1、12 导数的运算导数的运算 121 常见函数的导数常见函数的导数 学习目标 1.能根据定义求函数 yC，yx，yx2，y1 x，y x的导数.2.掌握基本初等 函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 几个常见函数的导数 思考 1 函数 f(x)x 的导数是什么？ 答案 y x fxxfx x xxx x 1， 当 x0 时，y x1，即 x1. 思考 2 函数 f(x)1 x的导数是什么？ 答案 y x fxxfx x 1 xx 1 x x xxx xxxx 1 x2xx， 当 x0 时，y x 1 x2， 即 1 x 1 x2. 梳理 1.(kxb)
2、k(k，b 为常数)； 2C0(C 为常数)； 3(x)1； 4(x2)2x； 5(x3)3x2； 6. 1 x 1 x2； 7( x) 1 2 x . 知识点二 基本初等函数的导数公式 1(x)x 1( 为常数)； 2(ax)axln a(a0，且 a1)； 3(logax)1 xlogae 1 xln a(a0，且 a1)； 4(ex)ex； 5(ln x)1 x； 6(sin x)cos x； 7(cos x)sin x. 1常见函数的导数 x1，(x2)2x，(x3)3x2，( x) 1 2 x， 1 x 1 x2分别是幂 函数求导公式(x)x 1 当 1,2,3，1 2，1 的特例(
3、 ) 2(ex)ex是(ax)axln a(a0 且 a1)当 ae 时的特例( ) 3(ln x)1 x是(logax) 1 xln a(a0 且 a1)当 ae 时的特例( ) 4. sin 3 cos 3 1 2.( ) 类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)ycos 6；(2)y 1 x5；(3)y x2 x； (4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos 2x . 解 (1)y0. (2)y 1 x5x 5， y(x 5)5x65 x6. (3)y x2 x 3 2 x， y( 3 2 x)3 2 1 2 x3 2 x. (4)y 1 xln 10. (
4、5)y5xln 5. (6)ycos 2x sin x， y(sin x)cos x. 反思与感悟 若给出函数解析式不符合基本初等函数的导数公式， 需通过恒等变换对解析式 进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导 跟踪训练 1 (1)求下列函数的导数 y 1 x4；y 3 x5；y2x；ye2x；ylog3x；ysin x 2 . 解 y(x 4)4x54 x5. y 5 3 x 5 3 2 3 x5 3 3 x2. y(2x)2xln 2. y(e2)x(e2)xln e22e2x. y(log3x) 1 xln 3. ysin x 2 cos x， y(cos x)sin x. (2
5、)求下列函数的导数 y(1 x) 1 1 x x； y12sin2x 2. 解 y(1 x) 1 1 x x 1x x x 1 x 1 2 x ， y1 2 3 2 x . y12sin2x 2cos x， y(cos x)sin x. 类型二 求函数在某一点处的导数 例 2 求函数 f(x) 1 6 x5 在 x1 处的导数 解 f(x) 1 6 x5 5 6 x ， f(x) 5 6 x 5 6 11 6 x ， f(1)5 6. 反思与感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简， 然后求导， 最后将变量的值 代入导函数便可求解 跟踪训练 2 函数 f(x) x，则 f(3)_. 答
6、案 3 6 解析 f(x)( x) 1 2 x， f(3) 1 2 3 3 6 . 类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题 例 3 已知 P，Q 为抛物线 yf(x)1 2x 2上两点，点 P，Q 横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分 别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的坐标为_ 答案 (1，4) 解析 f(x)x， kPAf(4)4，kQAf(2)2. P(4,8)，Q(2,2)， PA 的直线方程为 y84(x4)， 即 y4x8. QA 的直线方程为 y22(x2)，即 y2x2. 联立方程组 y4x8， y2x2， 得 x1， y4， A(1，4)
7、反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜 率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决 跟踪训练 3 求过曲线 f(x)sin x 上一点 P 6， 1 2 且与在该点处的切线垂直的直线方程 解 因为 f(x)sin x，所以 f(x)cos x， 曲线在点 P 6， 1 2 处的切线斜率是 f 6 cos 6 3 2 . 所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 2 3， 故所求的直线方程为 y1 2 2 3 x 6 ， 即 2x 3y 3 2 30. 命题角度2 已知斜率解决切线问题 例 4 求抛物线 yx2上的点到直线
8、xy20 的最短距离 解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知，与直线 xy20 平行的抛物线 yx2的切线的切 点到直线 xy20 的距离最短 y(x2)2x，2x01，x01 2， 切点坐标为 1 2， 1 4 ， 所求的最短距离 d 1 2 1 42 2 7 2 8 . 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式， 可求其图象在某一点 P(x0， y0)处的切线方程， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练 4 已知直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点
9、，O 是坐标原点，试 求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点 P，使ABP 的面积最大 解 设 P(x0，y0)为切点，过点 P 与 AB 平行的直线斜率 ky2x0，k2x02， x01，y0 1. 故可得 P(1,1)， 切线方程为 2xy10. 由于直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点，AB 为定值，要使ABP 的面 积最大，只要点 P 到 AB 的距离最大，故点 P(1,1)即为所求弧AOB上的点，使ABP 的面 积最大. 1下列函数中的求导运算正确的个数为_ (3x)3xlog3e；(log2x) 1 xln 2； 1 ln xx；若 f(
10、x) 1 x2，则 f(3) 2 27. 答案 3 解析 中(3x)3xln 3，均正确 2函数 f(x)x3的切线斜率等于 1 的有_条 答案 2 解析 设切点为(x0，y0)，f(x0)3x201， x0 3 3 . 故斜率等于 1 的切线有 2 条 3设函数 f(x)logax，f(1)1，则 a_. 答案 1 e 解析 f(x) 1 xln a， 则 f(1) 1 ln a1，a 1 e. 4曲线 f(x)x3在点(a，a3)(a0)处的切线与 x 轴，直线 xa 围成的三角形的面积为1 6，则 a_. 答案 1 解析 因为 f(x)3x2， 所以 f(a)3a2， 所以曲线在(a，a
11、3)处的切线方程为 ya33a2(xa)， 令 y0，则切线与 x 轴的交点为 2 3a，0 ， 所以由题意知，所围成的三角形面积为 1 2 a2 3a |a 3|1 6，所以 a 1. 5求下列函数的导数 (1)y( 3 2 x1)( 3 2 x1)1； (2)y cos x 2sin x 2 21； (3)y3log23x. 解 (1)yx3，y3x2. (2)ycos2x 2sin 2x 22sin x 2cos x 21sin x， ycos x. (3)ylog2x，y 1 xln 2. 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数 公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求 y12sin2x 2的导数因为 y12sin 2x 2cos x， 所以 y(cos x)sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化
