1、153 微积分基本定理微积分基本定理 学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积 分 知识点 微积分基本定理 思考 1 已知函数 f(x)2x1，F(x)x2x，则 10(2x1)dx 与 F(1)F(0)有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，10(2x1)dx1 2(13)12， F(1)F(0)2，故10(2x1)dxF(1)F(0) 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使得 F(x)f(x)? 答案 不唯一 根据导数的性质， 若 F(x)f(x)， 则对任意实数 c， 都有F(x)cF(x) cf(x) 梳理 (
2、1)微积分基本定理 对于被积函数 f(x)， 如果 F(x)f(x)，那么baf(x)dxF(b)F(a)， 即baF(x)dxF(b)F(a) (2)常见的原函数与被积函数关系 bacdxcx|ba(c 为常数) baxndx 1 n1x n1 b a(n1) basin xdxcos x|ba. bacos xdxsin x|ba. ba1 xdxln x| b a(ba0) baexdxex|ba. baaxdx ax ln a b a(a0 且 a1) baxdx 3 2 2 3 x b a(ba0). 类型一 求定积分 命题角度1 求简单函数的定积分 例 1 求下列定积分 (1)10
3、(2xex)dx； (2)21 1 x3cos x dx； (3) 2 2 0 sincosd 22 xx x ； (4)30(x3)(x4)dx. 解 (1)10(2xex)dx(x2ex)|10 (1e1)(0e0)e. (2)21 1 x3cos x dx(ln x3sin x)| 2 1 (ln 23sin 2)(ln 13sin 1) ln 23sin 23sin 1. (3) sin x 2cos x 2 2 12sin x 2cos x 21sin x， 2 2 0 sincosd 22 xx x 2 0 1 sindxx 2 0 cosxx 2cos 2 (0cos 0) 21
4、. (4)(x3)(x4)x27x12， 30(x3)(x4)dx 30(x27x12)dx 1 3x 37 2x 212x3 0 1 33 37 23 2123 027 2 . 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于 求得函数 F(x) (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x) 第二步：计算函数的增量 F(b)F(a) 跟踪训练 1 求下列定积分 (1)21 xx21 x dx； (2) 22 2 0 cossind 22 xx x ； (3)94x(1 x)dx. 解 (1)21 xx21 x dx
5、 1 2x 21 3x 3ln x2 1 1 22 21 32 3ln 2 1 2 1 3ln 1 ln 25 6. (2) 22 2 0 cossind 22 xx x 2 0 cos dx x 2 0 sin1.x (3)94x(1 x)dx 94( xx)dx 3 29 2 4 21 | 32 xx 33 22 22 2121271 9944. 32326 命题角度2 求分段函数的定积分 例 2 (1)求函数 f(x) sin x，0 x 2， 1， 2x2， x1，2x4 在区间0,4上的定积分； (2)求定积分20|x21|dx. 解 (1)40f(x)dx 2 2 0 2 sin
6、d1dx xx 42(x1)dx 0 24 2 2 0 2 1 (cos ) 2 xxxx 1 2 2 (40)7 2. (2)|x21| 1x2，x0，1， x21，x1，2， 又 xx 3 3 1x2， x3 3x x 21， 20|x21|dx10|x21|dx21|x21|dx 10(1x2)dx21(x21)dx xx 3 3 |10 x3 3x | 2 1 11 3 8 32 1 312. 反思与感悟 分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算 (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 跟踪训练 2 (1)f(x)
7、 12x，0 x1， x2，1x2， 求20f(x)dx. (2)求22|x2x|dx 的值 解 (1)20f(x)dx 10(12x)dx21x2dx (xx2)|101 3x 3|2 1 27 3 13 3 . (2)|x2x| x2x，2x0， xx2，0 x1， x2x，10，f(x)2x1，若t0f(x)dx6，则 t_. (2)已知 221(kx1)dx4，则实数 k 的取值范围为_ 答案 (1)3 (2) 2 3，2 解析 (1)t0f(x)dxt0(2x1)dxt2t6， 解得 t3 或 t2，t0，t3. (2)21(kx1)dx 1 2kx 2x2 13 2k1. 由 23
8、 2k14，得 2 3k2. 引申探究 1若将本例(1)中的条件改为t0f(x)dxf t 2 ，求 t. 解 由t0f(x)dxt0(2x1)dxt2t， 又 f t 2 t1， t2tt1，得 t1. 2若将本例(1)中的条件改为t0f(x)dxF(t)，求 F(t)的最小值 解 F(t)t0f(x)dxt2t t1 2 21 4(t0)， 当 t1 2时，F(t)min 1 4. 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提 (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分
9、下限、积分 区间与函数 F(x)等概念 跟踪训练 3 (1)已知 x(0,1，f(x)10(12x2t)dt，则 f(x)的值域是_ (2)设函数 f(x)ax2c(a0)若10f(x)dxf(x0)，0 x01，则 x0的值为_ 答案 (1)0,2) (2) 3 3 解析 (1)f(x)10(12x2t)dt (t2xtt2)|102x2(x(0,1) f(x)的值域为0,2) (2)10f(x)dx10(ax2c)dx 1 3ax 3cx1 0a 3c. 又 f(x0)ax20c， a 3ax 2 0，即 x0 3 3 或 x0 3 3 . 0 x01，x0 3 3 . 类型三 求图形的面
10、积 例 4 求由曲线 yx22x3 与直线 yx3 所围成的图形的面积 解 画出草图，如图所示 解方程组 yx3， yx22x3， 得 A(0,3)，B(3,6) 所以 S30(x3)dx30(x22x3)dx， 取 F(x)1 2x 23x，则 F(x)x3， 取 H(x)1 3x 3x23x，则 H(x)x22x3， 从而 SF(3)F(0)H(3)H(0) 1 23 233 0 1 33 33233 0 9 2. 反思与感悟 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤 (1)根据题意画出图形 (2)找出范围，定出积分上、下限 (3)确定被积函数 (4)写出相应的定积分表达式，即把曲线梯
11、形面积表示成若干个定积分的和或差 (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果 跟踪训练 4 求由曲线 yx2，直线 y2x 和 yx 围成的图形的面积 解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影部分所示 由 yx2， yx 和 yx2， y2x， 解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2. 故所求的面积 S10(2xx)dx21(2xx2)dx x 2 2| 1 0 x2x 3 3 |21 1 20 48 3 11 3 7 6. 1若a1 2x1 x dx3ln 2，则 a 的值是_ 答案 2 解析 a1 2x1 x dxa12xdxa11 xdx x2|a1ln x|a1a2
12、1ln a3ln 2， 解得 a2. 2 2 3 0 1 2sin 2 d _. 答案 3 2 解析 2 3 0 1 2sind 2 3 3 0 0 3 cos dsin. 2 3已知 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(1)2，f(0)0，10f(x)dx2.求 a，b，c 的值 解 f(1)2，abc2， f(x)2axb，f(0)b0， 10f(x)dx10(ax2c)dx 1 3ax 3cx1 0 1 3ac2， 由可得 a6，b0，c4. 4已知 f(x) 4x2，0 x 2， cos x， 2x， 计算：0f(x)dx. 解 0f(x)dx 0 2 0 2 ddf xxf xx
13、2 0 2 42 dcos d ,xxx x 取 F1(x)2x22x，则 F1(x)4x2； 取 F2(x)sin x，则 F2(x)cos x. 所以 2 0 2 42 dcos dxxx x 2 2 2 0 2 22sin1, 2 xxx 即0f(x)dx 2 21. 1求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分 (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分 2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积 理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和， 而是在 x 轴下方的图形面积要取定 积分的相反数.
