1、第第 2 章章 概率概率 章末复习章末复习 学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念.2.理解超几何分布及其导出过程，并 能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验模 型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题 1事件概率的求法 (1)条件概率的求法 利用定义分别求出 P(B)和 P(AB)，解得 P(A|B)PAB PB . 借助古典概型公式，先求事件 B 包含的基本事件数 n，再在事件 B 发生的条件下求事件 A 包
2、含的基本事件数 m，得 P(A|B)m n. (2)相互独立事件的概率 若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3)n 次独立重复试验 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpkqn k，k0,1,2，n，q1p. 2随机变量的概率分布 (1)求离散型随机变量的概率分布的步骤 明确随机变量 X 取哪些值； 计算随机变量 X 取每一个值时的概率； 将结果用二维表格形式给出计算概率时注意结合排列与组合知识 (2)两种常见的分布列 超几何分布 若一个随机变量 X 的分布列为 P(Xr)C r MC nr NM CnN ，其中 r0,1,2,3，
3、l，lmin(n，M)， 则称 X 服从超几何分布 二项分布 若随机变量 X 的分布列为 P(Xk)Cknpkqn k，其中 0p1，pq1，k0,1,2，n，则 称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 XB(n，p) 3离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量 X 的概率分布如表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则 E(X)x1p1x2p2xnpn，令 E(X)， 则 V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn. (2)当 XH(n，M，N)时， E(X)nM N ，V(X)nMNMNn N2N1 . (3)当 XB(n，p)时，E(X)np，V(X
4、)np(1p). 类型一 条件概率的求法 例 1 口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个， 则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？ (3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 记事件 A：第一次取出的球是红球；事件 B：第二次取出的球是红球 (1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本事件共 65 个；第一次 取出的球是红球，第二次是其余 5 个球中的任一个，符合条件的事件有 45 个
5、， 所以 P(A)45 65 2 3. (2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本事件共 65 个；第一次 和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有 43 个，所以 P(AB)43 65 2 5. (3)利用条件概率的计算公式， 可得 P(B|A)PAB PA 2 5 2 3 3 5. 反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求 的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P(B|A)PAB PA . (2)P(B|A)nAB nA .在古典概型下，n(AB)指事件 A 与事
6、件 B 同时发生的基本事件个数；n(A)是 指事件 A 发生的基本事件个数 跟踪训练 1 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 表示方程 x2bx c0 实根的个数(重根按一个计)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2bx c0 有实根的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M， 则基本事件总数为 6636.其中先后两次 出现的点数中有 5，共有 11 种，从而 P(M)11 36. 记“方程 x2bxc0 有实根”为事件 N， 若使方程 x2bxc0 有实根， 则 b24c0，即
7、b2 c. b，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， 当先后两次出现的点数中有 5 时， 若 b5，则 c1,2,3,4,5,6； 若 c5，则 b5,6，而 b5，c5 只能算 1 种情况，从而 P(MN) 7 36. 在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2bxc0 有实根的概率为 P(N|M) PMN PM 7 11. 类型二 互斥、对立、独立事件的概率 例 2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2 3和 3 5.现安排甲组研 发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研
8、发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获 利润 100 万元求该企业可获利润的概率分布和均值 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥、对立、独立事件的概率问题 解 记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知 P(E)2 3，P( E ) 1 3，P(F) 3 5，P( F ) 2 5，且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立 (1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 H E F ， 于是 P( H )P( E )P( F )1 3 2 5 2 15， 故所求的概率为 P(H)1P( H )1 2 15
9、 13 15. (2)设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 因为 P(X0)P( E F )1 3 2 5 2 15， P(X100)P( E F)1 3 3 5 3 15 1 5， P(X120)P(E F )2 3 2 5 4 15， P(X220)P(E F)2 3 3 5 6 15 2 5， 故所求的概率分布如表所示： X 0 100 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 E(X)0 2 15100 1 5120 4 15220 2 5140. 反思与感悟 在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式 (1)P(A)
10、1P( A ) (2)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3)若事件 A，B 是互斥事件，则 P(AB)P(A)P(B) 跟踪训练 2 A，B，C 三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A 胜 B 的概率为 0.4，B 胜 C 的概 率为 0.5，C 胜 A 的概率为 0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮，A 与 B；第二轮，第一 轮的胜者与 C；第三轮，第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮，第三轮的胜者与第二轮的 败者 (1)求 B 连胜四轮的概率； (2)求 C 连胜三轮的概率 解 (1)要 B 连胜四轮，则以下这些相互独立事件需发生； 第一轮 B 胜 A，第二轮 B 胜
11、 C，第三轮 B 胜 A，第四轮 B 胜 C. 根据相互独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为 P(10.4)0.5(10.4)0.50.09. 故 B 连胜四轮的概率为 0.09. (2)C 连胜三轮应分两种情况： 第一轮 A 胜 B，第二轮 C 胜 A，第三轮 C 胜 B，第四轮 C 胜 A， 所以 C 连胜三轮的概率为 P10.40.6(10.5)0.60.072； 第一轮 B 胜 A，第二轮 C 胜 B，第三轮 C 胜 A，第四轮 C 胜 B， 所以 C 连胜三轮的概率为 P2(10.4)(10.5)0.6(10.5)0.09. 两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为 PP1P20.
