的概率；3(2)将正方形 ABCD平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点 M落在正方形 ABCD面上的概率为 ？若存在，34指出一种具体的平移过程；若不存在，请说明理由【自主解答】 解：(1)列表如下：第 2次 第 1次 ) 1 2 3 41 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)4 (4，1) (4
7、，2) (4，3) (4，4)所有等可能情况有 16种，可知其中落在正方形 ABCD面上的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共 4种，点 M落在正方形 ABCD面上的概率为 .416 14(2)答案不唯一，如先向右平移 2个单位长度，再向上平移 1个单位长度初中常见的概率问题最多不超过 3步试验，在解决概率问题时应根据题意，选择正确的解决方案，具体方 法 指 导有以下几个思考方向：(1)对于一步试验：其一般形式为“从中任取一个”可直接用概率公式“P ”求解；mn(2)对于两步试验：其一般形式有“从中一次抽取两个”或“从中第一次取一个，放回(或不放回)再取一个” ，常以摸球、
8、转盘、抛硬币等为背景设题，解决此类问题时应先列表(或画树状图)，不重不漏地列举出所有等可能结果，再确定其中事件 A所包含的结果数，然后用概率公式求解，注意要区分“放回”和“不放回”问题， “不放回”则第 1次与第 2次不重复；(3)对于三步试验：三步试验只能通过画树状图列举所有等可能结果，然后用概率公式计算；,(4)几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分之几；,(5)与代数、几何知识相结合的概率题其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形，再求出满足所涉及知识的情
9、形，进一步求概率,易错提示)用列表法解题要注意解题格式的规范：(1)表格中的结果用括号括起来，且中间加逗号；(2)表格画完后要说明共有几种结果，满足题意的有几种结果，再写最后结论【变式训练 1】 (2018石家庄长安区一模)如图，在 33的正方形网格中，点 A，B，C，D，E，F，G 都是格点，从 C，D，E，F，G 五个点中任意取一点，以所取点及 AB为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 12【变式训练 2】 (2018承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃 9张，黑桃 10张，方块 11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上4(1)求从中抽出一张是红桃的概率；(2)现从桌面上
10、先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率不小于 ，问至少抽掉了多少张黑桃？25(3)若先从桌面上抽掉 9张红桃和 m(m6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当 m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当 m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值解：(1)抽出一张是红桃的概率是 .99 10 11 310(2)设至少抽掉了 x张黑桃，放入 x张的红桃，根据题意，得 .9 x9 10 11 25解得 x3.答：至少抽掉了 3张黑桃(3)当 m为 10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然
11、事件，当 m为 9，8，7 时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小) .11（ 10 7） 11 11141(2018廊坊安次区一模)下列事件中，属于必然事件的是( B)A三条线段围成一个三角形B1 小时等于 60分钟C度量三角形的内角和结果为 360D数轴上一点表示有理数2(2018泰州)小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为 10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( C)A小亮明天的进球率为 10%B小亮明天每射球 10次必进球 1次C小亮明天有可能进球D小亮明天肯定进球3(2018唐山乐亭县二模)某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是
12、09 这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是( B)A. B. C. D.19 110 13 124(2018石家庄四区模拟)在一个不透明的盒子中装有 a个除颜色外完全相同的球，这 a个球中红球只有 3个若每次将球搅拌均匀后，任意摸出 1个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 0.2左右，则 a的值约为( B)A12 B15 C18 D205(2018石家庄十八县大联考)从1，2，3，6 这四个数中任取两数，分别记为 m，n，那么点(m，n)在函数y 图象上的概
13、率是( B)6xA. B. C. D.112 13 19 166(2018河北二模)某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是( B)A. B. C. D.12 14 16 1167(2018邯郸一模)在一个不透明的袋子里装有 2个红球 1个黄球，这 3个小球除颜色不同外，其他都相同，贝5贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸 2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两人摸到 1个红球 1个黄球和 2个红球的概率的描述中，正确的是( D)AP(贝贝摸到 1红 1黄)P(莹莹摸到 1红 1黄)B
14、P(贝贝摸到 1红 1黄)P(莹莹摸到 1红 1黄)CP(贝贝摸到 2红)P(莹莹摸到 2红)DP(贝贝摸到 2红)P(莹莹摸到 2红)8(2018盘锦)如图，正六边形内接于O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 169(2018河北大联考)一个不透明的口袋中有 4张分别标有数字 2，3，4，6 的扑克牌，除正面的数字外，牌的形状、大小完全相同小红先从口袋中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为 x，小颖再从剩下的 3张扑克牌中随机摸出一张扑克牌并记下牌上的数字为 y.(1)事件：小红摸出标有数字 3的牌；事件：小颖摸出标有数字 1的牌，则 BA事件是必然事件，事件是不可能事件B
15、事件是随机事件，事件是不可能事件C事件是必然事件，事件是随机事件D事件是随机事件，事件是必然事件(2)若|xy|2，则说明小红与小颖“心领神会” ，请求出她们“心领神会”的概率解：所有可能出现的结果如下表：小颖小红 2 3 4 62 (2，3) (2，4) (2，6)3 (3，2) (3，4) (3，6)4 (4，2) (4，3) (4，6)6 (6，2) (6，3) (6，4)从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有 12种，且每种结果出现的可能性相同，其中|xy|2 的结果有 8种，小红、小颖两人“心领神会”的概率为 .812 2310(2018遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡
16、购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向 A区域时，所购买物品享受 9折优惠、指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受 8折优惠，其他情况无优惠在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)(1)若顾客选择方式一，则享受 9折优惠的概率为 ；14(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受 8折优惠的概率6解：画树状图如下：由树状图可知，共有 12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有 2种结果，P(顾客享受
17、 8折优惠) .212 1611(2018邢台三模)嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照，现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如图所示牌照末尾数字 5 6 7数量(个) 1 1 2(1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是 6的概率；(2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差 1的概率解：(1)一共有四个牌照，四种等可能结果，其中末尾数字是 6的只有一种等可能结果，所以 P(摇到牌照末尾数字是 6) .14(2)将这四个牌照编号，末尾数字为 5的记为 a，末尾数字为 6的记为 b，末尾数字为 7的分别为 c1，c 2，a b c1 c2a (a，b) (a，c 1) (a，c 2)b (b，a) (b，c 1) (b，c 2)c1 (c1，a) (c1，b) (c1，c 2)c2 (c2，a) (c2，b) (c2，c 1)一共有 12种等可能结果，其中末尾数字正好差 1有 6种等可能结果，所以 P(末尾数字正好差 1) .12
