1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 学案(苏教版高中数学选修2-2)

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1、122 函数的和函数的和、差差、积积、商的导数商的导数 学习目标 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程,能够综 合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 知识点一 和、差的导数 已知 f(x)x,g(x)1 x. 思考 1 f(x),g(x)的导数分别是什么? 答案 f(x)1,g(x) 1 x2. 思考 2 试求 Q(x)x1 x,H(x)x 1 x的导数 答案 y(xx) 1 xx x1 x x x xxx, y x1 1 xxx. 当 x0 时,y x1 1 x2, Q(x)1 1 x2. 同理,H(x)11 x2. 思考 3 Q(x),H(x)的导数与 f

2、(x),g(x)的导数有何关系? 答案 Q(x)的导数等于 f(x),g(x)的导数的和H(x)的导数等于 f(x),g(x)的导数的差 梳理 函数和、差的求导法则 (1)和的导数 f(x)g(x)f(x)g(x) (2)差的导数 f(x)g(x)f(x)g(x) 知识点二 积、商的导数 已知 f(x)x2,g(x)sin x,(x)3. 思考 1 试求 f(x),g(x),(x) 答案 f(x)2x,g(x)cos x,(x)0. 思考 2 求 H(x)x2sin x,M(x)sin x x2 ,Q(x)3sin x 的导数 答案 H(x)2xsin xx2cos x, M(x)sin xx

3、 2sin xx2 x22 x 2cos x2xsin x x4 xcos x2sin x x3 , Q(x)3cos x. 梳理 积商的求导法则 (1)积的导数 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x)Cf(x)(C 为常数) (2)商的导数 fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) 特别提醒:对于积与商的求导法则,首先要注意在两个函数积与商的求导法则中, f(x)g(x)f(x) g(x)以及 fx gx fx gx;其次还要特别注意两个函数积与商的求导公 式中符号的异同,积的求导法则中是“”,商的求导法则中分子上是“” 1f1(x)f2(x)fn(x)f1

4、(x)f2(x)fn(x)( ) 2f(x)g(x)f(x) g(x)( ) 3f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)( ) 4. fx gx fxgxfxgx g2x .( ) 类型一 利用导数的运算法则求导 例 1 求下列函数的导数 (1)y3x2xcos x; (2)ylg x 1 x2; (3)y(x23)(exln x); (4)yx2tan x; (5)y ex x1. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)y6xcos xx(cos x) 6xcos xxsin x. (2)y(lg x)(x 2) 1 x

5、ln 10 2 x3. (3)y(x23)(exln x)(x23)(exln x) 2x(exln x)(x23) ex1 x ex(x22x3)2xln xx3 x. (4)因为 yx2sin x cos x, 所以 y(x2) sin x cos x 2xcos 2xsin xsin x cos2x 2x 1 cos2x. (5)ye xx1x1ex x12 e xx1ex x12 xex x12. 反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法 则求导数 (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 跟踪训练 1 求

6、下列函数的导数 (1)y2x 33x x1 x x ; (2)yx 21 x23; (3)y(x1)(x3)(x5) 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)y2 3 2 x3 1 2 x x 1 3 2 x , y3 1 2 x3 2 3 2 x x 23 2 5 2 x . (2)方法一 yx 21x23x21x23 x232 2xx 232xx21 x232 4x x232. 方法二 yx 21 x23 x232 x23 1 2 x23, y 1 2 x23 2 x23 2x 232x23 x232 4x x232. (3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)

7、(x5)(x1)(x3)(x1)(x 3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5) x39x223x15, y(x39x223x15)3x218x23. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例 2 (1)已知函数 f(x)ln x x 2xf(1),试比较 f(e)与 f(1)的大小关系; (2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f(x)xcos x. 解 (1)由题意,得 f(x)1ln x x2 2f(1), 令

8、x1,得 f(1)1ln 1 1 2f(1),即 f(1)1. f(x)ln x x 2x, f(e)ln e e 2e1 e2e,f(1)2, 由 f(e)f(1)1 e2e20,得 f(e)f(1) (2)由已知,得 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又 f(x)xcos x, acxd0, axbcx, 即 ad0, c0, a1

9、, bc0, 解得 ad1,bc0. 反思与感悟 (1)熟练应用导数运算法则,表示出导数 f(x) (2)利用待定系数法确定 a,b,c,d 的值 跟踪训练 2 函数 f(x) x 2x1f(1),则 f(1)_. 答案 1 解析 对 f(x)求导,得 f(x)2x12x 2x12 1 2x12, 则 f(1)1. 命题角度2 与切线有关的问题 例 3 已知函数 f(x)ax2bx3(a0),其导函数为 f(x)2x8. (1)求 a,b 的值; (2)设函数 g(x)exsin xf(x),求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 解 (1)因为 f(x)ax2bx3(a0), 所以 f(x)

10、2axb, 又 f(x)2x8,所以 a1,b8. (2)由(1)可知,g(x)exsin xx28x3, 所以 g(x)exsin xexcos x2x8, 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又 g(0)3, 所以 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0), 即 7xy30. 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的 条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准 确 (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错

11、点 跟踪训练 3 (1)设曲线 y2cos x sin x 在点 2,2 处的切线与直线 xay10 垂直,则 a _. (2)设函数 f(x)g(x)x2, 曲线 yg(x)在点(1, g(1)处的切线方程为 y2x1, 则曲线 yf(x) 在点(1,f(1)处切线的斜率为_ 答案 (1)1 (2)4 解析 (1)ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x , 当 x 2时,y 12cos 2 sin2 2 1. 又直线 xay10 的斜率是1 a, 1 a1,即 a1. (2)因为曲线 yg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y2x1,由导数的几何意义

12、知,g(1) 2. 又 f(x)g(x)x2, 所以 f(x)g(x)2x,所以 f(1)g(1)24, 所以 yf(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 4. 1设 y2exsin x,则 y_. 答案 2ex(sin xcos x) 解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x) 2函数 ycos x 1x的导数 y_. 答案 cos xsin xxsin x 1x2 解析 y cos x 1x sin x1xcos x 1 1x2 cos xsin xxsin x 1x2 . 3对于函数 f(x)e x x2ln x 2k x ,若 f(1)1,则 k_. 答案

13、 e 2 解析 f(x)e xx2 x3 1 x 2k x2, f(1)e12k1,解得 ke 2. 4在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 yax2b x(a,b 为常数)过点 P(2,5),且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行,则 ab 的值是_ 答案 3 解析 yax2b x的导数为 y2ax b x2, 直线 7x2y30 的斜率为7 2. 由题意,得 4ab 25, 4ab 4 7 2, 解得 a1, b2, 则 ab3. 5曲线 yx33x26x10 的切线中,斜率最小的切线的方程为_ 答案 3xy110 解析 y3x26x63(x22x2) 3(x1)233,

14、当 x1 时,斜率最小,切点坐标为(1,14), 切线方程为 y143(x1),即 3xy110. 1导数的求法 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则求导时,不但要重视求导法则的应 用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用首先,在化简时,要注意化简的等价性, 避免不必要的运算失误;其次,利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为基本初等 函数中的某一个,再套用公式求导数 2和与差的求导法则可以推广 f(x1) f(x2) f(xn)f(x1) f(x2) f(xn) 3积、商的求导法则 (1)若 C 为常数,则Cf(x)Cf(x)(C 为常数) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x), fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) (3)当 f(x)1 时,有 1 gx gx g2x (g(x)0).

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