12、0720.090.162. 故 C 连胜三轮的概率为 0.162. 类型三 离散型随机变量的概率分布、均值和方差 例 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个 数字) (1)设随机变量 表示一次掷得的点数和，求 的概率分布； (2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数，求 E()，V() 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)由已知得，随机变量 的取值为 2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为 0， P(01)1 6，P(02) 1 3，P(03) 1 2， 所以 P(2
13、)1 6 1 6 1 36， P(3)21 6 1 3 1 9， P(4)21 6 1 2 1 3 1 3 5 18， P(5)21 3 1 2 1 3， P(6)1 2 1 2 1 4. 故 的概率分布为 2 3 4 5 6 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设某次发生的概率为 p，由(1)知，p1 4. 因为随机变量 B 10，1 4 ， 所以 E()np101 4 5 2， V()np(1p)101 4 3 4 15 8 . 反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 跟踪训练 3 甲、 乙两支排球队进行比赛， 约定先
14、胜 3 局者获得比赛的胜利， 比赛随即结束， 除第五局甲队获胜的概率是1 2外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3，假设各局比赛结果相 互独立 (1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率； (2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利 方得 2 分，对方得 1 分，求乙队得分 X 的概率分布及均值 考点 均值与方差的应用 题点 概率分布及均值 解 (1)记“甲队以 30 胜利”为事件 A1，“甲队以 31 胜利”为事件 A2，“甲队以 32 胜利”为事件 A3，由题意知各局比赛结果相互独立， 故 P(A1) 2 3 38 27，
15、P(A2)C23 2 3 2 12 3 2 3 8 27， P(A3)C24 2 3 2 12 3 21 2 4 27. 所以，甲队以 30,31,32 胜利的概率分别是 8 27， 8 27， 4 27. (2)设“乙队以 32 胜利”为事件 A4，由题意知各局比赛结果相互独立， 所以 P(A4)C24 12 3 2 2 3 2 11 2 4 27. 由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， 根据事件的互斥性，得 P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)16 27， P(X1)P(A3) 4 27， P(X2)P(A4) 4 27， P(X3)1P(X0)P(X1)P(
16、X2)1 9. 故 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 1 9 所以 E(X)016 271 4 272 4 273 1 9 7 9. 类型四 概率的实际应用 例 4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题 回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得10 分 如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是 0.8， 回答第三个问题正确的概率为 0.6， 且各题回答正确与否相互之间没有影响 (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的概率分布和均值； (2)求这位挑战者总得分不为
17、负分(即 0)的概率 考点 分类讨论思想 题点 分类讨论思想 解 (1)三个问题均答错，得 00(10)10(分) 三个问题均答对，得 10102040(分) 三个问题一对两错，包括两种情况： 前两个问题一对一错，第三个问题错， 得 100(10)0(分)； 前两个问题错，第三个问题对，得 002020(分) 三个问题两对一错，也包括两种情况： 前两个问题对，第三个问题错， 得 1010(10)10(分)； 第三个问题对，前两个问题一对一错， 得 2010030(分) 故 的可能取值为10,0,10,20,30,40. P(10)0.20.20.40.016， P(0)C120.20.80.4
18、0.128， P(10)0.80.80.40.256， P(20)0.20.20.60.024， P(30)C120.80.20.60.192， P(40)0.80.80.60.384. 所以 的概率分布为 10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 所以 E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为 P(0)1P(0)10.0160.984. 反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决转化成部 分问题后增加了题
19、设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想 跟踪训练 4 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每 位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为 该顾客所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的概率分布及均值； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元， 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球
