人教B版高中数学必修三课件:1.3 中国古代数学中的算法案例

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1、1.3 中国古代数学中的算法案例,第一章 算法初步,学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析. 2.理解割圆术中蕴含的数学原理. 3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质. 4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 更相减损术,更相减损术的运算步骤 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是 .若是,用 约简;若不是,执行 . 第二步,以 的数减去 的数,接着把所得的差与 的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数 为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的

2、最大公约数.,偶数,2,第二步,较大,较小,较小,相等,知识点二 割圆术,1.割圆术的算法 S1 假设圆的半径为1,面积为S,圆内接正n边形面积为Sn,边长为xn,边心距为hn,先从圆内接正六边形的面积开始算起,即n6,则正六边形的面积S66S2 利用公式S2nSnn xn(1hn)重复计算,就可得到正十二边形、正二十四边形的面积.因为圆的半径为1,所以随着n的增大,S2n的值不断趋近于圆周率,这样不断计算下去,就可以得到越来越精密的圆周率近似值.,2.割圆术的算法思想 刘徽从圆内接正六边形开始,让边数逐次加倍,逐个算出这些圆内接正多边形的面积,从而得到一系列逐渐递增的数值,来一步一步地逼近圆

3、面积,最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”,思考,知识点三 秦九韶算法,衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)x5x4x3x2x1变形为f(x)(x1)x1)x1)x1)x1,然后求当x5时的值,为什么比常规逐项计算省时?,从里往外计算,充分利用已有成果,可减少重复计算.,答案,秦九韶算法的一般步骤: 把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式: (anxan1)xan2)xa1)xa0,求多项式的值时,首先计算一次多项式的值,即v1 ,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,

4、即 v2 , v3 , vn , 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.,最内层括号内,梳理,anxan1,v1xan2,v2xan3,vn1xa0,n个一次多项式,题型探究,例1 试用更相减损术求612、396的最大公约数.,解答,类型一 更相减损术,方法一 6122306,3962198,3062153,198299,1539954,995445,54459,45936,36927,27918,1899.所以612、396的最大公约数为92236. 方法二 612396216,396216180,21618036,18036144,14436108,1083672,723636.

5、故36为612、396的最大公约数.,用更相减损术的算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n,不妨设mn. 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使它们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n. 第三步,dmn. 第四步,判断“dn”是否成立,若是,则将n,d中的较大者记为m,较小者记为n,返回第三步;否则,2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.,反思与感悟,跟踪训练1 用更相减损术求261和319的最大公约数.,解答,31926158, 26158203, 20358145, 1455887, 875829, 582929, 319与261的最大公约数为29.,例2 已知一个

6、5次多项式为f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值.,类型二 秦九韶算法的基本思想,解答,将f(x)改写为 f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8, 由内向外依次计算一次多项式当x5时的值: v04;v145222; v22253.5113.5; v3113.552.6564.9; v4564.951.72 826.2; v52 826.250.814 130.2. 当x5时,多项式的值等于14 130.2.,秦九韶算法之所以优秀,一是其对所有多项式求值都适用,二是充分利用已有计算成果,效率更高.,反思与感悟,跟踪训练2

7、用秦九韶算法求多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x当x3时的值.,f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x,所以有v07, v173627, v2273586, v38634262, v426233789, v5789322 369, v62 369317 108, v77 108321 324. 故当x3时,多项式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值为21 324.,解答,当堂训练,1.用秦九韶算法计算多项式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为 A.10 B.9 C.12 D.8,2,3,1,f(x)

8、(6x5)x4)x3)x2)x1)x7, 做加法6次,乘法6次, 6612(次),故选C.,答案,解析,2.已知f(x)2x3x3,用秦九韶算法求当x3时v2的值.,f(x)2x3x32x30x2x3 (2x0)x1)x3, v02,v12306, v263119.,解答,2,3,1,3.用更相减损术求1 734和816的最大公约数.,因为1 734和816都是偶数,所以分别除以2得867和408. 867408459,45940851,40851357, 35751306,30651255,25551204, 20451153,15351102,1025151. 所以867和408的最大公约数是51,故1 734和816的最大公约数是512102.,解答,2,3,1,规律与方法,1.更相减损术,就是对于给定的两个正整数,用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,继续上面的减法,直到差和较小的数相等,此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数. 2.用秦九韶算法求多项式f(x)当xx0的值的思路为(1)改写;(2)计算(3)结论f(x0)vn.,本课结束,

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