1、122 函数的和函数的和、差差、积积、商的导数商的导数 学习目标 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综 合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 知识点一 和、差的导数 已知 f(x)x，g(x)1 x. 思考 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 答案 f(x)1，g(x) 1 x2. 思考 2 试求 Q(x)x1 x，H(x)x 1 x的导数 答案 y(xx) 1 xx x1 x x x xxx， y x1 1 xxx. 当 x0 时，y x1 1 x2， Q(x)1 1 x2. 同理，H(x)11 x2. 思考 3 Q(x)，H(x)的导数与 f
2、(x)，g(x)的导数有何关系？ 答案 Q(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的和H(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的差 梳理 函数和、差的求导法则 (1)和的导数 f(x)g(x)f(x)g(x) (2)差的导数 f(x)g(x)f(x)g(x) 知识点二 积、商的导数 已知 f(x)x2，g(x)sin x，(x)3. 思考 1 试求 f(x)，g(x)，(x) 答案 f(x)2x，g(x)cos x，(x)0. 思考 2 求 H(x)x2sin x，M(x)sin x x2 ，Q(x)3sin x 的导数 答案 H(x)2xsin xx2cos x， M(x)sin xx
3、 2sin xx2 x22 x 2cos x2xsin x x4 xcos x2sin x x3 ， Q(x)3cos x. 梳理 积商的求导法则 (1)积的导数 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x)Cf(x)(C 为常数) (2)商的导数 fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) 特别提醒：对于积与商的求导法则，首先要注意在两个函数积与商的求导法则中， f(x)g(x)f(x) g(x)以及 fx gx fx gx；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公 式中符号的异同，积的求导法则中是“”，商的求导法则中分子上是“” 1f1(x)f2(x)fn(x)f1
4、(x)f2(x)fn(x)( ) 2f(x)g(x)f(x) g(x)( ) 3f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)( ) 4. fx gx fxgxfxgx g2x .( ) 类型一 利用导数的运算法则求导 例 1 求下列函数的导数 (1)y3x2xcos x； (2)ylg x 1 x2； (3)y(x23)(exln x)； (4)yx2tan x； (5)y ex x1. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)y6xcos xx(cos x) 6xcos xxsin x. (2)y(lg x)(x 2) 1 x
5、ln 10 2 x3. (3)y(x23)(exln x)(x23)(exln x) 2x(exln x)(x23) ex1 x ex(x22x3)2xln xx3 x. (4)因为 yx2sin x cos x， 所以 y(x2) sin x cos x 2xcos 2xsin xsin x cos2x 2x 1 cos2x. (5)ye xx1x1ex x12 e xx1ex x12 xex x12. 反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法 则求导数 (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 跟踪训练 1 求
6、下列函数的导数 (1)y2x 33x x1 x x ； (2)yx 21 x23； (3)y(x1)(x3)(x5) 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)y2 3 2 x3 1 2 x x 1 3 2 x ， y3 1 2 x3 2 3 2 x x 23 2 5 2 x . (2)方法一 yx 21x23x21x23 x232 2xx 232xx21 x232 4x x232. 方法二 yx 21 x23 x232 x23 1 2 x23， y 1 2 x23 2 x23 2x 232x23 x232 4x x232. (3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)
7、(x5)(x1)(x3)(x1)(x 3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5) x39x223x15， y(x39x223x15)3x218x23. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例 2 (1)已知函数 f(x)ln x x 2xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； (2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x. 解 (1)由题意，得 f(x)1ln x x2 2f(1)， 令
8、x1，得 f(1)1ln 1 1 2f(1)，即 f(1)1. f(x)ln x x 2x， f(e)ln e e 2e1 e2e，f(1)2， 由 f(e)f(1)1 e2e20，得 f(e)f(1) (2)由已知，得 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又 f(x)xcos x， acxd0， axbcx， 即 ad0， c0， a1
9、， bc0， 解得 ad1，bc0. 反思与感悟 (1)熟练应用导数运算法则，表示出导数 f(x) (2)利用待定系数法确定 a，b，c，d 的值 跟踪训练 2 函数 f(x) x 2x1f(1)，则 f(1)_. 答案 1 解析 对 f(x)求导，得 f(x)2x12x 2x12 1 2x12， 则 f(1)1. 命题角度2 与切线有关的问题 例 3 已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数为 f(x)2x8. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)exsin xf(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 解 (1)因为 f(x)ax2bx3(a0)， 所以 f(x)
10、2axb， 又 f(x)2x8，所以 a1，b8. (2)由(1)可知，g(x)exsin xx28x3， 所以 g(x)exsin xexcos x2x8， 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又 g(0)3， 所以 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0)， 即 7xy30. 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的 条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准 确 (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错
11、点 跟踪训练 3 (1)设曲线 y2cos x sin x 在点 2，2 处的切线与直线 xay10 垂直，则 a _. (2)设函数 f(x)g(x)x2， 曲线 yg(x)在点(1， g(1)处的切线方程为 y2x1， 则曲线 yf(x) 在点(1，f(1)处切线的斜率为_ 答案 (1)1 (2)4 解析 (1)ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x ， 当 x 2时，y 12cos 2 sin2 2 1. 又直线 xay10 的斜率是1 a， 1 a1，即 a1. (2)因为曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，由导数的几何意义
12、知，g(1) 2. 又 f(x)g(x)x2， 所以 f(x)g(x)2x，所以 f(1)g(1)24， 所以 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为 4. 1设 y2exsin x，则 y_. 答案 2ex(sin xcos x) 解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x) 2函数 ycos x 1x的导数 y_. 答案 cos xsin xxsin x 1x2 解析 y cos x 1x sin x1xcos x 1 1x2 cos xsin xxsin x 1x2 . 3对于函数 f(x)e x x2ln x 2k x ，若 f(1)1，则 k_. 答案
13、 e 2 解析 f(x)e xx2 x3 1 x 2k x2， f(1)e12k1，解得 ke 2. 4在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2b x(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_ 答案 3 解析 yax2b x的导数为 y2ax b x2， 直线 7x2y30 的斜率为7 2. 由题意，得 4ab 25， 4ab 4 7 2， 解得 a1， b2， 则 ab3. 5曲线 yx33x26x10 的切线中，斜率最小的切线的方程为_ 答案 3xy110 解析 y3x26x63(x22x2) 3(x1)233，
14、当 x1 时，斜率最小，切点坐标为(1，14)， 切线方程为 y143(x1)，即 3xy110. 1导数的求法 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应 用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用首先，在化简时，要注意化简的等价性， 避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等 函数中的某一个，再套用公式求导数 2和与差的求导法则可以推广 f(x1) f(x2) f(xn)f(x1) f(x2) f(xn) 3积、商的求导法则 (1)若 C 为常数，则Cf(x)Cf(x)(C 为常数) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) (3)当 f(x)1 时，有 1 gx gx g2x (g(x)0).