20、组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计，并说明理由 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X， 依题意，得 P(X60)C 1 1 C 1 3 C24 1 2， 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1 2. 依题意得 X 的所有可能取值为 20,60， P(X20)C 2 3 C24 1 2，P(X60) 1 2， 即 X 的概率分布为 X 20 60 P 1 2 1 2 所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)201 260 1 240. (2)根据商场的
21、预算，每位顾客的平均奖励额为 60 元，所以先寻找均值为 60 元的可能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和 的最大值，所以均值不可能为 60 元 如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为 60 元， 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1，对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排 除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案 2， 以下是对这两个方案的分析：
22、对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1的概率分布为 X1 20 60 100 P 1 6 2 3 1 6 X1的均值 E(X1)201 660 2 3100 1 660. X1的方差 V(X1)(2060)21 6(6060) 22 3(10060) 21 6 1 600 3 . 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2的概率分布为 X2 40 60 80 P 1 6 2 3 1 6 X2的均值 E(X2)401 660 2 380 1 660， X2的方差 V(X2)(4060)21 6(6060) 2
23、2 3(8060) 21 6 400 3 .由于两种方案的奖励额的 均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小，所以应该选择方案 2. 1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过 4，则出现的点数是奇数的概 率为_ 考点 条件概率 题点 直接利用公式求条件概率 答案 1 2 解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过 4 为事件 A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事 件 B，则 P(B|A)nAB nA 2 4 1 2. 2 在5道题中有3道理科题和2道文科题 事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”， 事件 B 为“取到的 2 道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则 P
24、(B|A)_. 考点 题点 答案 2 3 解析 由题意得 P(A)C 2 5C 2 2 C25 9 10， P(AB)P(B)C 1 3C 1 2 C25 3 5， 所以 P(B|A)PAB PA 3 5 9 10 2 3. 3一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止若他每次射击中靶的概率是 0.9，他 有 3 颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目 X 的均值 E(X)_. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 1.89 解析 由题意知， X 的可能取值是 0,1,2， 对应的概率分别为 P(X2)0.9， P(X1)0.10.9 0.09，P(X0)0.130.120.90
25、.01，由此可得均值 E(X)20.910.0900.01 1.89. 4设 X 为随机变量，XB n，1 3 ，若 X 的方差为 V(X)4 3，则 P(X2)_. 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 80 243 解析 由 V(X)1 3 2 3n 4 3，得 n6. P(X2)C26 1 3 2 2 3 480 243. 5掷骰子游戏：规定掷出 1 点，甲盒中放一球，掷出 2 点或 3 点，乙盒中放一球，掷出 4 点，5 点或 6 点，丙盒中放一球，共掷 6 次，用 x，y，z 分别表示掷完 6 次后甲、乙、丙盒 中球的个数令 Xxy，则 E(X)_. 考点 二项分布、
26、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 3 解析 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球 (失败)两种， 且丙盒中投入球(成功)的概率为1 2， z 表示 6 次实验中成功的次数， 则 zB 6，1 2 ， E(z)3，又 xyz6，Xxy6z， E(X)E(6z)6E(z)633. 1条件概率的两个求解策略 (1)定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)PAB PB 或PB|APAB PA 求解 (2)缩小样本空间法：利用 P(B|A)nAB nA 求解 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题 2求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件， 也是解答相互独立事件概率问 题的唯一工具 (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系 (3)公式“P(AB)1P( A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 3求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概 率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差 的线性性质.
